北京市西城区2010年高三年级抽样测试(二)数学试题(文)

年高三年级抽样测试数学试题( 北京市西城区 2010 年高三年级抽样测试数学试题(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷

(选择题, 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 1.已知全集 U = {1,2,3,4,5,6} ,集合 A = {1,3,5} , B = {4,5,6} ,则结合 C U ( A ∪ B ) = ( A. {2,4,6} B. {2} C. {5} D. {1,3,4,5,6} ( ) )

2.一直平面向量 a =(1,2) b = (m,4) , ,且 a ∥ b2 ,则 a · b = A.4 B.-6 C.-10 3.右图是一个几何体的三视图,则该几何体 的体积为 ( ) A.6 B.8 C.16 D.24 4. 0 < a < b ”是“ ( ) > ( ) ”的( “
a b

D.10

1 4

1 4



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 5.某工厂对一批电子元件进行了抽样检测, 右图是根据抽样检测后元件使用寿命(单 位:小时)的数据绘制的频率分布直方图, 其中元件使用寿命的范围是 [100,600] , 样本数据分组为 [100,200) , [ 200,300) ,

[300,400) , [400,500) , [500,600) ,
若样本元件的总数为 1000 个,则样本中使 用寿命大于或等于 200 小时并且小于 400 小时的元件的个数是 ( )

A.450 个

B.400 个

C.250 个

D.150 个

6.若等差数列 {a n } 的公差 d ≠0,且 a1 , a3 , a 7 成等比数列,则

a2 = a1
1 2





A.2

B.

2 3

C.

3 2

D.

7.关于直线 l , m 及平面α,β,下列命题中正确的是 A.若 l∥α,α ∩ β=m,则 l∥m





B.若 l ∥α,m∥α,则 l ∥m C.若 l⊥α,l∥β,则α⊥β D.若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α 8.若椭圆或双曲线上存在点 P,使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2:1,则此椭圆离心率的取 值范围是 ( ) A. [ , ]

1 1 4 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. ( ,1)

1 3

D. [ ,1)

1 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.设 i 是虚数单位,则

i = 1? i3

。 。

10.以点(-1,2)为圆心且与直线 x + y ? 3 = 0 相切的圆的方程是 11.已知 f ( x) = ?

x > 1, 则 f (log 2 3) 的值是 ?2 ? x, x ≤ 1, ?2 x ,



12.在△ABC 中, a , b , c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a = 1 , b =

2,
。 。

cos B =

1 ,则 sin A = 3

13.执行右图所示的程序,输出的结果为

14.无穷等差数列 {a n } 的各项均为整数,首项为 a1 、 公差为 d ,3、21、15 是其中的三项,给出下列命题; ①存在满足条件的数列 {a n } ,使得对任意的 n ∈ N * , S 2 a = 4 S n 成立。 ②对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 99 一定是数列 {a n } 中的一项; ③对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 30 一定是数列 {a n } 中的一项; 其中正确命题为 。 (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = 2 cos x sin(

π
2

? x) .

(1)求 f (x ) 的最小正周期; (2)求 f (x ) 在区间 [

π 2π
6 , 3

] 上的最大值和最小值。

16. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥底面 ABCD,M、N 分别为 PA、 BC 的中点,且 PD=AD= 2 ,CD=1 (1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PBD; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积。

17. (本小题满分 13 分) 已知集合 A = {x | ?3 < x < 1} , B = {x |

x+2 < 0} x?3

(1)求 A ∩ B,A ∪ B; (2)在区间(-4,4)上任取一个实数 x ,求“ x ∈ A ∩ B”的概率; (3)设( a , b )为有序实数对,其中 a 是从集合 A 中任意的一个整数, b 是从集合 B 中任 取一个整数,求“ b ? a ∈ A ∪ B”的概率。

18. (本小题满分 13 分) 设 a > 0 且 a ≠0,函数 f ( x ) =

1 2 x ? ( a + 1) x + a ln x . 2

(1)当 a = 2 时,求曲线 y = f (x ) 在(3, f (3) )处切线的斜率; (2)求函数 f (x ) 的极值点。

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 = 2 px ,点 P(-1,0)是其准线与 x 轴的焦点,过 P 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点。 (1)当线段 AB 的中点在直线 x = 7 上时,求直线 l 的方程; (2)设 F 为抛物线 C 的焦点,当 A 为线段 PB 中点时,求△FAB 的面积。

20. (本小题满分 14 分) 已知 a1 = 1 , a n +1 =

an + 4 (n ∈ N * ) an + 1

(1)求 a 2 , a3 , a 4 的值; (2)判断 x n 与 2 的大小关系,并证明你的结论; (3)求证: | a1 ? 2 | + | a 2 ? 2 | +...+ | a n ? 2 | ≤ 2 ? ( )

1 2

n ?1

.

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 40 分。 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

1 1 + i 2 2 2 12. 3
9.

10. ( x + 1) + ( y ? 2) = 2
2 2

11.3

13.48

14.①②

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分标准 给分。 ) 15. (本小题满分 13 分) 解: (1) f ( x ) = 2 cos x sin(

π
2

? x) = 2 cos x cos x

2分 5分 7分 9分 11 分

= 2 cos 2 x = cos 2 x + 1
所以 f (x ) 的最小正周期为π (2)因为 x ∈ [

π 4π ] ,随哦压 2 x ∈ [ , ] 6 3 3 3 1 所以 ? 1 ≤ cos 2 x ≤ 2 3 所以 0≤ cos 2 x + 1 ≤ , 2 3 即 f (x ) 的最大值为 ,最小值为 0 2
,

π 2π

13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (1)证明:取 AD 中点 E,连接 ME,NE, 由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点, ∴ME∥PD,NE∥CD 又 ME,NE ? 平面 MNE,ME ∩ NE=E, 所以,平面 MNE∥平面 PCD, 所以,MN∥平面 PCD (2)证明:ABCD 为正方形, 2分 4分

所以 AC⊥BD, 又 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AC, 所以 AC⊥平面 PBD, 所以平面 PAC⊥平面 PBD (3)解:PD⊥平面 ABCD,所以 PD 为三棱锥 P-ABC 的高 三角形 ABC 为等腰直角三角形,

6分 8分 10 分

所以三棱锥 P ? ABC 的体积 V = 17. (本小题满分 13 分)

1 1 S ?ABC ? PD = 3 6

13 分

解: (1)由已知 B= {x | ?2 < x < 3} A ∩ B= {x | ?2 < x < 1}

3分 4分 5分

A ∪ B = {x | ?3 < x < 3}
(2)设事件“ x ∈ A ∩ B ”的概率为 P1

3 8 (3)因为 a , b ∈ Z ,且 a ∈ A , b ∈ B ,
这是一个集合概型,则 P1 =

8分

所以,基本事件共 12 个: (-2,-1)(-2,0)(-2,1)(-2,2)(-1,-1) , , , , , (-1,0)(-1,1)(-1,2)(0,-1)(0,0)(0,1)(0,2) , , , , , , 10 分 ,则事件 E 中包含 9 个基本事件 12 分 设时间 E 为“ b ? a ∈ A ∪ B ” 事件 E 的概率 P ( E ) = 18. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 x > 0 当 a = 2 时, f ' ( x) = x ? 3 +

9 3 = 12 4

13 分

2分

2 x 2 3

4分 6分

曲线 y = f (x ) 在 (3, f (3)) 处切线的斜率为-1,所以 f ' (3) = (2) f ' ( x ) = x ? ( a + 1) +

a x 2 ? (a + 1) x + a ( x ? 1)( x ? a ) = = x x x

8分 9分

由 f ' ( x) = 0 得 x = 1 或 x = a , ①当 0 < a < 1 时, 当 x ∈ (0, a ) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增; 当 x ∈ (a ,1) 时, f ' ( x ) < 0 ,函数 f (x ) 单调递减; 当 x ∈ (1,+∞ ) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增。 此时 x = a 是 f (x ) 的极大值点, x = 1 是 f (x ) 的极小值点 ②当 a > 1 时, 当 x ∈ (0,1) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增; 当 x ∈ (a ,1) 时, f ' ( x ) < 0 ,函数 f (x ) 单调递减;

10 分

当 x ∈ ( a,+∞ ) 时, f ' ( x) > 0 ,函数 f (x ) 单调递增 此时 x = 1 是 f (x ) 的极大值点,

x = a 是 f (x ) 的极小值点

13 分

综上,当 0 < a < 1 时, x = a 是 f (x ) 的极大值点, x = 1 是 f (x ) 的极小值点; 当 a = 1 时, f (x ) 没有极值点; 当 a > 1 时, x = 1 是 f (x ) 的极大值点, x = a 是 f (x ) 的极小值点 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为抛物线的准线为 x = ?1 ,所以 p = 2 , 抛物线方程为 y 2 = 4 x 2分

(依题意 k 存在,且 k ≠0) 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,直线 l 的方程为 y = k ( x + 1) , 与抛物线方程联立,消去 y 得

k 2 x 2 + (2k 2 ? 4) x + k 2 = 0 …………(*) x1 + x 2 =

4 ? 2k 2 , x1 x 2 = 1 k2 2?k2 , k

4分

所以 AB 中点的横坐标为

2?k2 即 =7 k2
所以 k =
2

1 4

6分

(此时(*)式判别式大于零) 所以直线 l 的方程为 y = ±

1 ( x + 1) 2

7分

(2)因为 A 为线段 PB 中点,所以

x2 ? 1 y = x1 , 2 = y1 2 2

8分

由 A、B 为抛物线上点,得 ( 解得 x 2 = 2 , y 2 = ±2 2

y2 2 x ?1 2 ) = 4× 2 , y 2 = 4x 2 2 2

10 分

11 分

当 y 2 = 2 2 时, y1 =

2 ;当 y 2 = ?2 2 时, y1 = ? 2

12 分 14 分

所以△FAB 的面积 S ?FAB = S ?PFB ? S ?PFA = 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)解:由已知得 a 2 =

1 | PF | ? | y 2 ? y |= 2 2

5 13 41 , a3 = , a4 = 2 7 20

3分 5分

(2)解:当 n 为奇数时, a n < 2 ;当 n 为偶数时, a n > 2 因为 a n ? 2 =

a n ?1 + 4 a ?2 , ? 2 = n ?1 a n ?1 + 1 a n ?1 + 1

6分

注意到 a n > 0 ,所以 a n ? 2 与 a n ?1 ? 2 异号 由于 a1 = 1 < 2 ,所以 a 2 > 2 ,以此类推, 当 n = 2k ? 1( k ∈ N * ) 时, a n < 2 ; 当 n = 2k ( k ∈ N * ) 时, x n > 2 (3)由于 a n > 0 , a n +1 = a 8分

an + 4 3 = 1+ , xn + 1 an + 1
9分

所以 a n ≥1( n = 1,2,3 ,…) 所以 | a n +1 ? 2 |=| 所以 | a n ? 2 | ≤

an ? 2 | an ? 2 | 1 |= ≤ | an ? 2 | an + 1 an + 1 2

10 分

1 1 1 1 | a n ?1 ? 2 | ≤ 2 | a n? 2 ? 2 | ≤…≤ n?1 | a1 ? 2 |= n ?1 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 所以 | a1 ? 2 | + | a 2 + 2 | +...+ | a n ? 2 | ≤ 1 + + ( ) + ... + ( ) 2 2 2 1 n?1 = 2?( ) < 2 2

12 分

14 分

ww.zx sx.com


相关文档

北京市西城区2010年高三年级抽样测试
北京市西城区2010年高三年级抽样测试 数学文
2010年北京市西城区高三年级抽样测试数学文科
北京市西城区2010年高三年级抽样测试_(附答案)
北京市西城区2010年高三年级抽样测试政 治 试 题
北京市西城区2010年高三年级抽样测试期末
北京市西城区2010年高三年级抽样测试答案
北京市西城区2010年高三年级抽样测试_文科数学
北京市西城区2010年高三年级期末抽样测试政治试题
北京市西城区2010年高三年级抽样测试-数学理
电脑版