数列经典题型汇总

数列经典题型汇总
1.已知数列 ?an ? ,?bn ? 分别为等比,等差数列, 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 ,

S 2 , S 4 成等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3 ,数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b6 ? a5 ,
(1) 求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 若数列 ?an bn ?的前 n 项和为 Tn ,求满足不等式 Tn ? 2014? 0 的最小正整数

n。

2.数列{an}满足:a1=6, an?1 ? an ? 4an ? 2, (n ? n*). (I)设 cn ? log2 (an ? 2), ,求证:{cn}是等比数列; (II)求数列{an}的通项公式; (III)设 bn ?

2

1 1 ? 2 , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: 7 ? Tn ? 1 a n ? 2 a n ? 4a n 30

1

3. [2014· 全国卷] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

4.已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若 存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

2

5.设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a n?1 ? 2Sn ? 2 ( n ? N ? ) (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2) 在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列. 1 1 1 15 求证: ? ? ? ? ? ? ? ( n ? N ? ). d1 d 2 d n 16

1 6..已知数列 {an } 满足 a1 ? , 2an ?1 ? an ? 1. 2

(1)求 {an } 的通项公式; (2)证明:
a1 ? a2 ? ... ? an ? 1. n

3

7.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (1)设 bn ?
an .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; 2 n ?1

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

8.已知数列 {an },{bn } 中,a1 ? b1 ? 1 , 且当 n ? 2 时,an ? nan?1 ? 0 , bn ? 2bn?1 ? 2n?1 . 记 n 的阶乘 n(n ? 1)(n ? 2)
3 ? 2 ?1 ? n !.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:数列 { (3)若 cn ?
bn } 为等差数列; 2n

an ? bn ? 2n ,求 {cn }的前 n 项和. an ? 2

4

9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2S n ? an?1 ? 2n?1 ? 1 ,n∈N﹡,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1) 求 a1 的值; (2) 求数列{an}的通项公式. (3) 证明:对一切正整数 n,有
1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a 2 an 2

10.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (1) 求 a2 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 a2 ?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 7 ? . an 4

5

11.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? a(a ? 0), an ? 2 ? p ?
n ? N* ) .

an ?12 (其中 p 为非零常数, an

(1)判断数列 { (2)求 a n ;

a n ?1 } 是不是等比数列? an

(3)当 a ? 1 时,令 bn ?

nan ? 2 , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 S n . an

1 12.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数). 2

(1)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令
cn ? n ?1 an ,求 Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn . n

6

13.正项数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2) 令 bn ?
Tn ? 5 . 64

n ?1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明 : 对于任意的 n ? N * , 都有 2 2 (n ? 2) an

14.已知数列 {an } 中, a1 ? t (t为非零常数),{an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? 3Sn . (Ⅰ)当 t ? 1 时,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对任意 n ? N * ,都有 ? ?
n(n ? 1) ,求实数 ? 的取值范围。 an

7

15.已知函数 f(x)=4x+1,g(x)=2x,数列{an}、{bn}满足条件:a1=1,an+1=g(an)+1,(n∈ 1 N*), bn ? 1 1 [ f (n) ? ][g (n) ? 3] 2 2 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Tn,并求使得 Tn> 数 m.
m 对任意 n∈N*都成立的最大正整 150

1 的 等 比 数 列 {an} 是 递 减 数 列 , 其 前 n 项 和 为 sn, 且 2 S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列。 (1)求数列{an}的通项公式;

16. 已 知 首 项 为

(2)若 bn ? an ? log2 an , 数列{bn}的前 n 项和 Tn,求满足不等式 大 n 值.

Tn ? 2 1 ? 的最 n ? 2 16

8

1.解:(1) S 3 , S 2 , S 4 成等差数列 ? 2S 2 ? S3 ? S 4 ① q ? 1,4a1 ? 3a1 ? 4a1 ? a1 ? 0(不可能,舍去 ) ② q ? 1,2

a1 (1 ? q 2 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 4 ) ? ? ? q 2 ? q ? 2 ? 0 ? q ? ?2 1? q 1? q 1? q
(6 分)

a1 ? a 2 ? a3 ? 3 ? a1 ? 1 ? a n ? (?2) n?1 b1 ? 1, b6 ? a5 ? (?2) 4 ? 16 ? d ? 3 ? bn ? 3n ? 2

Tn ? (?2) 0 ? 1 ? (?2)1 ? 4 ? (?2) 2 ? 7 ? ? ? (?2) n ?1 ? (3n ? 2) (?2) ? Tn ? (?2)1 ? 1 ? (?2) 2 ? 4 ? (?2) 3 ? 7 ? ? ? (?2) n ? (3n ? 2)
(2) ( 两式相减得到 3Tn ? 1 ? (?2)1 ? 3 ? (?2) 2 ? 3 ? ? ? (?2) n ?1 ? 3 ? (?2) n ? (3n ? 2)

? 3Tn ? 1 ? 3 ?

(?2) 1 ? (?2) n ?1 1 ? (?2) n ? (3n ? 1) ? (?2) n ? (3n ? 2) ? Tn ? ? 1 ? (?2) 3

?

?

?T n?2014? 0 ? n ? 10(12分)

4.∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列,
∴ ( 1? 4 d 2) ? ( ? 1d
d ? 2,

,即 )? ( 1 d1 3 )

……………………………………………2 分



an ? 1 ? (n ?1 ) ? 2 ? n 2 ?1.
分 又∵ b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 , ∴

………………………………………………4

q ? 3 , b1 ? 1, bn ? 3n?1. …………………………………6 分
(2)∵
c1 c2 ? ? b1 b2 cn ? an?1 , bn





c1 ? a2 ,即 c1 ? b1a2 ? 3 , b1 c1 c2 ? ? b1 b2 cn?1 ? an (n ? 2) , bn?1





9

① ? ②得
cn ? an?1 ? an ? 2 bn

……………………………………………9 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2) ,∴

(n ? 1) ?3 ,……………………………………11 分 cn ? ? n?1 2 ? 3 ( n ? 2) ?
则 c1 ? c2 ?

? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ?

? 2 ? 32014?1

? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ?

? 32013 ) ? 3 ? 2 ?

3(1 ? 32013 ) ? 32014. ……………14 分 1? 3

5.(1)设等比数列 {a n } 的首项为 a1 ,公比为 q ,………………1 分 ? a n?1 ? 2Sn ? 2 , a n ? 2Sn?1 ? 2 ( n ? 2 )………………2 分 ? a n?1 ? a n ? 2(Sn ? Sn?1 ) = 2a n a 即 n ?1 ? 3 ( n ? 2 )………3 分 an 当 n ? 1 ,得 a 2 ? 2a1 ? 2 ,即 3a1 ? 2a1 ? 2 ,解得: a1 ? 2 ……………4 分

a n ? a1 ? q n?1 ? 2 ? 3n?1 ………5 分
即 an ? 2 ? 3n?1 .………6 分
4 ? 3n ?1 1 n ?1 (2)① an?1 ? an ? (n ? 1)dn ,则 d n ? , ? ………8 分 n ?1 dn 4 ? 3n?1 n ?1 1 1 1 1 2 3 4 ? ( 0 ? ? 2 ? ? ? ? n?1 ) ………9 分 ? ? ? ??? ? 3 d1 d 2 dn 4 3 3 3 2 3 4 n ?1 1 2 3 4 n ?1 设 Tn ? 0 ? ? 2 ? ? ? ? n ?1 ① 则 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ②………10 分 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? 2+ ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] n ?1 3 3 =2 + ? n =………12 分 1 3 1? 3 15 3 1 n ? 1 15 ? n ) ? ………13 分 ? Tn ? ? ( n ?1 4 4 2 2?3 3 1 1 1 1 15 15 ? ? ??? ? ? ? ? d1 d 2 d n 4 4 16 ………14 分

10

1 6.解: (1) a1 ? , 2an ?1 ? an ? 1 ? 2 ? 1, 2an ?1 ? 2 ? an ? 1, 2 ? an ?1 ? 1? ? an ? 1, 2
1 1 an?1 ? 1 1 ? , a1 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 2 an ? 1 2

1 1 ∴数列 ?an ? 1? 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, 2 2

1 ?1? ∴ an ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?2?
(2)证明:∵

n ?1

?1? ,∴ an ? 1 ? ? ? . ?2?

n

n ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? a1 ? a2 ? ... ? an ? n ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?2? ? ? ?2 ? 2 ? ?

1 1 ?1? ? ?? ? n 2 2 ?2? ?1? ? n? ? n ?1 ? ? ? 1 ?2? 1? 2

n

?1? 1? ? ? a1 ? a2 ? ... ? an 2 ? 1? ? ? , ∴ n n

n

?1? 1? ? ? n n 2 ?1? ?1? ∵n 是正整数,∴ 0 ? ? ? ? 1 , 0 ? 1 ? ? ? ? 1, ? ? ? 0 n ?2? ?2?

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1. n
an ?1 a ? nn ? 1 , bn?1 ? bn ? 1 ,则 ?bn ? 为等差数列, n 2 2 ?1

n

7.解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,故 首项 b1 ? 1 ,通

项 bn ? n ,前 n 项和 Tn ?

n(n ? 1) . 2

(2)由(1)知 an ? n2n?1 , S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1 ,

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得 S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1 .

11

8.解: (1)? an ? nan?1 ? 0 , n ? 2 , a1 ? 1 ?

an ? nan?1 ? n(n ?1)an?2 ? n(n ?1)(n ? 2)an?3 ? ??? ? n(n ?1)(n ? 2)
又 a1 ? 1 ? 1! ,? an ? n ! (2)由 bn ? 2bn?1 ? 2n?1 两边同时除以 2n 得 ∴数列{

3 ? 2 ? a1 ? n !

bn bn ?1 1 b bn ?1 1 ? n ?1 ? 即 n ? n ?1 ? ? n n 2 2 2 2 2 2

bn 1 1 }是以 为首项,公差为 ? 的等差数列 n 2 2 2



bn 1 1 n ? ? (n ? 1)(? ) ? 1 ? , n 2 2 2 2
n 故 bn ? 2n (1 ? ) . 2

(3)因为

an 1 1 1 ? ? ? , bn ? 2n ? ?n ? 2n?1 an? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 a a1 a2 a3 ? ? ? ??? ? n a3 a4 a5 an?2

记 An =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 An ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 n?2

记 {bn ? 2n } 的前 n 项和为 Bn 则 Bn ? ?1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ???? ? n ? 2n?1 ∴ 2Bn ? ?1? 21 ? 2 ? 22 ????? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n 由 ②- ① ① ② 得 :

Bn ? 20 ? 21 ? 22 ???? ? 2n?1 ? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n) ? 2n ? 1 1? 2

1 1 ∴ Sn ? c1 ? c2 ? c3 ???? ? cn = An ? Bn ? (1 ? n) ? 2n ? ? 2 n?2

9.解: (1)在 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1中,令 n ? 1 得: 2S1 ? a2 ? 2 2 ? 1 ;令 n ? 2 得:

2S 2 ? a3 ? 23 ? 1,
解得: a2 ? 2a1 ? 3, a3 ? 6a1 ? 13,又 2(a2 ? 5) ? a1 ? a3 ,解得: a1 ? 1
12

(2)由 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1得 2S n?1 ? an?2 ? 2n?2 ? 1 ,则 an?2 ? 3an?1 ? 2n?1 , 而 a1 ? 1, a2 ? 5 满足 a2 ? 3a1 ? 21 ,∴ an?1 ? 3an ? 2n 对 n ? N * 成立, ∴ an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n ) ,∴ an ? 2 n ? 3n ? an ? 3n ? 2 n (3) (法一) ∵ an ? 3n ? 2n ? (3 ? 2)(3n?1 ? 3n?2 ? 2 ? 3n?3 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? 3n?1
1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? n ?1 ,∴ ? ??? ? 1 ? ? 2 ? ? n?1 ? an 3 a1 a2 an 3 3 3

1 1 ? (1 ? ( ) n ) 3 3 ? 1 2 1? 3

(法二) ∵ an?1 ? 3n?1 ? 2n?1 ? 2 ? 3n ? 2n?1 ? 2an ,∴
1 a n ?1 ? 1 1 ? ,当 n ? 2 时, 2 an

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . , ,累乘得: ? ? , ? ? , ? ? , ? ? a3 2 a 2 a 4 2 a3 a5 2 a 4 a n 2 a n ?1 1 1 1 ? ( ) n?2 ? an 2 a2





1 1 1 1 1 1 1 1 7 3 ? ??? ? 1 ? ? ? ? ? ? ( ) n?2 ? ? ? . a1 a 2 an 5 2 5 2 5 5 2

10.解: (1)

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 . 3 3

又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

① ②

? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? (n ? 1)an ?

(n ? 1)n(n ? 1) 3

由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

13

2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1? ,?
以首项为
?

an ?1 an ? ?1 n ?1 n

?a ? ? 数列 ? n ? 是 ?n?

a1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? ,当 n ? 1 时,上式显然成立. n

?an ? n2 , n ? N * .
(3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N * , ①当 n ? 1 时,
1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,? 1 1 1 ? ? ? an 12 22

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1? ? 1 1 ? ? n ? 2? ? n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 ? ? a1 a2

?

?

1 1 1 ? 1? ? ? 2 n 1? 3 2 ? 4

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 ?

1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成 ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

立. 综上,对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 7 ? . an 4

11. 解: ( 1 ) 由 an ? 2 ? p ?

2 a a a an ?1 , 得 n? 2 ? p ? n?1 . 令 cn ? n ?1 , 则 c1 ? a , an an?1 an an

14

cn?1 ? pcn . a ? 0 ,?c1 ? 0 ,

c n ?1 a ,? 数列 { n ?1 } 是等比数列. ? p (非零常数) an cn

(2) 数列 {cn } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列,? cn ? c1 ? pn?1 ? a ? pn?1 ,即
an ?1 ? ap n ?1 . an



n?2
n2 ?3n ? 2 2





an ?

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a2 ? a1 ? (ap n?2 ) ? (ap n?3 ) ? a1

? (ap 0 ) ?1

?a

n ?1

p


n?1

a1 满足上式, ? an ? a
(3)

p

n2 ?3n? 2 2

, n ? N* .

na an? 2 an? 2 an?1 bn ? n? 2 ? np 2 n?1 . ? ? ? (ap n ) ? (ap n?1 ) ? a 2 p 2 n?1 , ? 当 a ? 1 时, pan an an?1 an

? Sn ? 1? p1 ? 2 ? p3 ?

? n ? p2n?1 ,

① ②

p2 Sn ?

1? p3 ?

? (n ?1) ? p2n?1 ? n ? p2n?1

? 当 p2 ? 1 ,即 p ? ?1时,① ? ②得:
(1 ? p 2 )Sn ? p1 ? p3 ? ? p 2 n?1 ? np 2 n?1 ? p(1 ? p 2 n ) ? np 2 n?1 , 1 ? p2
?n? n(n ? 1) , 2

p(1 ? p 2 n ) np 2 n?1 即 Sn ? ? , p ? ?1 .而当 p ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? (1 ? p 2 )2 1 ? p 2
当 p ? ?1 时, Sn ? (?1) ? (?2) ?
? ( ? n) ? ? n(n ? 1) . 2

? n(n ? 1) , p ? 1, ? ? 2 ? n(n ? 1) 综上所述, Sn ? ?? , p ? ?1, 2 ? ? p(1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )
1 1 12.解: (1)在 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 中,令 n=1,得 S1 ? ?a1 ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? , 2 2



n?2



1 1 Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2, ? an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 2 2
15

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 2



bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,? 数 列 ?bn ? 是 首 项 和 公 差 均 为 1 的 等 差 数 列 , 于 是
bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ? n 2n

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? K ? ( ) n ? ( n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2

(2)由(1)得 cn ?

2 2 13.(1)解:由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 . ………

2分 由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . …………3 分 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n . ………5 分 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . …………………6 分
n ?1 . …………7 分 2 (n ? 2)2 an

(2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . …………9 分 ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2)2 ? ?
……11 分

16

?
?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] …………13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2
1 1 5 (1 ? 2 ) ? . 16 2 64

…………14 分

14.解: (Ⅰ)方法一:由 Sn?1 ? 3Sn 得:数列 {Sn } 是等比数列,公比为 3,首项为 1…………2 分

? Sn ? 1? 3n?1 ? 3n?1

……………3 分 ……………4 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n?1 ? 3n?2 ? 2 ? 3n?2

?1 (n ? 1) ……………5 分 ? an ? ? n ?2 (n ? 2) ?2 ? 3
方法二: Sn?1 ? 3Sn ,? Sn ? 3Sn?1 (n ? 2) 以上两式相减得: an?1 ? 3an (n ? 2) , ……………2 分 ……………3 分

在 Sn?1 ? 3Sn 中,取 n ? 1 得: a1 ? a2 ? 3a1 即 a2 ? 2a1 ? 2 ,
? a2 ?2?3 a1

?{an } 为第二项起的等比数列,公比为 3

……………4 分

?1 (n ? 1) ? an ? ? n ?2 (n ? 2) ?2 ? 3
(Ⅱ)令 bn ?
n(n ? 1) an

……………5 分

由(Ⅰ)知: {an } 为第二项起的等比数列,公比为 3, a2 ? 2t

? 当 n ? 2 时, an ? 2t ? 3n?2 , bn ?

n( n ? 1) ……………6 分 2t ? 3n ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(1 ? n) bn ?1 ? bn ? ? ? ……………7 分 2t ? 3n ?1 2t ? 3n ?2 t ? 3n ?1

①若 t ? 0 ,则 bn?1 ? bn ? 0 即 bn?1 ? bn (n ? 2) ? 数列 {bn } 是从第二项起的递减数 列 ……8 分 3 2 而 b1 ? , b2 ? , b2 ? b1 t t
17

? (bn ) max ? b2 ?

3 t

……………9 分
n(n ? 1) an
?? ? 3 t

对任意 n ? N * ,都有 ? ?

……………10 分

18


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