微积分上练6答
《微积分上》作业 6 微积分上》
一． 学院 专业 单选题（共 3×10 分） 年级班级 姓名 序号
*1.
∫ cos
tan x dx =（ A 2 x
）
1 A. tan 2 x + C 2 *2.
B. ?
1 tan 2 x + C 2 )
C.
1 +C cos x
D. ?
1 +C cos x
dx ∫ 1 + x2 = (
C
A.tgx+c *3.若
B.arcctgx+c
2x
C.arctgx+c
D.arcsinx+c
∫ f ( x)dx = e
2x
+ e ?2 x + c, 则 f (x) = （ C
B. e
2x
）
D. ( e + e
x ?x 2
A． e *4． ∫
+ e ?2 x
=(
1 2
? e ?2 x
C. 2e
2x
? 2 e ?2 x
)
xdx 1? x2
2
A
)
1 2
A. ? (1 ? x ) + c C. x arcsin x + c
*5．
B. (1 ? x ) + c
2
2 D. ln x + 1 ? x + c
∫
1 1 + 4x 2
dx = ( D
) B. ln 2 x ? 1 + 4 x 2 + C D. A
A. ln 2 x + 1 + 4 x 2 + C C.
1 ln x + 1 + 4 x 2 + C 2 dx = ? arcctgx + c
1 ln 2 x + 1 + 4 x 2 + C 2
) B.
6.以下各题计算结果正确的是( A.
∫1+ x
∫ sin
2
∫
x dx =
1 2 x
2
+c
C.
xdx = cos x + c
D.
∫ tgxdx = sec
x+c
*7.函数 f ( x ) = e 2 x 的原函数是( A． *8. 若
A C. e
)
1 2x e +4 2
B. 2e
2
2x
1 3
2x
+3
D. e
1 3
2x
∫
f ( x ) dx = x
+ c , 则 ∫ xf (1 ? x 2 )dx = (
D
)
A. 2(1 ? x 2 ) + c
B. ? 2(1 ? x 2 ) 2 + c
1
C.
1 (1 ? x 2 ) 2 + c 2
1 D. ? (1 ? x 2 ) 2 + c 2
C ) B. xf ′( x) ? f ′( x) + C D. ? xf ′( x) + f ( x) + C
*9.若 f ′′(x) 连续,则 ∫ xf ′′( x)dx = (
A. xf ′( x) ? ∫ f ( x)dx
C. xf ′( x) ? f ( x) + C
*10．积分 ∫ A. ?
xe x dx = （ C (1 + x) 2
B. ?
） ex +c 1+ x ex +c (1 + x) 2
1 1 d ( xe x ) +∫ 1+ x 1+ x
ex +c 1+ x
ex +c (1 + x) 2
C.
D.
1 xe x x ∫ (1 + x) 2 dx = ?∫ xe d (1 + x )
= ? xe x
= ? xe x
x
1 1 1 1 +∫ (e x + xe x )dx = ? xe x + ∫ e x dx = ? xe x + ex + c 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
?x ex =e ( + 1) + c = +c 1+ x 1+ x
二﹑计算题(4×10) *1.求
∫
e3
x
x
dx = 2 ∫ e 3 x d (3 x) = 2 e 3
3 3
x
+c
*2.求
∫ 4x
1 1 1 1 1 dx ? = ∫( )dx = ln 2 x ? 1 ? ln 2 x + 1 + c 2 ? 1 2 2x ? 1 2x + 1 4 4
*3. 求
∫ arccos xdx = x arccos x ? ∫ xd arccos x = x arccos x + ∫
= x arccos x ?
x 1? x2
dx
1 1 2 2 ∫ 1 ? x 2 d (1 ? x ) = x arccos x ? 1 ? x + c 2
1 )dx = ln x ? ln x ? 1 ? 1 +c x ?1
*4.求
∫ x( x ? 1)
1
2
dx =
∫ ( x ? x ? 1 + ( x ? 1)
1
1
2
*5.
1 x 1 x x e ?2 x sin dx = ? 1 ∫ sin x de ? 2 x = ? e ?2 x sin + ∫ e ?2 x cos dx ∫ 2 2 4 2 2 2 2
2
=?
x 1 x x 1 x 1 ?2 x 1 1 e sin ? ∫ cos de ? 2 x = ? e ? 2 x sin ? cos e ? 2 x ? 2 2 8 2 2 2 8 2 16
x e ?2 x sin dx ∫ 2
(1 +
1 x 1 x 1 x ) ∫ e ?2 x sin dx = ? e ? 2 x sin ? cos e ? 2 x + C1 16 2 2 2 8 2 x x x 2 e ?2 x sin dx = ? e ?2 x (cos + 4 sin ) + C ∫ 2 17 2 2
*6.求 x 2 cos 2
x dx 2 1 1 1 2 1 + cos x dx = ∫ ( x 2 + x 2 cos x)dx = [ x 3 + ∫ x 2 d (sin x)] 原式= ∫ x ? 2 2 2 3 1 3 1 2 1 1 3 1 2 = x + x sin x ? ∫ 2 x sin xdx = x + x sin x + ∫ xd (cos x) 6 2 2 6 2 1 3 1 2 = x + x sin x + x cos x ? sin x + C 6 2
∫
x2 x2 + x +1 x +1 *7. 求 ∫ 2 dx = ∫ ( 2 ? 2 )dx x + x +1 x + x +1 x + x +1 1 2x + 1 1 1 ∫ x 2 + x + 1dx ? 2 ∫ x 2 + x + 1dx 2 1 1 1 1 =x? ∫ 2 d ( x 2 + x + 1) ? ∫ dx 1 2 3 2 x + x +1 2 (x + ) + 2 4 = ∫ dx ?
=x?
1 1 2 2x + 1 ln x 2 + x + 1 ? ? arctg +C 2 2 3 3 1 1 2x + 1 ln x 2 + x + 1 ? arctg +C 2 3 3
=x?
*8. 求
x 2 e x dx ∫
2
∫x
e x dx = ∫ x 2 de x = x 2 e x ? ∫ e x d ( x 2 ) = x 2 e x ? 2∫ xe x dx
=x =x
2
e x ? 2 ∫ xde x
=x
2
e x ? 2 xe x + 2 ∫ e x dx
2
e x ? 2 xe x + 2e x + c
*9. 求 e sin x sin 2 xdx = e sin x 2 ? sin x ? cos xdx = 2 e sin x sin xd sin x = 2 sin xde sin x = 2 sin x ? e sin x ? 2 e sin x d sin x = 2 sin x ? e
3
∫
∫
∫
∫
∫
sin x
? 2e sin x + C
*10．求
∫x
2
dx 1 1 1 1 1 x+2 ? =- ∫ ( )dx = ? [ln x + 2 ? ln x ? 3 ] + C = ? ln +C 5 5 x ?3 ? x?6 5 x+2 x?3
三﹑综合题(10×3)
1. 设 y = y (x ) 是由方程 y 2 ( x ? y ) = x 2 所确定的隐函数，试求
∫y
dx
2
解：
y2 y 1 (1 ? ) = 2 x x x
设
y 1 1 = t 代入方程得 t 2 (1 ? t ) = ，即 x = 2 x x t (1 ? t ) dx = dx
2
3t ? 2 1 dt , y = 2 t (1 ? t ) t (1 ? t )
2
∫y
= ∫ t 2 (1 ? t ) 2
=
3t ? 2 2 dt = ∫ (3 ? )dt = 3t ? 2 ln t + C 2 t t (1 ? t )
2
3y y ? 2 ln + C x x
2. 设
f (sin 2 x ) =
x x f ( x)dx ， 求∫ sin x 1? x
x = arcsin t x 1? x ? arcsin x x f (t ) = arcsin t t
sin 2 x = t
sin x = t
∫
x 1? x
f ( x)dx = ∫
dx = ? 2 ∫ arcsin x d 1 ? x
1 2 x dx 1? x
= ? 2 1 ? x arcsin x + 2 ∫ 1 ? x
= ? 2 1 ? x arcsin x + 2 x + c
3.设 f(x)在区间[a,b]上连续， 在(a,b)内可导， 证明在 （a,b） 内至少存在一点 ξ ， 使
证：令 F ( x) = xf ( x)
bf (b) ? af ( a ) = f (ξ ) + ξf ' (ξ ) b?a
F (x) 在 [a, b] 上连续，在（a,b）上可导
4
∴ 存在ξ ∈ a, b) （
即
使得
bf (b) ? af ( a ) = f (ξ ) + ξf ′(ξ ) b?a
F (b) ? F (a ) = F ′(ξ ) b?a
补充题：
1. 设需求量 Q 对价格 p 的函数为 Q A. ?
= e
?
p 4
,则需求弹性为 η ( p ) =（ C.
C
）
1 p 4
B. 4 p
1 p 4
D. ? 4 p
2．设
f ( x) ? ? ln ?1 + sin 2 x ? ? = 5 ,则 lim f ( x) = lim ? x x →0 x →0 x 2 3 ?1 1 3 1 2 x ? x ? x ,的极大值点为( 9 3
A
。
3.函数 y =
).
A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 Page 200: 习题 3-7， 1（1） ，2（1） （5） （3） （3） Page 253： 习题 4-2， 2 （1）到（31）单数题 Page 258: 习题 4-3， （1）到（22）全部
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