二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质_图文

二次函数y=ax2+bx+c 的图像和性质

复习提问
y ? a ? x ? h ? ? k 的顶点坐标是________ 1. , (h,k) 直线x=h 对称轴是__________ 2.怎样把 y ? 3x2的图象移动,便可得到 2 y ? 3 ? x ? 2 ? ? 5 的图象?
2

3. y ? 3 ? x ? 2 ? ? 5 的顶点坐标是(-2,-5) , 对称轴是直线 x=-2 .
2

4.在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴,哪些有变化?哪些没 有变化? 有变化的:抛物线的顶点坐标、对称轴, 没有变化的:抛物线的开口方向、形状

新课 我们复习了将抛物线 y ? 3x2 向左平移2个单位 2 再向下平移5个单位就得到 y ? 3 ? x ? 2 ? ? 5 的图 象,将 y ? 3 ? x ? 2 ?2 ? 5 化为一般式为 2 2 ,那么如何将抛物线 的图 y ? 3 x y ? 3x ? 12 x ? 7 像移动,得到的 y ? 3x2 ? 12x ? 7 图像呢? 那么一般地,函数y ? ax2 的图象怎样平 移就得到 y ? ax2 ? bx ? c 的图象呢?

1.用配方法把 y ? ax2 ? bx ? c 化为 2 y ? a ? x ? h ? ? k 的形式。
例1
1 2 5 用配方法把 y ? 2 x ? 3x ? 2
2

化为

y ? a ? x ? h ? ? k 的形式,求出顶点坐标和对称轴。
1 2 1 2 1 5 2 解: y ? x ? 3x ? ? ? x ? 6 x ? 5? ? 2 ? x ? 6 x ? 9 ? 9 ? 5? 2 2 2 1 2 1? 2 ? ? x ? 3? ? 4 ? ? ? x ? 3? ? 2 ? 2 2?

顶点坐标为(-3,-2),对称轴为x=-3

练习1 用配方法把 y ? 2 x2 ? 4 x ? 7化为
y ? a ? x ? h ? ? k 的形式,求出顶点坐标
2

和对称轴。 答案:y ? 2 ? x ? 1? ? 5 ,顶点坐标是(1,5), 对称轴是直线 x=1.
2

2 y ? ax ? bx ? c 化为 2.用公式法把抛物线

把 y ? ax ? bx ? c 变形为 y ? a ? x ? h ? ? k 的方法 和我们前面学过的用配方法解二次方程 2 “ ax ? bx ? c ? 0 ”类似.具体演算如下:
2
2

y ? a ? x ? h ? ? k 的形式。
2

c? ? 2 b y ? ax ? bx ? c ? a ? x ? x ? ? a a? ?
2
2 2 ? 2 b b b c? ? ? ? ? ? a ?x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? a a? ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? 2 2 2 2 ?? ? b 4 ac ? b ? ? b ? 4ac ? b ? a x ? ? a ?? x ? ? ? ? ? ? ? 2 2a ? 4a 2a ? 4a ? ? ? ?? ?

2 y ? ax ? bx ? c 的顶点坐标是 所以抛物线

? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? 2 a 4 a ? ?

b ,对称轴是直线 x ? ? 2a



1 2 5 例2 用公式法把 y ? ? x ? x ? 化为 2 2 2 y ? a ? x ? h ? ? k 的形式,求出对称轴和顶点

坐标.
1 2 5 解:在 y ? ? x ? x ? 2 2
? b ?? 2a 1 ? 1, ? 1? 2?? ? ? ? 2?

1 5 a ? ? , b ? 1, c ? ? 中, 2 2

1 2 ? y ? ? ? x ? 1? ? 2 , 2 ∴顶点为(1,-2),对称轴为直线 x=1。

? 1 ?? 5 ? 2 4 ? ? ?? ? ? ? 1 ? 2 4ac ? b 4 ? 2 ?? 2 ? ? ? ? ?2 4a ?2 ? 1? 4?? ? ? ? 2?

练习2 用公式法把y ? ?2 x ? 8x ? 6 化成
2

y ? a ? x ? h ? ? k 的形式,并求出顶点坐标和
2

对称轴。
y ? ?2 ? x ? 2 ? ? 2 ,顶点坐标为 答案: (2,2)对称轴是直线 x=2
2

3. y ? ax2 ? bx ? c 图象的画法.

步骤:1.利用配方法或公式法把 y ? ax2 ? bx ? c
化为 y ? a ? x ? h ? ? k 的形式。
2

2.确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3.在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。

例3 画出 y ? ?2x2 ? 8x ? 6 数图像回答:

的图像,利用函

(1)x取什么值时,y=0? (2)x取什么值时,y>0? (3)x取什么值时,y<0? (4)x取什么值时,y有最大值或最小值?

(1)用顶点坐标公式,可求出顶点为(2,2), 对称轴是x=2. (2) 当x=1时,y=0,即图 象与x轴交于点(1,0),根据轴对称,很容 易知道(1 ,0)的轴对称点是点(3,0) .又当 x=0时,y=-6,即图象与y轴交于点(0, -6),根据轴对称,很容易知道(0,-6)的 轴对称点是点(4,-6).用光滑曲线把五个 点(2,2),(1,0),(3,0),(0,-6),(4, 的 -6)连结起来,就是 y ? ?2x2 ? 8x ? 6 ? 0图象。

2 y ? ? 2 x ? 8x ? 6 ? 0 解:列表

x y

… 0 1 … -6 0

2 2

3 4 0 -6

… …

y

(1,0)

· · ·

(2,2)y

? ?2x ? 8x ? 6
2

(0,-6)

·

由图像知: (3,0) (1) 当 x = 1 或 x = 3 时, x y= 0; (2)当1<x<3时, y> 0; (3)当x<1或x>3时, y< 0; x=2 (4)当x=2时, y有最大值2。

(4,-6)

·

练习3 画出 y ? x ? 2 x ? 2 的图像。
2

x y

… …

-1 5

0 2

1 1

2 2

3 5

… …

y=x2-2x+2

x=1

2 y ? ax ? bx ? c 的性质: 4.二次函数

(1)顶点坐标

? b 4ac ? b 2 ? ?? , ?; 4a ? ? 2a

(2)对称轴是直线

b x?? 2a

(3)开口方向:当 a>0时,抛物线开 口向上;当 a<0时,抛物线开口向下。

(4)最值: b 如果a>0,当 x ? ? 2a 时,函数有最小值,
b 如果a<0,当 x ? ? 2a 时,函数有最大值, 2
4ac - b y最大= ; 4a

4ac - b 2 y最小= , 4a

(5)增减性:
b ①若a>0,当 x ? ? 时,y随x的增大而增大; 2a

b 当 x ? ? 2a 时,y随x的增大而减小。
b ②若a<0,当 2a 时,y随x的增大而减小; b 当 x ? ? 2a 时,y随x的增大而增大。 x??

(6)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与坐标轴的交点 ①抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与y轴的交点坐标 为(0,c) ②抛物线 y ? ax2 ? bx ? c与x轴的交点坐标为

? x1 ,0? , ? x2 ,0?,其中 x1 , x2为方程 ax2 ? bx ? c ? 0
的两实数根

(7)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与x轴的交点情况
2

可由对应的一元二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0
的根的判别式判定: ① △>0?有两个交点?抛物线与x轴相交; ② △=0?有一个交点?抛物线与x轴相切; ③ △<0?没有交点?抛物线与x轴相离。

例4 已知抛物线

y ? x2 ? ? k ? 4? x ? k ? 7,

①k取何值时,抛物线经过原点; ②k取何值时,抛物线顶点在y轴上; ③k取何值时,抛物线顶点在x轴上; ④k取何值时,抛物线顶点在坐标轴上。

解:①抛物线经过原点,则当x=0时,y =0,所以 0 ? 02 ? ? k ? 4? ? 0 ? k ? 7 ,所以k= -7,所以当k=-7时,抛物线经过原点; ②抛物线顶点在y轴上,则顶点横坐标为0, ? ? k ? 4? b 即 ? ?? ? 0 ,所以k=-4,所 以当k=-4时,抛物线顶点在y轴上。
2a 2 ?1

③抛物线顶点在x轴上,则顶点纵坐标为0, 2 2 4 ? 1 ? k ? 7 ? k ? 4 ? ? ? ? 即 4ac ? b ? ? 0 ,整理得
4a 4 ?1

k 2 ? 4k ? 12 ? 0 ,解得:k1 ? 2, k2 ? ?6 ,所

以当k=2或k=-6时,抛物线顶点在x轴 上。

④由②、③知,当k=-4或k=2或k=-6 时,抛物线的顶点在坐标轴上。

例5 当x取何值时,二次函数 y ? 2x2 ? 8x ? 1 有最大值 或最小值,最大值或最小值是多少?

解法一(配方法):
y ? 2 x 2 ? 8x ? 1 ? 2 ? x 2 ? 4 x ? ? 1 ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 4 ? ? 1
? 2 ? x ? 2 ? ? 7 ? ?7
2

y最小值=-7 。 所以当x=2时,

解法二(公式法): 因为a=2>0,抛物线 y ? 2x2 ? 8x ? 1有最低点, 所以y有最小值,
4 ? 2 ?1 ? ? ?8? b ?8 4ac ? b ? ?7 因为 - 2a ? ? 2 ? 2 ? 2, 4a ? 4? 2
2 2

所以当x=2时,y最小值=-7 。 总结:求二次函数最值,有两个方法. (1)用配方法;(2)用公式法.

1 2 1 例6已知函数 y ? ? x ? 3x ? 2 2

,当x为何值 时,函数值y随自变量的值的增大而减小。
1 解法一: a ? ? 2 ? 0

, ∴抛物线开口向下,

1 2 1 1 2 1 y ? ? x ? 3 x ? ? ? ? x ? 6x ? 9 ? 9? ? 又 2 2 2 2 1 9 1 ? ? 1 x?3 2 ?5 2 ? ? ? ? ? x ? 3? ? ? 2 2 2 2

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时,y 随x的增大而减小。

解法二:
1 a ? ? ? 0 ,∴抛物线开口向下, 2
b ? ?? 2a ?3 ? ?3 ? 1? 2?? ? ? ? 2?

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时, y随x的增大而减小。

例7 已知二次函数
y ? ? m ? 1? x2 ? 2mx ? ? 3m ? 2?? m ? 1?

的最大值是0,求此函数的解析式.

解:此函数图象开口应向下,且顶点纵坐 标的值为0.所以应满足以下的条件组.
m ? 1 ? 0, ① ? ? 2 4 m ? 1 3 m ? 2 ? 2 m ? ? ?? ? ? ? ?0 ? 4 ? m ? 1? ? ②

1 由②解方程得 m1 ? , m2 ? 2 ?不合题意,舍去? 2
1 ?1 ? 2 ? 1 ? 所求函数解析式为 y ? ? ? 1? x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? 2 ? , 2 ?2 ? ? 2 ?

1 2 1 即y ? ? x ? x ? 。 2 2

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向,若 a 相 等,则形状相同。 ①a>0?开口向上; ②a<0?开口向下。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。

(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,由 于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x?? b 2a

,故

①若b=0?对称轴为y轴, ②若a,b同号?对称轴在y轴左侧, ③若a,b异号?对称轴在y轴右侧。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴 交点的位置。 当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c 与y轴有且只有一个交点(0,c), ①c=0?抛物线经过原点; ②c>0?与y轴交于正半轴; ③c<0?与y轴交于负半轴。

例8 已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象,判断以下各式的值是正值还是负值. (1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b; (6)a+b+c;(7)a-b+c.

分析:已知的是几何关系(图形的位置、 形状),需要求出的是数量关系,所以应 发挥数形结合的作用.

判断a的符号

解: (1)因为抛物线开口向下,所以a<0;

判断b的符号

(2)因为对称轴在y轴右侧,所以
b ? ? 0 ,而a<0,故b>0; 2a

判断c的符号

(3)因为x=0时,y=c,即图象与y轴交点 的坐标是(0,c),而图中这一点在y轴正 半轴,即c>0;

判断b2-4ac的符号

(4)因为顶点在第一象限,其纵坐标
4ac ? b2 ? 0 ,且a<0,所以4ac ? b2 ? 0,故 4a

b 2 ? 4ac ? 0 。

判断2a+b的符号

b (5)因为顶点横坐标小于1,即 ? ? 1 , 2a

且a<0,所以-b>2a,故2a+b<0;

判断a+b+c的符号

(6)因为图象上的点的横坐标为1时,点 的纵坐标为正值,即a· 12+b· 1+c>0, 故 a+ b+ c> 0;

判断a-b+c的符号

(7)因为图象上的点的横坐标为-1时, 点的纵坐标为负值,即a(-1)2+b(-1) +c<0,故a-b+c<0.

练习 1
已知抛物线 y ? ax ? bx ? c过点A(?2,0),
2

B(3,0), C (0,?6),求抛物线解析式

一般式 交点式 顶点式

2.分 别 在 下 列 范 围 内 求 数 函y ? x ? 2 x ? 3
2

的最大值和最小值 ( 1 )0 ? x ? 2 ( 2 )2 ? x ? 3


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