《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分29等差数列及其前n项和

开卷速查(二十九)

等差数列及其前 n 项和

A 级 基础巩固练 1.[2014· 福建]等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12, 则 a6 等于( A.8 C.12 ) B.10 D.14

解析: 设等差数列{an}的公差为 d, 则 S3=3a1+3d, 所以 12=3×2 +3d,解得 d=2,所以 a6=a1+5d=2+5×2=12,故选 C. 答案:C 2. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S8=4a3, a7=-2, 则 a9=( A.-6 C.-2 B.-4 D.2 )

解析:由 S8=4a3 知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以 a7=d=-2.所以 a9=a7+2d=-2-4=-6. 答案:A 3.下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; an p3:数列{ n }是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

解析:如数列为{-2,-1,0,1,…},则 1×a1=2×a2,故 p2 是假 an 命题;如数列为{1,2,3,…},则 n =1,故 p3 是假命题.故选 D 项. 答案:D 99 4. 已知等差数列{an}中, a7+a9=16, S11= 2 , 则 a12 的值是( A.15 C.31 B.30 D.64 )

11?a1+a11? 解析: 由题意可知 2a8 = a7 + a9 = 16 ? a8 = 8 , S11 = = 2 a8-a6 7 11×2a6 99 9 = 11 a = , a = ,则 d = 6 6 2 2 2 2 =4, 所以 a12=a8+4d=15,故选 A. 答案:A 1 5.在等差数列{an}中,a9=2a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11 =( ) A.24 C.66 B.48 D.132

1 解析:由 a9=2a12+6,得 2a9-a12=12. 11?a1+a11? 由等差数列的性质得,a6+a12-a12=12,a6=12,S11= 2 = 11×2a6 2 =132,故选 D. 答案:D 6.在递减等差数列{an}中,若 a1+a5=0,则 Sn 取最大值时 n 等

于(

) A.2 C.4 B.3 D.2 或 3

解析:∵a1+a5=2a3=0,∴a3=0,∵d<0,∴{an}的第一项和第二项 为正值,从第四项开始为负值,故 Sn 取最大值时 n 等于 2 或 3,选 D. 答案:D 3 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-3,ak+1=2,Sk=- 12,则正整数 k=__________. 3 21 解析:由 Sk+1=Sk+ak+1=-12+2=- 2 , 3? ? -3+2? ?k+1??a1+ak+1? ?k+1?? 21 ? ? 又 Sk+1= = =- 2 2 2 ,解得 k=13. 答案:13 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若-1<a3<1,0<a6<3, 则 S9 的取值范围是__________.

?-1<a1+2d<1, 解析:方法一:S9=9a1+36d,又? ?0<a1+5d<3,
规划知识,得-3<S9<21.

依据线性

方法二:S9=9a1+36d=x(a1+2d)+y(a1+5d),由待定系数法得 x =3,y=6. 因为-3<3a3<3,0<6a6<18,两式相加即得-3<S9<21. 方法三:a1+a2+a3+a4+a5=5a3,a6+a7+a8+a9=2a6+2a9,而

a3+a9=2a6,所以 S9=3a3+6a6,又-1<a3<1,0<a6<3,依据线性规 划知识,得-3<S9<21. 答案:(-3,21) 9.等差数列{an}的通项公式为 an=2n-8,下列四个命题.α1:数 an 列{an}是递增数列;α2:数列{nan}是递增数列;α3:数列{ n }是递增数
2 列;α4:数列{an }是递增数列.其中为真命题的是__________.

解析:由公差 d=2>0,知数列{an}是递增数列, 所以 α1 为真命题; 因为 nan=n(2n-8),对称轴为 n=2, 则数列{nan}先减后增,所以 α2 为假命题; an 8 an 因为 n =2-n,故数列{ n }是递增数列,所以 α3 为真命题;因为
2 2 an =(2n-8)2, 对称轴为 n=4, 则数列{an }先减后增, 所以 α4 为假命题.

答案:α1,α3 10.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)求数列{ }的前 n 项和. a2n-1a2n+1 n?n-1? 解析:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ 2 d.

?3a1+3d=0, 由已知可得? ?5a1+10d=-5,

解得 a1=1,d=-1. 故{an}的通项公式为 an=2-n. 1 1 1? 1 - 1 ? ? (2)由(1)知 = =2? ?2n-3 2n-1?, a2n-1a2n+1 ?3-2n??1-2n? ? ? 1 从而数列{ }的前 n 项和为 a2n-1a2n+1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? -1+1-3+…+ - ? 2? - 1 2 n - 3 2 n - 1 ? ? = . 1-2n B级 能力提升练 n

1 11.在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7-2a8 的值为( A.4 C.8 ) B.6 D.10

解析:∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16. 2a7-a8 a6 1 a7-2a8= 2 = 2 =8. 答案:C 12.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈ N*),若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 C.8 B.3 D.11 )

解析:设{bn}的公差为 d,

∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2. ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6. 7×6 ∴b1+b2+…+b7=7b1+ 2 · d=7×(-6)+21×2=0. 又 b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8 -3=0,∴a8=3.故选 B. 答案:B 13. [2015· 河北邢台市摸底考试]已知正项等差数列{an}的前 n 项和 2 2 为 Sn,且满足 a1+a5=7a3 ,S7=63. (1)求数列{an}的通项 an;
?1? (2)若数列{bn}满足 b1=a1 且 bn+1-bn=an+1,求数列?b ?的前 n 项 ? n?

和 Tn. 解析:(1)解法一 设正项等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,且 an>0,则 2 ? ?a1+a1+4d=7?a1+2d?2 ? ? ?7a1+21d=63 ∴an=2n+1. 2 2 解法二 ∵{an}是等差数列且 a1+a5=7a3 , 2 2 ∴2a3=7a3 , 又∵an>0,∴a3=7.

?a1=3 ,解得? ?d=2



7?a1+a7? ∵S7= =7a4=63,∴a4=9, 2 ∴d=a4-a3=2,∴an=a3+(n-3)d=2n+1. (2)∵bn+1-bn=an+1 且 an=2n+1,∴bn+1-bn=2n+3, 当 n≥2 时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n +1)+(2n-1)+…+5+3=n(n+2). 当 n=1 时,b1=3 满足上式,∴bn=n(n+2), 1 1 1?1- 1 ? ? ∴b = =2? n ? ?, n + 2 n n?n+2? ? ? 1 1 1 1 ∴Tn=b +b +…+ +b 1 2 bn-1 n 1? ?1 1? ?1 1? 1?? =2??1-3?+?2-4?+?3-5?+…+
?? ? ? ? ? ?

1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ? ? - ?? - + ?n-1 n+1? ?n n+2?? ? ? ? ?? 1?1+1- 1 - 1 ? ? =2? 2 n+1 n+2? ? ? ? 3 1? 1 + 1 ? ? =4-2? ?n+1 n+2?. ? ? 14.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=49,a4 和 a8 的等差 中项为 11. (1)求 an 及 Sn; 1 1 1 7 (2)证明:当 n≥2 时,有S +S +…+S <4.
1 2 n

解析:(1)方法一:设等差数列{an}的公差为 d,

?7a1+21d=49, ∵S7=49,a4+a8=22,∴? ?2a1+10d=22,
解得 a1=1,d=2,所以 an=2n-1,Sn=n2. 方法二:∵S7=7a4=49,∴a4=7. ∵a4+a8=22,∴a8=15. a8-a4 ∴d= 4 =2,a1=a4-3d=1. ∴an=2n-1,Sn=n2. (2)证法一:由(1)知,Sn=n2,n∈N*. 1 1 1 7 ①当 n=2 时,S +S =1+4<4,
1 2

∴原不等式成立. ②当 n≥3 时,∵n2>n(n-1), 1 1 1 1 ∴n2< = -n. n?n-1? n-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴S +S +…+S =12+22+…+n2<1+4+ +…+ 2×3 1 2 n ?n-1?n
? 1 1 ? ? 1 1?? 1 ??1 1? =1+4+??2-3?+…+?n-2-n-1?+?n-1-n?? ?? ? ? ? ? ??

1 ?1 1? 7 1 7 =1+4+?2-n?=4-n<4.
? ?

证法二:由(1)知,Sn=n2,n∈N*.

当 n≥2 时,∵n2>(n-1)(n+1), 1 ? 1 1 1? 1 ∴n2< =2?n-1-n+1?. ?n-1??n+1? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ S + S + … + S = 12 + 22 + … + n2 < 1 + + +…+ 1×3 2×4 1 2 n 1 1 + ?n-2?n ?n-1??n+1? 1??1 1? ?1 1? ?1 1? =1+2??1-3?+?2-4?+?3-5?+…
?? ? ? ? ? ? ? 1 1? ? 1 1 ?? +?n-2-n?+?n-1-n+1?? ? ? ? ??

1 ? 1?1 1 1 =1+2?1+2-n-n+1?
? ?

1 ? 7 7 1? 1 =4+2?-n-n+1?<4.
? ?


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