高一数学对数函数测试题

对数函数·例题解析 【例1】 (1) 求函数y = log 1 2 3x ? 2 的定义域. 2x ? 1 (2) 求函数y = 1 (a> 0,且a≠1) 的定义域. 1 ? log a ( x ? a ) 3 (3) 已知函数f(x) 的定义域是[0,1],求函数y = f[log 1 (3-x)]的定义 域. 3x ? 2 ? ? x ?1 log ≥ 0 ? 3x ? 2 1 ? 2 x ? 1 ? 2x ? 1 ≤0 ? 2 x ? 1 ≤1 ? 2 ? ? ? 3x ? 2 1 2 ? 解 (1) 由 ? >0 ? ?(3x ? 2)(2 x ? 1) > 0 ? ?x< 或x> ? 2 3 ? 2x ? 1 ? ? 1 1 ?2 x ? 1≠ 0 ?x≠ ? x≠ 2 ? ? ? 2 ? ? ?1 ? 2 <x≤1 ? 1 2 2 ? ?x< 或x> ? <x≤1 2 3 3 ? 1 ? x≠ ? 2 ? 2 ∴ 所求定义域为{x| <x≤1} 3 解 (2)∵1-loga(x+a)>0,∴loga(x+a)<1. 当 a>1 时,0<x+a<a,∴函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1 时,x+a>a,∴函数的定义域为(0,+∞). 解 (3) ∵f(x) 的定义域为[0,1],∴函数y = f[log 1 (3-x)]有意义, 3 必须满足 0≤log 1 (3-x) ≤1,即log 11 ≤log 1 (3-x) ≤log 1 3 3 3 3 1 1 ,∴ ≤ 3- 3 3 8 8 x≤1,∴ 2 ≤x≤ .故函数y = f[log 1 (3-x)]的定义域为[2 , ]. 3 3 3 10 x 【例2】 已知函数y = ,试求它的反函数,以及反函数的定义 1 ? 10 x 1 域和值域. 解 已知函数的定义域为R,∵y = (1-y)10 x = y,∴10 x = 10 x 10 x ∴ y ≠ 1 ,由 y = 得 1 ? 10 x 1 ? 10 x y > 0 ? 0<y<1,即为函数的值域. 1? y 由10 x = y y x 得x = lg ,即反函数f ?1 (x) = lg . 1? y 1? y 1? x 反函数的定义域为(0,1),值域为 y∈R. 【例 3】 作出下列函数的图像,并指出其单调区间. (1)y=lg(-x),(2)y=log2|x+1| (3)y =|log 1 (x-1)| ,(4)y=log 2 (1-x) . 2 解 (1)y=lg(-x)的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称,如 图 2.8-3 所示,单调减区间是(-∞,0). 解 (2)先作出函数 y=log2|x|的图像,再把它的图像向左平 移 1 个单位就得 y=log2|x+1|的图像如图 2.8-4 所示. 单调递减区间是(-∞,-1). 单调递增区间是(-1,+∞). 解 (3) 把y = log 1 x的图像向右平移1个单位得到y = log 1 (x-1) 2 2 的图像,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方 的图像以 x 轴为 对称轴翻折到x轴上方,就得到y =|log 1 (x-1)| 的图像.如图2.8-5 2 所示. 2 单调减区间是(-1,2]. 单调增区间是[2,+∞). 解 (4)∵函数 y=log2(-x)的图像与函数 y=log2x 的图像关 于 y 轴对称,故可先作 y=log2(-x)的图像,再把 y=log2(-x) 的图像向右平移 1 个单位得到 y=log2(1-x)的图像.如图 2.8 -6 所示. 单调递减区间是(-∞,1). 【例 4】 图 2.8-7 分别是四个对数函数,①y=logax② y=logbx③y=logcx④y=logdx 的图像,那么 a、b、c、d 的大小 关系是 [ ] A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.b>a>d>c D.b>c>a>d 解 选 C, 根据同类函数图像的比较, 任取一个 x>1 的值, 易得 b>a>1>d>c.故选 C. 3 【例 5】 解法一 已知 loga3>logb3,试确定 a 和 b 的大小关系. 令 y1=logax,y2=logbx,∵logax>logb3,即取 x =3 时,y1>y2,所以它们的图像,可能有如下三种情况: (1)当 loga3>logb3>0 时,由图像 2.8-8,取 x=3,可得 b>a>1. (2)当 0>loga3>logb3 时,由图像 2.8-9,得 0<a<b< 1. (3)当 loga3>0>logb3 时,由图像 2.8-10,得 a>1>b >0. 解法二 由换底公式,化成同底的对数. 1 1 > >0,∴log 3 b>log 3a>0, log 3 a log 3 b 当log a 3>log b 3>0时,得 ∵函数 y=log3x 为增函数,∴b>a>1. 当log b 3<log a 3<0时,得 1 1 < <0,∴0>log 3 b>log 3a, log 3 b log 3 a ∵函数 y=log3x 为增函数,∴0<a<b. 当log a 3>0>log b 3时,得 1 1 >0> ∴log 3a>0>log 3 b, log 3 a log 3 b 即 a>1>b>0. 4 【例6】 若a 2 >b>a>1,则log a a b 、log b 、log b a、log a b的大小 b a 顺序是:________. a b a b 解 ∵a 2 >b>a>1,∴ 0< <1, >1,∴log a < 0,log b > b a b a b b 0, 0<log b a<1,log a b>1.由a 2 >b>a>1得a> >1∴log b <log b a< a a a b 1,故得:l

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