1.2 第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用 学案(人教A版必修5)

第 2 课时

正、余弦定理在三角形中的应用

【课标要求】 1.掌握三角形的面积公式. 2.会用正、余弦定理计算三角形中的一些量. 【核心扫描】 1.计算三角形的面积.(重点) 2.利用面积公式、正、余弦定理及三角函数公式、三角恒等变换、平面向量等知识求解 一些综合问题.(难点)

自学导引
三角形常用面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示 a 边上的高); 2 a a 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B= bcsin A; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 :已知三角形 ABC 的三边长 a,b,c,你能计算该三角形的面积吗? 1 提示:可以用余弦定理计算 cos C,再得出 sin C,利用 S= absin C 可求. 2

名师点睛
运用三角形面积公式时应注意的问题. (1)利用三角形面积公式解题时,常常要结合三角函数的有关公式. (2)解与三角形面积有关的问题,常需要利用正弦定理、余弦定理,解题时要注意发现各 元素之间的关系,灵活运用公式. (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.

题型一 三角形的面积计算问题 π 4 【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= ,cos A= ,b= 3. 3 5 (1)求 sin C 的值; (2)求△ABC 的面积. π 4 [思路探索] 由 B= ,cos A= 及三角函数诱导公式计算出 sin C,再利用正弦定理及三 3 5 角形面积公式求面积. π 4 解 (1)因为角 A,B,C 为△ABC 的内角,且 B= ,cos A= , 3 5 2π 3 所以 C= -A,sin A= . 3 5 2π 3+4 3 3 1 ? 于是 sin C=sin? ? 3 -A?= 2 cos A+2sin A= 10 . 3+4 3 3 (2)由(1)知 sin A= ,sin C= . 5 10 π 又因为 B= ,b= 3, 3 bsin A 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 a= = . sin B 5 于是△ABC 的面积

3+4 3 36+9 3 1 1 6 S= absin C= × × 3× = . 2 2 5 10 50 求三角形的面积,要充分挖掘题目中的条件,使之转化为求两边或两边之积 及其夹角正弦的问题, 要注意方程思想在解题中的应用, 另外也要注意三个内角的取值范围, 以避免由三角函数值求角时出现增根错误. 【变式 1】 在△ABC 中,c=2 2,a>b,tan A+tan B=5,tan A· tan B=6,试求 a,b 及 △ABC 的面积. 解 ∵tan A+tan B=5,tan A· tan B=6,且 a>b, ∴tan A=3,tan B=2,A,B 都是锐角. 3 10 10 5 2 5 ∴sin A= ,cos A= ,cos B= ,sin B= ,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ 10 10 5 5 2 cos Asin B= . 2 a b c 6 10 8 5 由正弦定理 = = 得,a= ,b= . sin A sin B sin C 5 5 1 1 6 10 8 5 2 24 S△ABC= absin C= × × × = . 2 2 5 5 2 5 题型二 三角形中的证明问题 a2-b2 sin?A-B? 【例 2】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,证明: 2 = . c sin C [思路探索] 三角恒等式的证明可以从左边入手,也可以从右边入手,证明时要注意正、 余弦定理的应用. 证明 法一 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, 得 a2-b2=b2-a2+2c(acos B-bcos A), 即 a2-b2=c(acos B-bcos A), a2-b2 acos B-bcos A a b 变形得 2 = = cos B- cos A, c c c c a b c 由正弦定理 = = 得 sin A sin B sin C a sin A b sin B = , = , c sin C c sin C 2 2 a -b sin Acos B-sin Bcos A sin?A-B? ∴ 2 = = . c sin C sin C sin?A-B? sin Acos B-cos Asin B sin A sin B 法二 = = cos B- cos A, sin C sin C sin C sin C a b c 由正弦定理 = = , sin A sin B sin C sin A a sin B b 得: = , = , sin C c sin C c a2+c2-b2 b2+c2-a2 由余弦定理推论得,cos B= ,cos A= , 2ac 2bc 2 2 2 2 2 2 sin?A-B? a a +c -b b b +c -a 代入上式得 = · - · sin C c 2ac c 2bc a2+c2-b2 b2+c2-a2 = - 2c2 2c2 2 2 2 2?a -b ? a -b2 = = 2 . 2c2 c ∴原等式成立. 三角形中有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明,但要注意灵活运用正、 余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系,使之转化为三角恒等式的证明, 或转化为关于 a,b,c 的代数恒等式的证明,并注意三角形中有关结论的运用.

a-c· cos B sin B 【变式 2】 在△ABC 中,求证: = . b-c· cos A sin A 证明 法一 化角为边. c?a2+c2-b2? a- 2ac 左边= c?b2+c2-a2? b- 2bc a2-c2+b2 2b = ·2 2 2a b -c +a2 b 2Rsin B sin B = = = =右边(R 为△ABC 外接圆半径), a 2Rsin A sin A 故原式成立. 法二 化边为角. sin A-sin Ccos B 左边= sin B-sin Ccos A sin?B+C?-sin Ccos B = sin?A+C?-sin Ccos A sin Bcos C sin B = = =右边, sin Acos C sin A 故原式成立. 题型三 三角形中的综合问题 【例 3】 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 3 满足 S= (a2+b2-c2). 4 (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A+sin B 的最大值. 审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识,同时考查 了三角运算求解能力. 1 3 [规范解答] (1)由题意可知 absin C= ×2abcos C.(2 分) 2 4 所以 tan C= 3,(4 分) π 因为 0<C<π,所以 C= .(6 分) 3 π? (2)由已知 sin A+sin B=sin A+sin? ?π-A-3? 2π ? =sin A+sin? ? 3 -A? 3 1 =sin A+ cos A+ sin A 2 2 π 2π ? = 3sin? ?A+6?≤ 3(0<A< 3 )(9 分) π 当 A= 时, 3 即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 所以 sin A+sin B 的最大值为 3.(12 分) 【题后反思】 解决三角形的综合问题, 除灵活运用正、 余弦定理及三角形的有关知识外, 一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识. 【变式 3】 (2013· 北京西城一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 4 且 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值;

(2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 4 3 解 (1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5 a b a 10 由正弦定理 = ,可得 = , sin A sin B sin 30° 3 5 所以 a= . 3 1 3 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac· sin B,sin B= ,所以 ac=3,ac=10. 2 5 10 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20. 5 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10. 方法技巧 面积计算问题 三角形、四边形中面积的最值问题,一般利用三角函数来解决,解决这类问题,正、余 弦定理是联系已知和未知的桥梁,三角函数的性质是关键. 【示例】 半圆 O 的直径长为 2,A 为直径延长线上一点 OA=2,B 为半圆上一点,以 AB 为边向外作等边△ABC,问 B 点在什么位置时,四边形 CAOB 面积最大,并求最大值. [思路分析] ∠AOB 随 B 点的变化而变化, 设∠AOB=α,则△AOB 的面积及 AB 均可用 α 表示,四边形 CAOB 的面积可表示为 α 的函数,利用三角恒等变换可求得 S 四边形 CAOB 的最值.

解 如图所示,设∠AOB=α, 在△AOB 中,由余弦定理得 AB2=OB2+OA2-2OB· OA· cos α=1+4-4cos α=5-4cos α. ∵△ABC 为等边三角形, 3 3 ∴S△ABC= · AB2= (5-4cos α). 4 4 1 ∵S△AOB= OA· OB· sin α=sin α, 2 π? 5 3 5 3 ∴S 四边形 CAOB=sin α+ - 3cos α=2sin? ?α-3?+ 4 . 4 5π 5 3 ∵0<α<π,∴α= 时,S 四边形 CAOB 最大=2+ . 6 4 方法点评 求多边形面积问题常采用割补法求面积, 把多边形割补成几个三角形, 利用正、 余弦定理解三角形,可求得三角形面积问题,进而解决多边形面积问题.


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