2019-2020学年高中新创新一轮复习文数通用版讲义:选修4-5 不等式选讲 Word版含解析

选修 4-5?? 不等式选讲 ? 第一节 绝对值不等式 本节主要包括 2 个知识点: 1.绝对值不等式的解法; 绝对值三角不等式. 突破点(一) 绝对值不等式的解法 [基本知识] (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 a>0 a=0 a<0 |x|<a {x|-a<x<a} ? ? |x|>a {x|x>a或x<-a} {x∈R|x≠0} R (2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解. ②利用零点分段法求解. ③构造函数,利用函数的图象求解. [基本能力] 1.判断题 (1)不等式|x|<a 的解集为{x|-a<x<a}.( ) (2)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和.( ) (3)不等式|2x-3|≤5 的解集为{x|-1≤x≤4}.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.填空题 (1)若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=________. 解析:由|kx-4|≤2?2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2. 答案:2 (2)不等式|2x-1|>3 的解集为________. 解析:由|2x-1|>3 得, 2x-1<-3 或 2x-1>3,即 x<-1 或 x>2. 答案:{x|x<-1 或 x>2} (3)若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为???x??-53<x<13 ??,则 a=________. ? 解析:依题意,知 a≠0.|ax-2|<3?-3<ax-2<3?-1<ax<5,当 a>0 时,不等式的解 集为??-1a,5a??, ?5a=13, ? 从而有 ?-1a=-53, 此方程组无解. 当 a<0 时,不等式的解集为??5a,-1a??, ?5a=-53, ? 从而有 ?-1a=13, 解得 a=-3. 答案:-3 (4)不等式|x+1|-|x-2|≥1 的解集是________. ??-3,x≤-1, ? 解析:f(x)=|x+1|-|x-2|= 2x-1,-1<x<2, ??3,x≥2. 当-1<x<2 时,由 2x-1≥1,解得 1≤x<2. 又当 x≥2 时,f(x)=3>1 恒成立. 所以不等式的解集为{x|x≥1}. 答案:{x|x≥1} [全析考法] 绝对值不等式的解法 [典例] 解下列不等式: (1)|2x+1|-2|x-1|>0. (2)|x+3|-|2x-1|<x2+1. [解] (1)法一:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,两边平方得 4x2+4x+1>4(x2-2x+1), 解得 x>14,所以原不等式的解集为???x|x>14???. 法二:原不等式等价于???x<-21, ??-?2x+1?+2?x-1?>0 或???-12≤x≤1, ???2x+1?+2?x-1?>0 ??x>1, 或? ???2x+1?-2?x-1?>0. 解得 x>14,所以原不等式的解集为???x|x>14???. (2)①当 x<-3 时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<x2+1,解得 x<10,∴x<-3. ②当-3≤x<12时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<x2+1,解得 x<-25,∴-3≤x<-25. ③当 x≥12时,原不等式化为(x+3)+(1-2x)<x2+1, 解得 x>2,∴x>2. 综上可知,原不等式的解集为???x|x<-52或x>2???. [方法技巧] 绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R+,|x|<a?-a<x<a, |x|>a?x<-a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转 化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解. [全练题点] 1.求不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集. 解:不等式|x-1|-|x-5|<2 等价于 ??x<1, ? ??1≤x≤5, 或? ??-?x-1?+?x-5?<2 ??x-1+x-5<2 ??x>5, 或? ??x-1-?x-5?<2, ??x<1, ?1≤x≤5, ??x>5, 即? 或? 或? 故原不等式的解集为{x|x<1}∪{x|1≤x<4}∪?= ??-4<2 ?2x<8 ??4<2, {x|x<4}. 2.解不等式 x+|2x+3|≥2. 解:原不等式可化为???x<-23, ??-x-3≥2 或???x≥-32, ??3x+3≥2. 解得 x≤-5 或 x≥-13. 所以原不等式的解集是???x|x≤-5或x≥-31???. 3.已知函数 f(x)=|x-1|+|x+a|,g(x)=|x-2|+1. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥5; (2)若对任意 x1∈R,都存在 x2∈R,使得 g(x2)=f(x1)成立,求实数 a 的取值范围. ??-2x-1,x≤-2, ? 解 : (1) 当 a = 2 时 , f(x) = |x - 1| + |x + 2| = 3,-2<x<1, ??2x+1,x≥1, ∴ f(x)≥5 ? ??x≤-2, ?-2<x<1, ??x≥1, ? 或? 或? ??-2x-1≥5 ?3≥5 ??2x+1≥5. 解得 x≥2 或 x≤-3,∴不等式 f(x)≥5 的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞). (2)∵对任意 x1∈R,都存在 x2∈R,使得 g(x2)=f(x1)成立,∴{y

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