《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)随机抽样

随_机_抽_样

[知识能否忆起] 一、简单随机抽样: 1.简单随机抽样的概念: 设一个总体含有 N 个个体, 从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N), 如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2.最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法. 二、系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本: (1)先将总体的 N 个个体编号; N N (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段,当 是整数时,取 k= ; n n (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k); (4)按照一定的规则抽取样本.通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 l+k,再加 k 得到第 3 个个体编号 l+2k,依次进行下去,直到获取整个样本. 三、分层抽样 1.分层抽样的概念: 在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数 量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是分层抽样. 2.当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法. 3.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是均等的. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)在某班的 50 名学生中,依次抽取学号为 5、10、15、20、25、30、 35、40、45、50 的 10 名学生进行作业检查,这种抽样方法是( A.随机抽样 C.系统抽样 B.分层抽样 D.以上都不是 )

解析:选 C 由系统抽样的特点可知 C 正确. 2.为了了解一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个 零件的长度是( A.总体 C.总体的一个样本 解析:选 C ) B.个体是每一个零件 D.样本容量

200 个零件的长度是总体的一个样本.

3.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 3∶4∶7,现在 用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本, 样本中 A 型产品有 15 件, 那么样本容量 n 为( A.50 C.70 B.60 D.80 )

3 解析:选 C 由 n× =15 得 n=70. 3+4+7 4.(2012· 金华模拟)某学院有 A,B,C 三个专业共 1 200 名学生.现采用分层抽样的方 法抽取一个容量为 120 的样本,已知 A 专业有 420 名学生,B 专业有 380 名学生,则在 C 专业应抽取________名学生. 120 1 解析:由已知条件可得每一名学生被抽取的概率为 P= = ,则应在 C 专业中抽 1 200 10 1 取(1 200-420-380)× =40 名学生. 10 答案:40 5.将某班的 60 名学生编号为:01,02,?,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本,且随机抽得的一个号码为 04,则剩下的四个号码依次是________. 解析:依据系统抽样方法的定义知,将这 60 名学生依次按编号每 12 人作为一组,即 01~12、13~24、?、49~60,当第一组抽得的号码是 04 时,剩下的四个号码依次是 16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码). 答案:16,28,40,52

三种抽样方法的异同点: 类别 简单随 从总体中逐个抽取 机抽样 抽样过程 将总体均匀分成几部 系统抽 样 中每个个 分,按事先确定的规 体被抽取 则在各部分抽取 的机会均 分层抽 样 等 各层抽样时采用简 将总体分成几层,分 单随机抽样或系统 层进行抽取 抽样 分组成 总体由差异明显的几部 采用简单随机抽样 在起始部分抽样时 总体中的个体数较多 总体中的个体数较少 共同点 各自特点 相互联系 适用范围

简单随机抽样

典题导入 [例 1] 下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )

A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确 定号码的后四位为 2 709 的为三等奖 B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔 30 分钟抽一包产品,称其重 量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改 革的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 [自主解答] A、B 是系统抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的;C 是分层抽样, 因为总体的个体有明显的层次;D 是简单随机抽样. [答案] D

由题悟法 1.简单随机抽样需满足:(1)抽取的个体数有限;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4) 是等可能抽取. 2.简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数 较多的情况). 以题试法 1.(2012· 宁波月考)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最大 B.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最小 C.与第几次抽样无关,每一次抽到的可能性相等 D.与第几次抽样无关,与样本容量无关 解析:选 C 由随机抽样的特点知某个体被抽到的可能性与第几次抽样无关,每一次抽 到的可能性相等. 系 统 抽 样 )

典题导入 [例 2] (2012· 山东高考)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他 们随机编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到 的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其

余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( A.7 C.10 [自主解答] B.9 D.15

)

由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为

960 =30,抽取的号码依次为 32

9,39,69,?,939.落入区间[451,750]的有 459,489,?,729,这些数构成首项为 459,公差 为 30 的等差数列,设有 n 项,显然有 729=459+(n-1)×30,解得 n=10.所以做问卷 B 的 有 10 人. [答案] C 由题悟法 1.系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大. 2.使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几 个个体. 以题试法 2.(2012· 武夷模拟)用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生 随机地从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号), 若第 16 组抽出的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是________.

解析:设第 1 组抽取的号码为 b,则第 n 组抽取的号码为 8(n-1)+b,∴8×(16-1)+b =126,∴b=6,故第 1 组抽取的号码为 6. 答案:6 分 层 抽 样

典题导入 [例 3] (1)(2012· 福建高考)一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人.按 男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运 动员人数是________. (2)(2012· 天津高考)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取____________所学 校,中学中抽取____________所学校. [自主解答] (1)依题意,女运动员有 98-56=42(人).设应抽取女运动员 x 人,根据分 x 28 层抽样特点,得 = ,解得 x=12. 42 98 30 30 30 (2)150× =150× =18,75× =9. 250 250 150+75+25

[答案] (1)12

(2)18

9

本例(2)中条件变为“某地区有小学、中学、大学若干所,现采用分层抽样的方法从这 些学校中抽取 30 所学校,其中从 150 所小学中抽取 18 所”试求该地区共有多少所学校. 解:设共有 n 所学校, 30 ∴150× =18, n ∴n=250.

由题悟法 进行分层抽样时应注意以下几点 (1)分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是:层内样本的差异 要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠. (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同. (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样. 样本容量 各层样本数量 (4)抽样比= = . 总体容量 各层个体数量 以题试法 3.(2012· 惠州二调)某工厂的一、二、三车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴,在出厂 前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的 产品数分别为 a、b、c,且 a、b、c 构成等差数列,则二车间生产的产品数为( A.800 C.1 200 B.1 000 D.1 500 )

解析:选 C 因为 a、b、c 成等差数列,所以 2b=a+c,所以二车间抽取的产品数占 抽取产品总数的三分之一, 根据分层抽样的性质可知, 二车间生产的产品数占总数的三分之 1 一,即为 3 600× =1 200. 3

1.(2013· 江西模拟)在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从 中抽取 20 个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为 00,01,02,?,99,从中抽出 20 个;②采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组中随机抽取 1 个;③ 采用分层抽样法, 随机从一级品中抽取 4 个, 二级品中抽取 6 个, 三级品中抽取 10 个. 则( )

1 A.不论采取哪种抽样方法,这 100 个零件中每个零件被抽到的概率都是 5 1 B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每个零件被抽到的概率都是 ,③并非如此 5 1 C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每个零件被抽到的概率都是 ,②并非如此 5 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每个零件被抽到的概率各不相同 解析:选 A 由于随机抽样法、系统抽样法与分层抽样法均是等可能性抽样,因此不论 1 采取哪种抽样方法,这 100 个零件中每个零件被抽到的概率都是 . 5 2.某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生 中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是( A.简单随机抽样法 C.随机数法 B.抽签法 D.分层抽样法 )

解析:选 D 总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样,为分层抽样. 3.(2012· 忻州一中月考)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,?,600,采用 系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的编号为 003.这 600 名学生分住在 3 个营区,从 001 到 300 住在第 1 营区,从 301 到 495 住在第 2 营区,从 496 到 600 住在第 3 营区,则 3 个营区被抽中的人数依次为( A.26,16,8 C.25,17,8 ) B.25,16,9 D.24,17,9

解析:选 C 由题意知,被抽中的学生的编号构成以 3 为首项,12 为公差的等差数列 {an},其通项 an=12n-9(1≤n≤50,n∈N*).令 1≤12n-9≤300,得 1≤n≤25,故第 1 营 区被抽中的人数为 25;令 301≤12n-9≤495,得 26≤n≤42,故第 2 营区被抽中的人数为 17;令 496≤12n-9≤600,得 43≤n≤50,故第 3 营区被抽中的人数为 8. 4.(2013· 潍坊模拟)为调查参加运动会的 1 000 名运动员的年龄情况,从中抽查了 100 名运动员的年龄,就这个问题来说,下列说法正确的是( A.1 000 名运动员是总体 B.每个运动员是个体 C.抽取的 100 名运动员是样本 D.样本容量是 100 解析:选 D 所调查的是运动员的年龄,故 A、B、C 错误,样本容量是 100. 5. (2012· 濮阳调研)甲校有 3 600 名学生, 乙校有 5 400 名学生, 丙校有 1 800 名学生. 为 统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为 90 的样本,应该在这 三校分别抽取的学生人数是( A.30,30,30 ) B.30,45,15 )

C.20,30,10 解析:选 B

D.30,50,10 90 1 抽取比例是 = ,故三校分别抽取的学生人数为 3 3 600+5 400+1 800 120

1 1 1 600× =30,5 400× =45,1 800× =15. 120 120 120 6.某学校在校学生 2 000 人,为了加强学生的锻炼意识,学校举行了跑步和登山比赛, 每人都参加且每人只参加其中一项比赛,各年级参加比赛的人数情况如下: 高一年级 跑步人数 登山人数 a x 高二年级 b y 高三年级 c z

1 其中 a∶b∶c=2∶5∶3, 全校参加登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的 4 满意程度, 按分层抽样的方式从中抽取一个 200 人的样本进行调查, 则高三年级参加跑步的 学生中应抽取( A.15 个 C.40 人 ) B.30 人 D.45 人

3 解析:选 D 由题意,全校参加跑步的人数占总人数的 ,所以高三年级参加跑步的总 4 3 3 人数为 ×2 000× =450,由分层抽样的特征,得高三年级参加跑步的学生中应抽取的人 4 10 200 数为 ×450=45. 2 000 7.(2012· 浙江高考)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级 全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为________. 280 解析:由分层抽样得,此样本中男生人数为 560× =160. 560+420 答案:160 8.(2012· 湖北高考)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人.现用分层抽样 的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有________人. 解析:分层抽样的特点是按照各层占总体的比相等抽取样本,设抽取的女运动员有 x x 42 人,则 = ,解得 x=6. 8 56 答案:6 9.(2012· 江西模拟)某市有 A、B、C 三所学校,共有高三文科学生 1 500 人,且 A、B、 C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列,在三月进行全市联考后,准备用分层抽样的方 法从所有高三文科学生中抽取容量为 n 的样本, 进行成绩分析, 若从 B 校学生中抽取 40 人, 则 n=________.

解析:设 A、B、C 三所学校学生人数分别为 x,y,z,由题知 x,y,z 成等差数列,所 n 以 x+z=2y,又 x+y+z=1 500,所以 y=500,用分层抽样方法抽取 B 校学生人数为 1 500 ×500=40,得 n=120. 答案:120 10.(2012· 开封模拟)某公路设计院有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些 人中抽取 n 个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取, 不用剔除个体;如果参会人数增加 1 个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个 体,求 n. 解:总体容量为 6+12+18=36. 36 n 当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为 ,分层抽样的比例是 ,抽取的工 n 36 n n n n n n 程师人数为 ×6= ,技术员人数为 ×12= ,技工人数为 ×18= ,所以 n 应是 6 的倍 36 6 36 3 36 2 数,36 的约数,即 n=6,12,18. 35 35 当样本容量为(n+1)时,总体容量是 35 人,系统抽样的间隔为 ,因为 必须是 n+1 n+1 整数,所以 n 只能取 6.即样本容量 n=6. 11.(2012· 聊城联考)某单位有 2 000 名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、 营销、生产各部门中,如下表所示: 人数 老年 中年 青年 共计 管理 40 80 40 160 技术开发 40 120 160 320 营销 40 160 280 480 生产 80 240 720 1 040 共计 200 600 1 200 2 000

(1)若要抽取 40 人调查身体状况,则应怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人? (3)若要抽 20 人调查对某运动会筹备情况的了解,则应怎样抽样? 解:(1)用分层抽样,并按老年 4 人,中年 12 人,青年 24 人抽取. (2)用分层抽样,并按管理 2 人,技术开发 4 人,营销 6 人,生产 13 人抽取. (3)用系统抽样,对 2 000 人随机编号,号码从 0001~2 000,每 100 号分为一组,从第 一组中用随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加 100,200,?,1 900,得到容量为 20 的样本. 12.一个城市有 210 家百货商店,其中大型商店有 20 家,中型商店有 40 家,小型商店 有 150 家.为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 21 的样本,按分层抽样方

法抽取样本时,各类百货商店要分别抽取多少家?写出抽样过程. 解:∵21∶210=1∶10, ∴ 20 40 150 =2, =4, =15. 10 10 10

∴应从大型商店中抽取 2 家,从中型商店中抽取 4 家,从小型商店中抽取 15 家. 抽样过程: 21 1 (1)计算抽样比 = ; 210 10 (2)计算各类百货商店抽取的个数: 20 40 150 =2, =4, =15; 10 10 10 (3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取 2 家、4 家、15 家; (4)将抽取的个体合在一起,就构成所要抽取的一个样本.

1. 从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验, 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B.3,13,23,33,43 D.2,4,6,16,32 )

解析:选 B 间隔距离为 10,故可能编号是 3,13,23,33,43. 2.最近网络上流行一种“QQ 农场游戏”,这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的 过程.为了了解本班学生对此游戏的态度,高三(6)班计划在全班 60 人中展开调查,根据调 查结果,班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈,为此先对 60 名学生进 行编号 01,02,03,?,60,已知抽取的学生中最小的两个编号为 03,09,则抽取的学生中最 大的编号为________. 1 解析:由最小的两个编号为 03,09 可知,抽样间距为 6,因此抽取人数的比例为 ,即抽 6 取 10 名同学,其编号构成首项为 3,公差为 6 的等差数列,故最大编号为 3+(10-1)×6= 57. 答案:57 3.(2012· 山西四校联考)调查某高中 1 000 名学生的身高情况,得下表.已知从这批学 生中随机抽取 1 名学生,抽到偏低男生的概率为 0.15. 偏低 女生 男生 (1)求 x 的值; 100 x 正常 173 177 偏高 y z

(2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 50 名,问应在偏高学生中抽多少名; (3)已知 y≥193,z≥193,求偏高学生中男生不少于女生的概率. x 解:(1)由题意可知, =0.15,故 x=150. 1 000 (2)由题意可知, 偏高学生人数为 y+z=1 000-(100+173+150+177)=400.设应在偏高 学生中抽 m 名, 则 m 50 = ,故 m=20. 400 1 000

应在偏高学生中抽 20 名. (3)由(2)知 y+z=400, y≥193, 且 z≥193, 满足条件的(y, z)有(193,207), (194,206), ?, (207,193),共有 15 组. 设事件 A:“偏高学生中男生不少于女生”,即 y≤z,满足条件的(y,z)有(193,207), 8 (194,206),?,(200,200),共有 8 组,所以 P(A)= . 15 8 偏高学生中男生不少于女生的概率为 . 15

1.(2012· 抚顺模拟)某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬 类分别有 40 种、10 种、30 种、 20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽 取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( A.4 C.6 B.5 D.7 )

20 1 解析:选 C 四类食品的每一种被抽到的概率为 = ,则植物油类和果 40+10+30+20 5 1 蔬类食品被抽到的种数之和为(10+20)× =6. 5 2.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为 2∶3∶5,现用 分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n =________. 2 3 5 解析:设分别抽取 B、C 型号产品 m1,m2 件,则由分层抽样的特点可知 = = , 16 m1 m2 ∴m1=24,m2=40, ∴n=16+m1+m2=80. 答案:80


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