2014淮南市二模数学文科定稿

2014 淮南市二模文科数学试卷
本试卷,分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修 正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A.第一象限

1? i 对应的点位于( i
B.第二象限

) D.第四象限

2. 设集合 M ? x y 2 ? 3x, x ? R , N ? y x 2 ? y 2 ? 4, x ? R, y ? R ,则 M ? N 等于
( )

?

?

?

C.第三象限

?

A. C.

? 3,- 3? ??1, 3 ? , ?1, ? 3 ??

B. ?0, 2? D. ? ?2, 2?
)

3. 已知 si n2? ?

1 ? 2 ,则 cos ( ? ? ) ? ( 3 4

1 A. 3 ?

2 B. 3 ?

2 C. 3

1 D. 3

4. 把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 连结 AC, 得到三棱锥 C-ABD, 其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示) ,则其侧视图的面 积为( A. 1 2 ) B. 3 2 ) C.1 D. 2 2
俯视图 正视图

5.下列说法正确 的是 ( ..

A.对于实数 a, b, c ,若 ac2 ? bc 2 , 则 a ? b ; B. “ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件;

? 平均增加1.5 个 ? ? 2 ? 1.5x ,则变量 x 每增加一个单位, y C.设有一个回归直线方程为 y
单位; D.已知空间直线 a , b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c .

6 . 设 等 差 数 列 ?a n ? 和 等 比 数 列 ?b n ? 首 项 都 是 1 , 公 差 与 公 比 都 是 2 , 则

ab1 ? ab2 ? ab3 ? ab4 ? ab5 ? (
A.54 B.56

) C.58 D.57 )

7. 设扇形的圆心角为

2? ,面积 16? ,若将它围成一个圆锥则此圆锥的表面积是( 3
2 2 ? 3
C.

A.

2 3 ? 3

B.

4 2 ? 3

D.

2 6 ? 3

8. 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a 2 b2
)

PF1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为(
A. 2 B. 2 2 C. 3 D.

4 3 3

9.如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形, OD ? 3 ,点 P 为 ?BCD 内(含边界)的动点, 设 OP ? ? OC ? ? OD(? , ? ? R) ,则 ? ? ? 的 最大值等于 ( )

A.

4 3

B.1

C.

5 3

D.

3 2 4

10. 已知函数 f ( x) ? ?

?3x ? 1
x ?e

( x ? 0) ( x ? 0)

则方程 f ( x) ? kx ? 0 恰有两个不同的实根时,实 )

数 k 的取值范围是(其中 e 为自然对数的底数) (

A.(1, e)

B.?1,3?

C.(3,??)

D.?e,3?

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 过点 P(2,3) 且与直线 2x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是 __ ____.

12.已知函数f(x)= 2

x ?1

? 1 过定点 A,且点 A 在直线

1 1 l:mx+ny= 1(m>0,n>0) 上 , 则 + 的取值范围是 m 2n 13.执行如图的程序框图,输出的结果是

14. 如图, 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0 ,? ? 0 ,| ? |? 与坐标轴的三个交点 P 、 Q 、 R 满足 P(?2?,?0?) , ?PQR ?

?
4

? ) 2

,M 为

QR 的中点, PM ? 2 5 , 则 A 的值为____________

15 . O 是面 ? 上一定点, A、B、C 是面 ? 上 ?ABC 的三个顶点, ?B, ?C 分别是边

AC, AB 对应的角。以下命题正确的序号是

①动点 P 满足 OP ? OA ? PB ? PC ,则 ?ABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中。 ②动点 P 满足 OP ? OA ? 集合中。 ③动点 P 满足 OP ? OA ? 条件的 P 点集合中。 ④动点 P 满足 OP ? OA ? 足条件的 P 点集合中。 三、解答题:本大题 6 小题,共 75 分 16. (本题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ,且 cos (1)若 a ? 3 , b ?

?(

AB AB

?

AC AC

则 ?A )(? ? 0) , B C 的内心一定在满足条件的 P 点

?(

AB AB sin B AB

?

AC AC sin C AC

)(? ? 0) ,则 ?ABC 的重心一定在满足

?(

AB cos B

?

AC cosC

)(? ? 0) ,则 ?ABC 的垂心一定在满

A?C 1 ? . 2 2

7 ,求 c 的值;

(2)若 f ? A ? ? sin A

?

3 cos A ? sin A ,求 f ? A ? 的取值范围.

?

17. (本题满分 12 分) 为迎接中考体育测试,某校初三(1)班女生进行 30 秒跳绳测试,成绩分析的茎叶图和 频率分布直方图均受到不同程度的破坏,但可见部分信息如下,据此解答如下问题: (1)求参加测试的人数 n 、测试成绩的中位数及成绩分别在 ?80,90? ,?90,100? 内的人 数; (2) 若从成绩在 ?80,100? 内的学生中任选两 人作为班级代表参加年级跳绳比赛,求恰好 有一人成绩在 ?90,100? 内的概率.

BC ? 2 , D 18.(本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC ? A 1 ? 3, 1B 1C1 中, AB ? AC ? AA
是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点,且 CF ? 2 (1)求证: B1F ⊥平面 ADF ; (2)若 C1 P ?

1 C1 A1 ,求证: PF / /面ADB1 3

x2 y 2 19. (本题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的 a b 2 长轴长为 2 2 ,离心率为 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 B 为椭圆 C 的下顶点,过点 B 的直线交椭圆 C 于另一点 A (异于上顶点),且 AB 中 点 E 在直线 y ? x 上, (i)求直线 AB 的方程, (ii)点 P 为椭圆 C 上异于 A, B 的任意 一点,若直线 AP, BP 分别交直线 y ? x 与 M , N 两点, 证明: OM ? ON 为定值。

20.(本题满分 13 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? ?

1 * , 2an ? an?1 ? n ? 1 (n ? 2, n ? N ) ,设 bn ? an ? n . 2

(1)证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;

(3)若 cn ? ( ) ? an , Pn 为数列 ?
n

1 2

? ? 1 ? ? ? ? 的前 n 项和,若 Pn ? ?c n?1 对一切 n ? N 2 ? ? cn ? cn ? ?

均成立,求 ? 的最小值。

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x 2 ? ax ? 3)e x (a 为实数) . (1) 当 a=1 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 求 f ( x ) 在区间[t,t+1](t >0)上的最小值; (3) 若存在两不等实根 x1, x2 ? [ ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e x f ( x) 成立,求实数 a 的取值范 围.

1 e


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