高考数学一轮同步练习 2.2 函数的定义域和值域 文 苏教版

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第二节
强化训练 1.函数 y ? A.[-4,1] C.(0,1] 答案:D 解析:由题意: ?

函数的定义域和值域

? x 2 ? 3 x ? 4 的定义域为( x

) B.[-4,0) D. [?4? 0) ? (0?1]

?? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0? ? x ? 0?

∴?

??4 ? x ? 1? ? x ? 0?

∴ x ? [?4? 0) ? (0?1] . 故选 D. 2.函数 y ? x ? 2 x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为(
2

)

A.{-1,0,3} C.{y| ?1 ? y ? 3 } 答案:A

B.{0,1,2,3} D.{y| 0 ? y ? 3 }

解析:把 x=0,1,2,3 分别代入 y ? x ? 2 x? 得 y ? {0,-1,3}.
2

3.函数 f(x)=log 2 (3 ? 1) 的值域为(
x

) B. [0? ??) D. [1? ??)

A. (0? ??) C. (1? ??) 答案:A 4.函数 y ? 2 x ? 1 的值域是
x

2 ?1

.

答案:(-1,1)
x y ?1 y ?1 x ? 而 2 x ? 0,所以 ? 0? 即-1<y<1. 解析:由 y ? 2 x ? 1 知 y ? 1? 从而得 2 ?

2 ?1

1? y

1? y

5.设函数 f ( x) ? x ? x ?
2

1 的定义域是[n,n+1](n 是正整数),那么 f(x)的值域中共有 2

个整

数. 答案:2n+2

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解析:因为 f ( x) ? x ? x ?
2

1 1 ? ( x ? ) 2 ? 1 ? 可见,f(x)在[n,n+1](n 是正整数)上是增函数, 4 2 2 1 2
2

又 f(n+1)-f(n)= [(n ? 1) ? (n ? 1) ? ] ? ( n ? n+ ) ? 2n ? 2?
2

1 2

所以,在 f(x)的值域中共有 2n+2 个整数. 6.设 O 为坐标原点,给定一个定点 A(4,3),而点 B(x,0)在 x 轴的正半轴上移动,l(x)表示 AB 的长, 求函数 y ? x 的值域.

l ( x)

解:依题意有 x ? 0? l ( x) ? 所以 y ? x ?

( x ? 4) 2 ? 32 ? x 2 ? 8 x ? 25?

l ( x)

x 1 . ? 8 x ? 8 x ? 25 1 ? ? 25 x x2
2

由于 1 ? 8 ? 25 ? 25( 1 ? 4 ) 2 ? 9 ? 2

x

x

x

25

25
3

所以 1 ? 8 ? 25 ? 3? 故0 ? y ? 5? 2

x

x

5

即函数 y ? x 的值域是 (0? 5 ] .

l ( x)

3

见课后作业 A 题组一 函数的定义域问题 1.函数 y ? 答案:(-3,2) 解析:由 6 ? x ? x ? 0 可得 x ? x ? 6 ? 0?
2
2

1 的定义域是 6 ? x ? x2

.

即(x+3)(x-2)<0,所以-3<x<2.
2 2 2.函数 f ( x) ? 1 ln ( x ? 3 x ? 2 ? ? x ? 3 x ? 4) 的定义域为(

x

)

A. (??? ?4] ? [2? ??) B. (?4? 0) ? (0?1) C.[-4,0)(0,1] D. [?4? 0) ? (0?1) 答案:D 解析:欲使函数 f(x)有意义,必须满足

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? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ? 2 2 ? x ? 3x ? 2 ? ? x ? 3x ? 4 ? 0 ? x?0 ?

? x ? [?4? 0) ? (0?1) .
3.若函数 f(x)的定义域是 ? 0?1? ,则 f(x+a) ? f ( x ? a )(0 ? a ? 答案:

1 ) 的定义域是 2

.

? a?1 ? a ?

解析:∵f(x)的定义域为 ? 0?1? , ∴要使 f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) 有意义, 需?

?0 ? x ? a ? 1 ??a ? x ? 1 ? a? 1 ?? 且 0 ? a ? ? ∴a<1-a,∴ a ? x ? 1 ? a . 2 ?0 ? x ? a ? 1 ? a ? x ? a ?1

题组二 函数的值域问题 4.定义在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x-1)的值域为( ) A.[a-1,b-1] B.[a,b] C.[a+1,b+1] D.无法确定 答案:B 解析:函数 y=f(x-1)的图象可以视为函数 y=f(x)的图象向右平移一个单位而得到,所以,它们 的值域是一样的. 5.设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R),f(x)= ?
2

? g ( x) ? x ? 4? x ? g ( x)? 则 f(x)的值域是( ? g ( x) ? x? x ? g ( x)?

)

A. [? 9 ? 0] ? (1? ??)

4

B. [0? ??) C. [ 9 ? ??)

4

D. [? 9 ? 0] ? (2? ??)

4

答案:D 解 析 : 由 x ? g ( x) ? x ? 2 得 x ? x ? 2 ? 0? 则 x<-1 或 x>2. 由 x ? g ( x) ? x ? 2 得
2 2 2

?1 ? x ? 2 .
于是 f(x)= ?

? x 2 ? x ? 2? x ? ?1或x ? 2?
2 ? x ? x ? 2? ?1 ? x ? 2?

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当 x<-1 或 x>2 时,f(x)>2. 当 ?1 ? x ? 2 时 ? x ? x ? 2 ? ( x ? ) ? 9 ? 则 ? 9 ? f ( x) ? 0? 由 以 上 , 可 得 f(x)>2 或
2 2

1 2

4

4

? 9 ? f ( x) ? 0 ,因此 f(x)的值域是 [? 9 ? 0] ? (2? ??) .故选 D. 4 4
6.若函数 f ( x) ? (a ? 2a ? 3) x ? (a ? 3) x ? 1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值范围是(
2 2

)

A.a=-1 或 3 C.a>3 或 a<-1 答案:B
2

B.a=-1 D.-1<a<3

解 析 : 若 a ? 2a ? 3 ? 0? 因 为 函 数 是 二 次 函 数 , 故 不 可 能 定 义 域 和 值 域 都 为 R, 当

a 2 ? 2a ? 3 ? 0 时,得 a=-1 或 3,但当 a=3 时,函数为常数函数,也不可能定义域和值域都为 R,故
a=-1.
题组三 函数定义域和值域的综合问题 7.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g ( x) ? A.[0,1] C. [0?1) ? (1? 4] 答案:B 解析:∵ 0 ? x ? 2? ∴?

f (2 x) 的定义域是( x ?1
B.[0,1) D.(0,1)

)

?0 ? 2 x ? 2? ? x ? 1 ? 0?
1 ( x ? 2) 在 x=a 处取最小值,则 a 等于( x?2
B. 1 ? 3 D.4

∴ 0 ? x ? 1. 8.若函数 f ( x) ? x ? A. 1 ? 2 C.3 答案:C )

9. 定义 : 区间 x ? x1 ? x2 ? (x 1 ? x2 ) 的长度为 x2 ? x1 . 已知函数 y=2|x| 的定义域为 ? a? b ? ,值域为 [0,2]则区间 ? a? b ? 的长度的最大值与最小值的差为 答案:1 解析 : ? a? b ? 的长度取得最大值时 ? a? b ? =[-1 , 1] ,区间 ? a? b ? 的长度取得最小值时 ? a? b ? 可取 [0,1]或[-1,0],因此区间 ? a? b ? 的长度的最大值与最小值的差为 1. .

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10.若函数 y=f(x)的值域是 [ 2 ? 3]? 则函数 F(x)=f(x)+

3

1 的值域是 f ( x)

.

答案: [2? 10 ]

3

解析:F(x)可以视为以 f(x)为变量的函数,令 t=f(x),则 F (t ) ? t ? 1 ( 2 ? t ? 3) .

t 3

2 1 ? (t ? 1)(t ? 1) . F′ (t ) ? 1 ? 1 ? t ? 2 2

t2

t

t

所以 ? F (t ) ? t ? 1 在 [ 2 ?1] 上是减函数,在[1,3]上是增函数,故 F(x)的最大值是 10 ? 最小值是 2.

t

3

3

11.求下列函数的值域:

(1) y ? 2 x ? 1 ; x ?3

(2) y ? x ? 1 ? x 2 ; (3) y ? x 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 8 .
解:(1)(分离变量法)原函数变形为

y ? 2x ? 6 ? 7 ? 2 ? 7 . x ?3 x ?3
∵ x ? 3? ∴ 7

x ?3

?0.

∴ y ? 2? 即函数值域为{y| y ? R 且 y ? 2 }. (2)(换元法) 由 1 ? x ? 0? 得 ?1 ? x ? 1? 设 x=cos ? (? ? [0? ?] ,则 y ? sin
2

? ? cos ? ? 2 sin (? ? ? )?
4

易知当 ? ? ? 时,y 取最大值为 2 ? 当 ? ? ? 时,y 取最小值为-1,

4

∴原函数的值域是[-1, 2 ]. (3)(数形结合法)

x 2 ? 1 表示点(x,0)到点(0,-1)的距离, x 2 ? 4 x ? 8 表示点(x,0)到点(2,2)的距离,
故y? ∴y?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 8 ? (2 ? 0) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 13?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 8 的值域是 [ 13? ??) .
2

12.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0? b ? R ? c ? R).

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(1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)= ?

? f ( x)? x ? 0? 求 F(2)+F(-2)的值; ?? f ( x)? x ? 0?

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)| ? 1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)由已知 c=1,f(-1)=a-b+c=0, 且 ? b ? ?1?

2a

解得 a=1,b=2. ∴ f ( x) ? ( x ? 1) .
2

∴F(x)= ?

? ( x ? 1) 2 ? x ? 0?
2 ??( x ? 1) ? x ? 0?

∴F(2)+F(-2) ? (2 ? 1) ? [ ? (-2+1) ] ? 8?
2
2

(2) 由 题 知 f ( x) ? x ? bx? 原 命 题 等 价 于 ?1 ? x ? bx ? 1 在 x ? (0?1] 上 恒 成 立 , 即
2

2

b ? 1 ? x 且 b ? ? 1 ? x 在 x ? (0?1 ]上恒成立,

x

x

根据单调性可得 y ? 1 ? x 的最小值为 0,

x

y ? ? 1 ? x 的最大值为-2, x ∴ ?2 ? b ? 0 .

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