2016年北京市高考数学试卷(文科)

2016 年北京市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 8 小题) 1. (2016?北京)已知集合 A={x|2<x<4},B={x|x<3 或 x>5},则 A∩B=( ) A.{x|2<x<5} B.{x|x<4 或 x>5} C.{x|2<x<3} D.{x|x<2 或 x>5} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】由已知条件利用交集的定义能求出 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={x|2<x<4},B={x|x<3 或 x>5}, ∴A∩B={x|2<x<3}. 故选:C. 【点评】 本题考查交集的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集的定义的合理运用. 2. (2016?北京)复数 =( )

A.i B.1+i C.﹣i D.1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】将分子分线同乘 2+i,整理可得答案. 【解答】解: = = =i,

故选:A 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算,共轭复数的定义,难度不大,属于 基础题. 3. (2016?北京)执行如图所示的程序框图,输出 s 的值为( )

A.8 B.9 C.27 D.36 【考点】程序框图. 【专题】计算题;操作型;算法和程序框图.
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【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:当 k=0 时,满足进行循环的条件,故 S=0,k=1, 当 k=1 时,满足进行循环的条件,故 S=1,k=2, 当 k=2 时,满足进行循环的条件,故 S=9,k=3, 当 k=3 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 S 值为 9, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程 序法进行解答. 4. (2016?北京)下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2
﹣x



【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数单调性的定义,余弦函数单调性,以及指数函数的单调性便可判断每个选 项函数在(﹣1,1)上的单调性,从而找出正确选项. 【解答】解:A.x 增大时,﹣x 减小,1﹣x 减小,∴ ∴函数 在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误; 增大;

B.y=cosx 在(﹣1,1)上没有单调性,∴该选项错误; C.x 增大时,x+1 增大,ln(x+1)增大,∴y=ln(x+1)在(﹣1,1)上为增函数,即该选 项错误; D. ;

∴根据指数函数单调性知,该函数在(﹣1,1)上为减函数,∴该选项正确. 故选 D. 【点评】 考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法, 以及余弦函数和指数函 数的单调性,指数式的运算. 5. (2016?北京)圆(x+1) +y =2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为( ) A.1 B.2 C. D.2 【考点】圆的标准方程;点到直线的距离公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 2 2 【分析】先求出圆(x+1) +y =2 的圆心,再利用点到到直线 y=x+3 的距离公式求解. 2 2 【解答】解:∵圆(x+1) +y =2 的圆心为(﹣1,0) , 2 2 ∴圆(x+1) +y =2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为: d= = .
2 2

故选:C. 【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线 的距离公式和圆的性质的合理运用.
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6. (2016?北京)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为( A. B. C. D.



【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,先求出基本事件总数,再求出甲被选中包含 的基本事件的个数,同此能求出甲被选中的概率. 【解答】解:从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人, 基本事件总数 n= =10, =4,

甲被选中包含的基本事件的个数 m= ∴甲被选中的概率 p= = = .

故选:B. 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用. 7. (2016?北京)已知 A(2,5) ,B(4,1) .若点 P(x,y)在线段 AB 上,则 2x﹣y 的最 大值为( ) A.﹣1 B.3 C.7 D.8 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;不等式. 【分析】平行直线 z=2x﹣y,判断取得最值的位置,求解即可. 【解答】解:如图 A(2,5) ,B(4,1) .若点 P(x,y)在线段 AB 上, 令 z=2x﹣y,则平行 y=2x﹣z 当直线经过 B 时截距最小,Z 取得最大值, 可得 2x﹣y 的最大值为:2×4﹣1=7. 故选:C.

【点评】本题考查线性规划的简单应用,判断目标函数经过的点,是解题的关键.

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8. (2016?北京) 某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶 段,表中为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学生序号 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 立定跳远(单位: 1.96 1.92 米) a 75 60 63 72 70 b 65 30 秒跳绳(单位:63 a﹣1 次) 在这 10 名学生中, 进入立定跳远决赛的有 8 人, 同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的 有 6 人,则( ) A.2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B.5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C.8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D.9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】探究型;简易逻辑;推理和证明. 【分析】根据已知中这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛 和 30 秒跳绳决赛的有 6 人,逐一分析四个答案的正误,可得结论. 【解答】解:∵这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人, 故编号为 1,2,3,4,5,6,7,8 的学生进入立定跳远决赛, 又由同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人, 则 3,6,7 号同学必进入 30 秒跳绳决赛, 剩下 1,2,4,5,8 号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a﹣1 有且只有 3 人进入 30 秒 跳绳决赛, 故成绩为 63 的同学必进入 30 秒跳绳决赛, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是推理与证明,正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程,是 解答的关键. 二.填空题(共 6 小题) 9. (2016?北京)已知向量 =(1, ) , =( ,1) ,则 与 夹角的大小为 .

【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】计算题;定义法;平面向量及应用. 【分析】根据已知中向量的坐标,代入向量夹角公式,可得答案. 【解答】解:∵向量 =(1, ∴ 与 夹角 θ 满足: cosθ= 又∵θ∈[0,π], ∴θ= , .
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) , =(

,1) ,

=

=



故答案为:

【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式,熟练掌握平面向量的夹角公式,是解答 的关键. 10. (2016?北京)函数 f(x)= (x≥2)的最大值为 2 .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】分离常数便可得到 ,根据反比例函数的单调性便可判断该函数在

[2,+∞)上为减函数,从而 x=2 时 f(x)取最大值,并可求出该最大值. 【解答】解: ;

∴f(x)在[2,+∞)上单调递减; ∴x=2 时,f(x)取最大值 2. 故答案为:2. 【点评】考查函数最大值的概念及求法,分离常数法的运用,以及反比例函数的单调性,根 据函数单调性求最值的方法.

11. (2016?北京)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为



【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,进而可得答 案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱, 棱柱的底面面积 S= ×(1+2)×1= , 棱柱的高为 1, 故棱柱的体积 V= , 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体 的形状是解答的关键.

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12. (2016?北京)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦

点为( ,0) ,则 a= 1 ,b= 2 . 【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由双曲的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( ,0) ,列出方程组,由此能出 a, b. 【解答】 解: ∵双曲线 0) , ﹣ =1 (a>0, b>0) 的一条渐近线为 2x+y=0, 一个焦点为 ( ,





解得 a=1,b=2. 故答案为:1,2. 【点评】本题考查双曲线中实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的性 质的合理运用. 13. (2016?北京)在△ ABC 中,∠A=

,a=

c,则 = 1



【考点】正弦定理的应用. 【专题】计算题;规律型;转化思想;解三角形. 【分析】利用正弦定理求出 C 的大小,然后求出 B,然后判断三角形的形状,求解比值即 可. 【解答】解:在△ ABC 中,∠A= 由正弦定理可得: = ,sinC= ,C= , ,则 B= = . ,a= c,

三角形是等腰三角形,B=C,则 b=c, 则 =1. 故答案为:1. 【点评】本题考查正弦定理的应用,三角形的判断,考查计算能力. 14. (2016?北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出 19 种商品,第 二天售出 13 种商品,第三天售出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都售出的 商品有 4 种,则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种;
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②这三天售出的商品最少有 29 种. 【考点】容斥原理;集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】①由题意画出图形得答案;②求出前两天所受商品的种数,由特殊情况得到三天 售出的商品最少种数. 【解答】解:①设第一天售出商品的种类集为 A,第二天售出商品的种类集为 B,第三天 售出商品的种类集为 C, 如图,

则第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种; ②由①知,前两天售出的商品种类为 19+13﹣3=29 种, 当第三天售出的 18 种商品都是第一天或第二天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少 为 29 种. 故答案为:①16;②29. 【点评】本题考查集合的包含关系及其应用,考查了集合中元素的个数判断,考查学生的逻 辑思维能力,是中档题. 三.解答题(共 6 小题) 15. (2016?北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和. 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】方程思想;分析法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)设{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列,运用通项公式可 得 q=3,d=2,进而得到所求通项公式; (2)求得 cn=an+bn=2n﹣1+3 ,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数 列的求和公式,计算即可得到所求和. 【解答】解: (1)设{an}是公差为 d 的等差数列, {bn}是公比为 q 的等比数列, 由 b2=3,b3=9,可得 q= bn=b2q =3?3 =3 ; 即有 a1=b1=1,a14=b4=27, 则 d= =2,
n﹣2 n﹣2 n﹣1 n﹣1

=3,

则 an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; n﹣1 (2)cn=an+bn=2n﹣1+3 , 则数列{cn}的前 n 项和为 (1+3+…+(2n﹣1) )+(1+3+9+…+3
n﹣1

)= n?2n+

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=n +

2



【点评】 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用, 同时考查数列的求和 方法:分组求和,考查运算能力,属于基础题. 16. (2016?北京)已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间. 【考点】复合三角函数的单调性;三角函数的周期性及其求法. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积,再由周期公式列式求得 ω 的值; (2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x 的取值范围得 f(x)的单调递增区间. 【解答】解: (1)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx= 由 T= ,得 ω=1; . ,得 ](k∈Z) . . = .

(2)由(1)得,f(x)= 再由 ∴f(x)的单调递增区间为[

【点评】本题考查 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,考查了两角和的正弦,属中档题. 17. (2016?北京)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过 w 立方米的部分 按 4 元/立方米收费,超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费,从该市随机调查了 10000 位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:

(1)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立 方米,w 至少定为多少? (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的 人均水费. 【考点】频率分布直方图;随机抽样和样本估计总体的实际应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
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【分析】 (1)由频率分布直方图得:用水量在[0.5,1)的频率为 0.1,用水量在[1,1.5)的 频率为 0.15,用水量在[1.5,2)的频率为 0.2,用水量在[2,2.5)的频率为 0.25,用水量在 [2.5,3)的频率为 0.15,用水量在[3,3.5)的频率为 0.05,用水量在[3.5,4)的频率为 0.05, 用水量在[4,4.5)的频率为 0.05,由此能求出为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立 方米,w 至少定为 3 立方米. (2)当 w=3 时,利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费. 【解答】解: (1)由频率分布直方图得: 用水量在[0.5,1)的频率为 0.1, 用水量在[1,1.5)的频率为 0.15, 用水量在[1.5,2)的频率为 0.2, 用水量在[2,2.5)的频率为 0.25, 用水量在[2.5,3)的频率为 0.15, 用水量在[3,3.5)的频率为 0.05, 用水量在[3.5,4)的频率为 0.05, 用水量在[4,4.5)的频率为 0.05, ∵用水量小于等于 3 立方米的频率为 85%, ∴为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米, ∴w 至少定为 3 立方米. (2)当 w=3 时,该市居民的人均水费为: (0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3) ×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5, ∴当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费为 10.5 元. 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查当 w=3 时,该市居民该月的人均水费的估 计的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意频率分布直方图的合理运用. 18. (2016?北京)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面 PAC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC; (3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA∥平面 CEF?说明理由.

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;立体几何. 【分析】 (1)利用线面垂直的判定定理证明 DC⊥平面 PAC; (2)利用线面垂直的判定定理证明 AB⊥平面 PAC,即可证明平面 PAB⊥平面 PAC; (3)在棱 PB 上存在中点 F,使得 PA∥平面 CEF.利用线面平行的判定定理证明. 【解答】 (1)证明:∵PC⊥平面 ABCD,DC?平面 ABCD, ∴PC⊥DC,
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∵DC⊥AC,PC∩AC=C, ∴DC⊥平面 PAC; (2)证明:∵AB∥DC,DC⊥AC, ∴AB⊥AC, ∵PC⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD, ∴PC⊥AB, ∵PC∩AC=C, ∴AB⊥平面 PAC, ∵AB?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PAC; (3)解:在棱 PB 上存在中点 F,使得 PA∥平面 CEF. ∵点 E 为 AB 的中点, ∴EF∥PA, ∵PA?平面 CEF,EF?平面 CEF, ∴PA∥平面 CEF. 【点评】本题考查线面平行与垂直的证明,考查平面与平面垂直的证明,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题.

19. (2016?北京)已知椭圆 C:

+

=1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点.

(1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交 于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 【考点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系. 【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由题意可得 a=2,b=1,则 离心率为 e= ; ,则椭圆 C 的方程可求,

(2)设 P(x0,y0) ,求出 PA、PB 所在直线方程,得到 M,N 的坐标,求得|AN|,|BM|.由 ,结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定值 2.

【解答】 (1)解:∵椭圆 C:

+

=1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点,

∴a=2,b=1,则 ∴椭圆 C 的方程为 (2)证明:如图, 设 P(x0,y0) ,则

, ,离心率为 e= ;

,PA 所在直线方程为 y=



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取 x=0,得



,PB 所在直线方程为



取 y=0,得



∴|AN|=



|BM|=1﹣



∴ =﹣

=

=

=

= ∴四边形 ABNM 的面积为定值 2.



【点评】 本题考查椭圆的标准方程, 考查了椭圆的简单性质, 考查计算能力与推理论证能力, 是中档题. 20. (2016?北京)设函数 f(x)=x +ax +bx+c. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)设 a=b=4,若函数 f(x)有三个不同零点,求 c 的取值范围; 2 (3)求证:a ﹣3b>0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
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3 2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理. 【专题】方程思想;分析法;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,进而得到所求切线的方程; 3 2 3 2 (2)由 f(x)=0,可得﹣c=x +4x +4x,由 g(x)=x +4x +4x,求得导数,单调区间和极 值,由﹣c 介于极值之间,解不等式即可得到所求范围; (3)先证若 f(x)有三个不同零点,令 f(x)=0,可得单调区间有 3 个,求出导数,由导 数的图象与 x 轴有两个不同的交点,运用判别式大于 0,可得 a ﹣3b>0;再由 a=b=4,c=0, 2 可得若 a ﹣3b>0,不能推出 f(x)有 3 个零点. 3 2 2 【解答】解: (1)函数 f(x)=x +ax +bx+c 的导数为 f′(x)=3x +2ax+b, 可得 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线斜率为 k=f′(0)=b, 切点为(0,c) ,可得切线的方程为 y=bx+c; (2)设 a=b=4,即有 f(x)=x +4x +4x+c, 3 2 由 f(x)=0,可得﹣c=x +4x +4x, 3 2 2 由 g(x)=x +4x +4x 的导数 g′(x)=3x +8x+4=(x+2) (3x+2) , 当 x>﹣ 或 x<﹣2 时,g′(x)>0,g(x)递增; 当﹣2<x<﹣ 时,g′(x)<0,g(x)递减. 即有 g(x)在 x=﹣2 处取得极大值,且为 0; g(x)在 x=﹣ 处取得极小值,且为﹣ 由函数 f(x)有三个不同零点,可得﹣ 解得 0<c< , ) ; . <﹣c<0,
3 2 2

则 c 的取值范围是(0,

(3)证明:若 f(x)有三个不同零点,令 f(x)=0, 可得 f(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点. 即有 f(x)有 3 个单调区间, 即为导数 f′(x)=3x +2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点, 2 2 可得△ >0,即 4a ﹣12b>0,即为 a ﹣3b>0; 2 2 若 a ﹣3b>0,即有导数 f′(x)=3x +2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点, 2 当 c=0,a=b=4 时,满足 a ﹣3b>0, 2 即有 f(x)=x(x+2) ,图象与 x 轴交于(0,0) , (﹣2,0) ,则 f(x)的零点为 2 个. 2 故 a ﹣3b>0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 【点评】不同考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值,考查函数的零点的判断, 注意运用导数求得极值,考查化简整理的圆能力,属于中档题.
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