河南省中原名校2013届高三上学期第一次联考数学(文)试题

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河南省中原名校 2013 届高三上学期第一次联考数学(文) 试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.集合 ? x ? N |
*

? ?

12 ? ? Z ? 中含有的元素个数为 x ?
B.6 C.8 D.12
2

A.4
2

x y ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 2 ? k 2k ? 1 ?1 ? A. ? , 2 ? B. (1, ??) ?2 ? ?1 ? C. (1, 2) D. ? ,1? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知平面向量 a 和 b , a |=1, b |=2, a 与 b 的夹角为120? , |2 a ? b | | 且 则 |
2.已知方程 等于 A.2 B.4 C. 2 5 D.6 4.某程序框图如右图所示,则输出的结果是 A.46 B.45 C.44 D.43 5. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,下图是据北京 某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM 2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出 的 茎叶图,则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 A.甲乙相等 B.甲 C.乙 D.无法确定 6.下列有关命题的说法中,正确的是
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2 2

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2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” B.“ x ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.命题“ ?x ? R, 使得x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 都有x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“若 ? ? ? , 则 tan ? ? tan ? ”的逆命题为真命题 7.若递增等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a2 ? 2, S3 ? 7, 则公比 q 等于 A.2 B.

1 2

C.2 或

1 2

D.无法确定

8.一个几何体的三视图及尺寸如右图所示,其中正视图、侧视图都是等腰三角形,俯视图 是圆,则该几何体的表面积是 A. 12? B. 14? C. 16? D. 28? 9.已知函数 f ( x) ? ?2sin(2 x ? ? ) (| ? |? ? ) ,若 f ( ? ) ? ?2 ,则 f ( x) 的 8 一个单调递增区间可以是 A. [?

? 3?
, 8

8 3? C. [? 8

]

, ] 8

?

5? 9? , ] 8 8 ? 5? ] D. [ , 8 8
B. [

10.过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于 A,B 两点,设双曲线的左顶 点 M,若点 M 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率 e 的取值范围为 A. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

B. ?1, ?

? 3? ? 2?

C. (2, ??)
x

D. (1,2)

11.已知函数 f ( x) ?| log3 ( x ? 1) | ? ? ? ? 1 ,有 2 个不同的零点 x1 、 x2 ,则 A. x1 ? x2 ? 1, C. x1 ? x2 ? x1 ? x2 , 12. f ( x) ? 设 则 B. x1 ? x2 ? x1 ? x2 D. x1 ? x2 ? x1 ? x2 ,

?1? ? 3?

b?2 的取值范围为 a ?1

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c, 当 x ? (0,1) 时取得极大值, x ? (1, 2) 时取得极小值, 当 3 2

A. (1, 4)

B. ( ,1)

1 2

C. ?

?1 1? , ? ?4 2?

D. ?

?1 ? ,1? ?4 ?

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分,把答案填在指定的答题卷上。 13.已知 i 为虚数单位,则复数 14.已知 cos( a ?

1 ? 3i 的虚部是 3?i

。 ;

?
4

)?

2 ,则 sin 2a ? 3

15. 已知函数 f ( x) ? ( ) ? 1, g ( x) ? ? x ? 3 x ? 3 ,若存在实数 a , b 使得 f (a) ? g (b) ,
x 2

1 2

则实数b的取值范围是
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.

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16.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?ABC ? 90 AB ? 6,BC ? 8,AA ? 2 11 ,则直三棱 1 柱 ABC—A1B1C1 外接球的体积是 ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x (? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ )求 f (x) 的解析式; (Ⅱ )若 ?ABC 的三条边为 a , b , c ,满足 a ? bc , a 边所对的角为 A .求:角 A 的取 值范围及函数 f ( A) 的值域.
2

? . 2

18. (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 ABB1A1 是边长为 2 的菱形,且 ?A1 AB ? 60? ,M 是 AB 的中点, MA1 ? AC. (1)求证: MA1 ? 平面 ABC; (2)求点 M 到平面 AA1C1C 的距离。

19. (本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1, 2,…,8 ,其中 ξ ? 5 为标准

A , ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准 B 生产
该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应 的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系 数 3 ? ξ ? 5 的为三等品. (1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 M 的中心为坐标原点,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是抛物线

y 2 ? 8x
的焦点, 的离心率 e ? M

1 , M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l , M 于 A, 两点。 过 交 B 2

(1)求椭圆 M 的标准方程;

(2)设点 N(t,0)是一个动点,且 ( NA ? NB) ? AB ,求实数 t 的取值范围。

??? ??? ? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分) ln x ? k 已知函数 f ( x) ? (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在 ex 点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

选考题
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
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22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, O1与 ? O2 相交于 A、 两点, 是 ? O2 的直径, A 点作 ? O1 的切线交 ? O2 B AB 过 ? 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与 ? O1 、 ? O2 交于 C,D 两点。 求证: (1)PA· PD=PE· PC; (2)AD=AE。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 L : ? sin 2 ? ? 2cos? ,过点 A(5,α) 为锐角且 tan ? ? (α 作 平行于 ? ?

3 ) 4

?
4

( ? ? R ) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点。

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标 系,写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (2)求|BC|的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2x ? 1| ? | x ?1|? log2 a (其中 a ? 0 ) 。 (1)当 a ? 4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。

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