2019_2020学年高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式讲义新人教B版选修4_5

2.2 排序不等式
学习目标:1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理, 会用排序不等式解决简单的不等式问题.

教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为两组实数,c1,c2,…,cn 为 b1,b2,…,bn 的任一 排列,称 a1b1+a2b2+…+anbn 为这两个实数组的顺序和;称 a1bn+a2bn-1+…+anb1 为这两个实 数组的反序和;称 a1c1+a2c2+…+ancn 为这两个实数组的乱序和. 教材整理 2 定理(排序原理,又称为排序不等式) 设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为两组实数,c1,c2,…,cn 为 b1,b2,…,bn 的任一 排列,则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn, 等号成立(反序和等于顺序和)?a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn,可简记作:反序和≤乱 序和≤顺序和.

已知 x≥y,M=x4+y4,N=x3y+y3x,则 M 与 N 的大小关系是( )

A.M>N

B.M≥N

C.M<N

D.M≤N

[解析] 由排序不等式,知 M≥N.

[答案] B

用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 【例 1】 已知 a,b,c 为正数,a≥b≥c,求证:
111 (1)bc≥ca≥ab;
a2 b2 c2 1 1 1 (2)b2c2+c2a2+a2b2≥a2+b2+c2. [精彩点拨] 由于题目条件中已明确 a≥b≥c,故可以直接构造两个数组. [自主解答] (1)∵a≥b>0,于是1a≤1b, 又 c>0,∴1c>0, 从而b1c≥c1a.

同理,∵b≥c>0,于是1b≤1c, ∴a>0,∴1a>0,于是得c1a≥a1b,
111 从而bc≥ca≥ab. (2)由(1)知b1c≥c1a≥a1b>0 且 a≥b≥c>0, ∴b12c2≥c21a2≥a21b2,a2≥b2≥c2. 由排序不等式,顺序和≥乱序和得 a2 b2 c2 b2 c2 a2 1 1 1 1 1 1 b2c2+c2a2+a2b2≥b2c2+c2a2+a2b2=c2+a2+b2=a2+b2+c2,
a2 b2 c2 1 1 1 故b2c2+c2a2+a2b2≥a2+b2+c2.
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构,从而正 确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.

1.已知 0<a1≤a2≤…≤an,求证:aa212+aa223+…+aa2n-n 1+aa2n1≥a1+a2+…+an. [证明] ∵0<a1≤a2≤…≤an, ∴a21≤a22≤…≤a2n,a11≥a12≥…≥a1n,

由排序不等式知,乱序和不小于反序和,得 aa212+aa223+…+aa2n-n 1+aa2n1≥a21·a11+a22·a12+…+a2n·a1n. 因此aa212+aa223+…+aa2n-n 1+aa2n1≥a1+a2+…+an.

字母大小顺序不定的不等式证明

【例 2】



a,b,c

a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 为正数,求证: 2c + 2a + 2b ≤bc+ca+ab.

[精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式;

(2)题目中没有给出 a,b,c 的大小顺序.解答本题时不妨先设定 a≤b≤c,再利用排序

不等式加以证明. [自主解答] 不妨设 0<a≤b≤c,则 a3≤b3≤c3,

0<b1c≤c1a≤a1b, 由排序原理:乱序和≤顺序和,得 a3·c1a+b3·a1b+c3·b1c≤a3·b1c+b3·c1a+c3·a1b, a3·a1b+b3·b1c+c3·c1a≤a3·b1c+b3·c1a+c3·a1b. 将上面两式相加得 a2+c b2+b2+a c2+c2+b a2≤2???bac3 +cba3 +acb3???, 将不等式两边除以 2,
a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 得 2c + 2a + 2b ≤bc+ca+ab.
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况:(1) 要根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系.(2)若给出的字母不具有对称性, 一定不能直接限定字母的大小顺序,而要根据具体情境分类讨论.
2.本例的条件不变,试证明:a22+cb2+b2+ 2ac2+c2+ 2ba2≥a+b+c. [证明] 不妨设 a≥b≥c>0,则 a2≥b2≥c2,1c≥1b≥1a,则 a2·1c+b2·1a+c2·1b(乱序和) ≥a2·1a+b2·1b+c2·1c(反序和), 同理,b2·1c+c2·1a+a2·1b(乱序和) ≥a2·1a+b2·1b+c2·1c(反序和). 两式相加再除以 2,可得 a+b+c≤a22+cb2+b2+ 2ac2+c2+ 2ba2.
利用排序不等式求最值 【例 3】 设 a,b,c 为任意正数,求b+a c+c+b a+a+c b的最小值. [精彩点拨] 由对称性,不妨设 a≥b≥c>0,注意到b+b c+b+c c=1,设法构造数组,利 用排序不等式求解.

[自主解答] 不妨设 a≥b≥c,则 a+b≥a+c≥b+c,b+1 c≥c+1 a≥a+1 b,

由排序不等式得,

abcbca b+c+c+a+a+b≥b+c+c+a+a+b,

b+a c+c+b a+a+c b≥b+c c+c+a a+a+b b,

上两式相加,则 2???b+a c+c+b a+a+c b???≥3,

即b+a c+c+b a+a+c b≥32.

当且仅当

a=b=c

abc

3

时,b+c+c+a+a+b取最小值2.

1.分析待求函数的结构特征,构造两个有序数组. 2.运用排序原理求最值时,一定验证等号是否成立,若等号不成立,则取不到最值.

3.已知 x,y,z 是正数,且 x+y+z=1,求 t=xy2+yz2+zx2的最小值. [解] 不妨设 x≥y≥z>0,则 x2≥y2≥z2,1z≥1y≥1x. 由排序不等式,乱序和≥反序和. xy2+yz2+zx2≥x2·1x+y2·1y+z2·1z=x+y+z. 又 x+y+z=1,xy2+yz2+zx2≥1, 当且仅当 x=y=z=13时,等号成立. 故 t=xy2+yz2+zx2的最小值为 1.
排序不等式的特点 [探究问题] 1.排序不等式的本质含义是什么? [提示] 排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两 乘积之和最大;反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.注意等号成立的条件是其 中一个序列为常数序列.

2.排序原理的思想是什么? [提示] 在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规 定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排 列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种 思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题. 【例 4】 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障,对其维修分别需要 45 min,25 min 和 30 min,每台电脑耽误 1 min,网吧就会损失 0.05 元.在只能逐台维修的条件下,按怎样的 顺序维修,才能使经济损失降到最小? [精彩点拨] 这是一个实际问题,需要转化为数学问题.要使经济损失降到最小,即三 台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小,又知道若维修第一台所用时间 t1 min 时,三台 电脑等候维修的总时间为 3t1 min,依此类推,等候的总时间为 3t1+2t2+t3 min,求其最小 值即可. [自主解答] 设 t1,t2,t3 为 25,30,45 的任一排列, 由排序原理知 3t1+2t2+t3≥3×25+2×30+45=180(min), 所以按照维修时间由小到大的顺序维修,可使经济损失降到最小.
1.首先,理解题意,实际问题数学化,建立恰当模型. 2.三台电脑的维修时间 3t1+2t2+t3 就是问题的数学模型,从而转化为求最小值(运用排 序原理).

4.有 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要时间分别 是 4 分钟,8 分钟,6 分钟,10 分钟,5 分钟,那么如何安排这 5 个人接水的顺序,才能使他 们等待的总时间最少?
[解] 根据排序不等式的反序和最小,可得最少时间为 4×5+5×4+6×3+8×2+10×1 =84(分钟).
即按注满时间为 4 分钟,5 分钟,6 分钟,8 分钟,10 分钟依次等水,等待的总时间最少.

1.设 a1,a2,a3 为正数,且 a1,a2,a3 的任一排列为 a′1,a′2,a′3,则aa′1 1+aa′2 2+aa′3 3

的最小值为( )

A.3

B.6

C.9

D.12

[解析] 由题意,不妨设 a1≥a2≥a3>0,则a13≥a12≥a11>0,∴aa′1 1+aa′2 2+aa′3 3≥aa11+aa22+aa33=

3,

当且仅当 a1=a2=a3 时等号成立. [答案] A

2.设 a,b,c 为正数,P=a3+b3+c3,Q=a2b+b2c+c2a,则 P 与 Q 的大小关系是( )

A.P>Q

B.P≥Q

C.P<Q

D.P≤Q

[解析] 不妨设 a≥b≥c>0,则 a2≥b2≥c2>0.

由排序不等式得 a2a+b2b+c2c≥a2b+b2c+c2a.

∴P≥Q.

[答案] B

3.锐角三角形中,设 P=a+2b+c,Q=acos C+bcos B+ccos A,则 P,Q 的关系为(

)

A.P≥Q

B.P=Q

C.P≤Q

D.不能确定

[解析] 不妨设 A≥B≥C,则 a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C,则由排序不等式有

Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A=R(2sin Acos B+2sin Bcos C

+2sin Ccos A)

=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]

=R(sin C+sin A+sin B)=a+2b+c=P.

[答案] C

4.若 c1,c2,c3 是 4,5,6 的一个排列,则 c1+2c2+3c3 的最大值是________,最小值是 ________.

[解析] 由排序不等式,顺序和最大,反序和最小.

∴最大值为 1×4+2×5+3×6=32,最小值为 1×6+2×5+3×4=28.

[答案] 32 28

5.已知 a,b,c 为正数,a≥b≥c,求证:ba3c5 3+cb3a5 3+ac3b5 3≥ca23+ab23+bc23.

[证明] ∵a≥b≥c≥0,∴a5≥b5≥c5,

1c≥1b≥1a>0,∴b1c≥a1c≥b1a,

111 ∴b3c3≥a3c3≥b3a3,

由顺序和≥乱序和得

a5 b5 c5 b5 c5 a5 b3c3+a3c3+b3a3≥b3c3+a3c3+b3a3
b2 c2 a2 =c3+a3+b3,
a5 b5 c5 ∴b3c3+a3c3+b3a3≥ c2 a2 b2 a3+b3+c3.


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