第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、课前检测
1.若命题p:2是质数;q:不等式x2-2x-3<0的解集为(-1,3),则命题“p且q”是 命题.(填“真”或“假”) 2.命题“ ? x∈R,x2+x+1>0”的否定是 3.命题“ ?x∈N,x2≤0”的否定是 4.命题“对于函数f(x)=x2+ 题.(填“真”或“假”) 5.已知命题p: ? x∈R,sin x+cos x>m是真命题,那么实数m的取值范围 是 . . 命 .

a (a∈R),存在a∈R,使得f(x)是偶函数”为 x

二、
1.全称量词 我们把表示全体的量词称为全称量词. 对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等 词,用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫作全称命题.如“对任意实数x∈M, 都有p(x)成立”简记成“ ? x∈M,p(x)”. 2.存在量词 我们把表示部分的量词称为存在量词. 对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的” 等词,用符号“ ?”表示.含有存在量词的命题,叫作存在性命题.“存在实数x0∈M, 使p(x0)成立”简记成“ ?x0∈M,p(x0)”. 3.简单逻辑联结词有或(符号为∨),且(符号为∧),非(符号为? ). 4.命题的否定:“ ? x∈M,p(x)”与“ ?x∈M,? p(x)”互为否定.

5.复合命题的真假:对“p且q”而言,当p,q均为真时,其为真;当p,q中有一个为 假时,其为假.对“p或q”而言,当p,q均为假时,其为假;当p,q中有一个为真 时,其为真.当p为真时,? p为假,当p为假时,? p为真. 6.常见词语的否定如下表所示:
词语 词语的否定 词语 词语的否定 是 不是 且 或 一定是 不一定是 必有一个 一个也没有 都是 不都是 至少有n个 至多有 n-1个 大于 小于或等于 至多有一个 至少有两个 小于 大于或等于 所有x都成立 存在一个x不成立

要点导学
三、

各个击破

判断复合命题的真假
例1 已知命题p:存在x∈R,使tan x=1;命题q:x2-3x+2<0的解集是

{x|1<x<2},给出下列复合命题: ①p∧q;②p∧? q;③? p∨q;④? p∨? q. 其中真命题是 变式 .(填序号)

写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题,并指出

所构成的这些新命题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被2整除,q:连续的三个整数的乘积能被3整除;

(2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分;

(3)p:方程x2+x-1=0的两个实数根的符号相同,q:方程x2+x-1=0的两个实数根的绝 对值相等.

含有一个量词的命题的否定
例2 写出下列命题的否定,并判断其真假.
2

1 (1)p: ? x∈R,x -x+ 4 ≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:有的实数没有平方根; (4)s:所有末位数字是0或5的整数都能被5整除; (5)t:菱形的对角线互相垂直平分.

变式 是

已知命题p: ?x∈R,x2+2ax+a≤0,则命题p的否定 ;若命题p为假命题,则实数a的取值范围是

与逻辑有关的参数范围问题
例3 已知命题p:“ ? x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“ ?x0∈R, x0 +2ax0+2.
2

a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是

变式1

已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实
2

数x0满足不等式 x0 +2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实数a的取值范围.

变式2

(2014· 西安模拟)给定两个命题,命题p:对任意实数x,都有ax2>-

ax-1恒成立,命题q:关于x的方程 x2-x+a=0有实数根.若“p∨q”为真命题,“p∧q” 为假命题,求实数a的取值范围.

四、课堂练习
1.(2014· 湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y,命题q:若x>y,则x2>y2.在命题 ①p∧q;②p∨q;③p∧(? q);④(? p)∨q中,真命题为 2.(2015· 全国卷)设命题p: ?n∈N,n2>2n,则? p为 .(填序号)

.

3.已知命题p: ? x∈[0,1],a≥ex,命题q:“ ?x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q” 是真命题,则实数a的取值范围是 .

? π? 4.(2015· 山东卷)若“ ? x∈ ?0, ? ,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为 ? 4?

.

?1? 5.已知命题p: ? x∈(0,+∞), ? ? +m-1<0,命题q: ?x∈(0,+∞),mx2+4x-1=0. ?2?

x

若“p且q”为真命题,求实数m的取值范围.

五、课后作业
一、 填空题 1.(2015· 徐州模考)若命题p: ? x∈R,2x2-1>0,则命题p的否定是 .

2.若条件p:|x+1|≤4,条件q:2<x<3,则? p是? q的

条件.

3.(2014· 金陵中学)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数 y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,则实数a的 取值范围是 .

3-2 x 4.已知命题p: x-1 ≥0,q:2x2-5x+3>0,那么? p是q的

条件.

5.(2015· 苏州模考)已知命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,命题 q:关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数,若p且q为真命题,则实数a的取值范围 是 .

6.若对任意的x0<a,都满足 x0 -2x0-3>0,则实数a的最大值为

2

.

3 7.已知命题p:“ ?x∈R,2ax2+ax- 8 >0”,若命题p是假命题,则实数a的取值范围
为 .

8.已知下列结论:

3 ①若命题p: ?x∈R,tanx= 3 ,命题q: ? x∈R,x2-x+1>0,则命题“p∧? q”是假
命题;

a ②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,那么l1⊥l2的充要条件是 b =-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”. 其中正确的结论为 二、 解答题 9.已知命题p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;命题q:关于x的 不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m 的取值范围. .(填序号)

10.已知命题p:函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2,1)上不单调,若命题p的否定是一个真 命题,求实数a的取值范围.

11.已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,q:1-m≤x≤1+m(m>0). (1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围; (2)若m=5,“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数x的取值范围.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.(2015· 宜宾一诊)给出下列三个命题:①命题p: ?x∈R,使得x2+x-1<0,则 ? p:

? x∈R,使得x2+x-1≥0;②“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件;③若“p∨q”为真
命题,则“p∧q”为真命题. 其中正确命题的个数为 .

13.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意的a,b∈P,都有a+b,a-b,

a ab, b ∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域,数集
F={a+b 2 |a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集 Q ? M,则数集M必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域. 其中正确的命题是 .(填序号)

【检测与评估答案】
第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1. ?x∈R,2x2-1≤0 2.充分不必要 【解析】? p:|x+1|>4 ? x<-5或x>3,? q:x≤2或x≥3,所以 ? p ?? q,但? q ? p,故? p是? q的充分不必要条件.

3.(-∞,-12)∪(-4,4) 【解析】若p真,则Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;若q真,则-

a 4 ≤3,即a≥-12.由“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,知命题p和q一真一假.若p真q
假,则a<-12;若p假q真,则-4<a<4,故实数a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).

3 3 4. 必要不充分 【解析】? p:x≤1或x> 2 ,q:x<1或x> 2 ,所以? p是q的必要不充
分条件.

? 1 2? ? ,? 5. ? 2 3 ?

【解析】命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,即

3a 2 2 ≤1,a≤ 3 .命题q:关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数,即 0<2a-1<1, 1 2 1 1 2 2 <a<1.若p且q为真命题,则有a≤ 3 且 2 <a<1,所以 2 <a≤ 3 ,即实数a的取值范
? 1 2? ? ,? 围是 ? 2 3 ? .

6. -1

【解析】由 x0 -2x0-3>0,得x0>3或x0<-1.又对任意的x0<a,不等式 x0 -2x0-3>0

2

2

恒成立,故实数a的最大值为-1.

3 7.[-3,0] 【解析】因为命题p:“ ?x∈R,2ax +ax- 8 >0”为假命题,所以对于任意
2

3 的x,都有2ax2+ax- 8 ≤0,所以a=0显然成立.当a<0时,则Δ=a2+3a≤0,所以-3≤a<0.
综上,实数a的取值范围是[-3,0].

8. ①③

【解析】①命题p为真命题,命题q为真命题,所以“p∧? q”为假命题,故

①正确;②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;③正确.所以正确结论的序号为 ①③.

?? ? m2 -4 ? 0, ? 9.若p为真命题,则有 ?-m ? 0,
所以m>2. 若q为真命题,则有Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0,所以1<m<3. 由“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,知命题p与q一真一假.

?m ? 2, ? 当p真q假时,由 ?m ? 1或m ? 3, 得m≥3; ?m ? 2, ? 当p假q真时,由 ?1 ? m ? 3, 得1<m≤2.
综上,m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).

10.因为命题p的否定是一个真命题, 所以命题p是假命题,即函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2,1)上单调. 因为f'(x)=3x2+a, 当a≥0时,f'(x)≥0,所以f(x)在(-2,1)上单调递增,满足题意; 当a<0时,令f'(x)=3x2+a=0,

解得x=±

a 3, a 3 ? (-2,1),

由题意知±

? ? ? ? ?? 所以 ?

-

a ? 1, 3
?a ? -3, -a ? -2, ? 3 即 ?a ? -12,

联立a<0,得a≤-12. 综上,a的取值范围为(-∞,-12]∪(0,+∞).

11.p:-1≤x≤5. (1) 因为p是q的充分条件, 所以[-1,5]是[1-m,1+m]的子集,
? m ? 0, ? ?1-m ? -1, ?1 ? m ? 5, 所以 ? 得m≥4,

所以实数m的取值范围为[4,+∞). (2) 当m=5时,q:-4≤x≤6. 依题意知p与q一真一假.

?-1 ? x ? 5, ? x -4或x 6, 当p真q假时,由 ? 得x∈ ? . ? x -1或x 5, ? 当p假q真时,由 ?-4 ? x ? 6, 得-4≤x<-1或5<x≤6.
所以实数x的取值范围为[-4,-1)∪(5,6]. 【解析】若命题p: ?x∈R,使得x2+x-1<0,则? p: ? x∈R,使得x2+x-1≥0,

12. 2

故①正确;“x2-4x-5>0” ? “x>5或x<-1”,故“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条

件,故②正确;若“p∨q”为真命题,则p,q中至少存在一个真命题,若此时两个命 题一真一假,则“p∧q”为假命题,故③错误.故正确命题的个数为2.

13.③④

【解析】要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验,如①对除法如

1 2 ? Z不满足,所以排除;对②,当有理数集Q中多一个元素i(i是虚数单位),则会
出现1+i不属于该集合,所以它也不是一个数域;③④成立.


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