高考数学解析几何中的定点定值定线问题

◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题 一、定点问题 定点问题,一般是直线系(或者曲线系)恒过定点的问题,这类问题一般解法是根据曲线的动因,先 选择适当的参数,用参数表示出直线系(或者曲线系)方程,然后按参数整理,并令参数的系数为 0 得方 程组,解方程方程组求出定点坐标. 例如: (1)直线系 y ? kx ? 1 中,当 k 变化时,恒过定点 (0,1) ; (2)直线系 y ? 2 ? k ( x ? 1) 中,当 k 变化时,恒过定点 (1, ?2) ; (3)已知直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则过 l1 , l2 交点的直线 可 以 设 为 ( x ? y ? 4) ? m(2 x ? y ? 7) ? 0 , 即 ( m 2? 1 x? ) m( ? 直4 线 系 y 1?) m ? 7 . ? 0 (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 恒过 l1 , l2 的交点. 1.如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线上. (1)求抛物线 E 的方程; (2 ) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ?1 相交于点 Q .证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定 点. 2 2.一条直线 l 与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )交于 A 、 B 两点, OA ? OB ( O 为坐标 原点).求证直线 l 恒过定点,并求出定点的坐标. 3. x 已知椭圆C : a 1 2 2 ? y b 2 2 ? 1( a ? b ? 0)的右焦点F2与抛物线C2: y 2 ? 4x 5 , 3 圆C 3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C 3与y轴交于M,N两点,且 的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P, |PF2 |= |MN|=4.(1)求椭圆C1的方程。(2)证明:无论点T运动到何处, 圆C 3恒经过椭圆C1上一点 二、定值问题 定值问题的主要处理方法是函数方法,首先,选择适当的量为变量,然后把证明为定值的量表示为上 述变量的函数(可能含多元) ,最后把得到的函数解析式化简,消去变量得到定值.消去变量的过程中,经 常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手,求出定值,再对一般情形进行证明,这样 可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算. 例如(1)椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值; (2)双曲线上任意一点到两个焦点的距离 之差的绝对值为定值; ( 3)抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.(4)过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 作直线与抛物线交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 两点的横坐标之积为定值 1 p2 1 1 2 2p , 纵坐标之积为定值 y1y2=-p2.; 为定值 . 【顺便记住 AB ? p ? ( x1 ? x2 ) = x1 x 2 ? ? 2 .】 p sin ? 4 AF BF y2 ? 1的左,右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点,离心率为 5 的 4 双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2) 4.已知椭圆 x ? 2 设 P 、 T 两点的横坐标分别为 x1 、 x 2 ,求证: x1 ? x2 为定值,并求出此定值. 5.设 A0 ( x0 , y0 ) 是曲线 C : x ? 4 y 上的一个定点, 过点 A0 任意作两条倾斜角互补的直线, 分别与曲线 C 相 2 交于另外两点 P 、 Q .证明:直线 PQ 的斜率为定值. 三.定直线(轨迹)问题 证明动点在某一直线上(或某轨迹上)的问题,可以转化为求动点的轨迹问题,基本的方法有直接法和消 参法。 x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,设右焦点为 F1 ,离心率为 e . (1)若 e ? ,求椭圆的 2 a b 2 方程(2)设 A 、 B 为椭圆上关于原点对称的两点, AF1 的中点为 M , BF1 的中点为 N ,若原点 O 在以 6.已知椭圆 线段 MN 为直径的圆上.①证明点 A 在定圆上;②设直线 AB 的斜率为 k ,若 k ? 3 ,求 e 的取值范围. x2 y2 7.设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上.(1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程;(2)设 F1,F2 分别 a 1-a2 是椭圆 E 的左,右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q.证明: 当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 1 解: (1)设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x12 ? 2 py1 , x22 ? 2 py2 . 因为 OA ? OB ,所以 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ,即 2 py1 ? y1 ? 2 py2 ? y2 , 2 2 2 2 2 2 即 y1 ? y2 (因为 2 p, y1, y2 ? 0 ) ,所以点 A , B 关于 y 轴对称. 2 因为 OA ? OB ? AB ? 8 3 ,所以 A(?4 3,12) , B(4 3,12) , 代入抛物线 E 的方程得: p ? 2 ,故抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y . (2) y ? x x x2 x2 , y? ? .设 P ( x0 , 0 ) ,过点 P 的切线的斜率为 0 所以过点 P 的切线方程为 2 2 4 4 2 2 2 x x 1 x x ?4 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ) 即 y ? x0 x ? 0 ,令 y ? ?1 ,得 Q( 0

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