与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题》(一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析) Word版含答案

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与圆锥曲线有关的定值、最值 与范围问题
分层训练 A 级 基础达标演练 (时间:30 分钟 满 分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

? π? 2 2 1.若 α ∈?0, ?,方程 x sin α +y co s α =1 表示焦点在 y 轴上的 椭圆,则 α 的取值范 2? ?
围是________. 解析 由

x2

1 sin α



y2

1 cos α

1 1 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 得 > >0, sin α >cos 即 cos α sin α

? π? α >0.又 α ∈?0, ?, 2? ?
π π 所以 <α < . 4 2

?π π ? 答案 ? , ? ?4 2?
2.已知椭圆 C: +y =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0< +y0<1,则 PF1+PF2 的 2 2 取值范围是________. 解析 由题意, 得点 P 在椭圆 +y =1 的内部, 所以 2c≤PF1 +PF2<2a, 2≤PF1+PF2<2 2. 即 2 答案 [2,2 2). 3.(2012?江苏丹阳中学模拟)已知椭圆 +y =1 的焦点为 F1,F2,在长轴 A1A2 上任取一点 M, 4 → → 过 M 作垂直于 A1A2 的直线交椭圆于点 P,则使得PF1?PF2<0 的点 M 的概率为________. → → 2 2 解析 设点 P 的坐标为(m,n),则PF1?PF2=(- 3-m,-n)?( 3-m,-n)=m -3+n 2 6 2? 3 m 3m 2 6 2 6 6 → → 2 =m -3+1- = -2<0,解得- <m< ,∴PF1?PF2<0 的概率为 P= = . 4 4 3 3 2?2 3
2 2

x2

2

x2 0

2

x2

2

x2

2

答案

6 3

x2 y2 → → 4.已知 F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点,P 是椭圆上一点,且PF1?PF2=0, a b
则椭圆离心率 e 的取值范围是________.

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→ → → → → → 2 2 2 2 解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,则由PF1?PF2=0,得PF1⊥PF2,所以有 m +n =F1F2=4c .又 由椭圆定义,得 m+n=2a.于是由不等式 0<e<1,所以 答案 ? 2 ≤e<1. 2

m2+n2 ?m+n?2
2 ≥?

? ,得 2c2≥a2,所以 e2=a2≥2.又 ? 2 ?

c2 1

? 2 ? ,1? ?2 ?
x2 y2 a b
2

5.(2013?南京金陵中学月考)已知椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),当 a + 时,椭圆的离心率 e=________. 解析 a +
2

16

b? a-b?

取最小值

16

b? a-b?

≥a +

2

16 2

?b+a-b?2 ? ? ? ?

64 2 =a + 2 ≥2

a

a2? 2 =16,当且仅当 a2=8,b2= a

64

1 2 c 3 a =2 时等号成立,此时 c2=a2-b2=6,所以 e= = . 4 a 2 答案 3 2

x2 y2 a2 6.(2012?镇江模拟)设 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上 a b c
存在点 P 使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率 e 的取值范围是________.

cy ?a ? ? b y? 解析 设 P? ,y?,F1P 的中点 Q 的坐标为? , ?,当 y≠0 时,有 kF1P= 2 2,kQF2= a +c ?c ? ?2c 2? cy b2-2c
2,由 kF1P?kQF2=-1 得 y = 2

2

2

?

a2+c2? ? 2c2-b2? 2 2 2 ,y ≥0,但注意到 b -2c ≠0, c2

3 2 2 2 2 2 1 2 2 即 2c -b >0,即 3c -a >0,即 e > ,故 <e<1.当 y=0 时,b -2c =0,此时 kQF2 不存 3 3

a2 3 3 ? 3 ? 在,此时 F2 为 PF1 中点, -c=2c,得 e= ,综上得 ≤e<1,故填? ,1?. c 3 3 ?3 ?
答案 ?

? 3 ? ,1? ?3 ?
x2 y2

二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)且 x1+x2=2. 4 2 (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求 PB 的最小值及相应的 P 点坐标. (1)证明 ∵P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1+x2=2.

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2 1

当 x1≠x2 时,由?

? ?x +2y =4 ?x2+2y2=4 ?
2 2

2 1

,得

y1-y2 1 x1+x2 =- ? . x1-x2 2 y1+y2

设线段 PQ 的中点 N(1,n),∴kPQ=

y1-y2 1 =- , x1-x2 2n

∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), ∴(2x-1)n-y=0,

?1 ? 则直线恒过一个定点 A? ,0?. ?2 ? ?1 ? 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A? ,0?. ?2 ? ?1 ? 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A? ,0?. ?2 ? ? 1 ? (2)解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称,故点 B?- ,0?. ? 2 ?
∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈[0,2],

PB2=?x1+ ?2+y2= ( x1+1)2+ ≥ , 1 2

? ?

1?

?

1 2

7 4

9 4

3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,PBmin= . 2 8.(2011?四川) 如图过点 C(0,1)的椭圆 2+ 2=1(a>

x2 y2 a b

b>0)的离心率为

3 .椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0)、 2

B(-a,0).过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并
与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; → → (2)当点 P 异于点 B 时,求证:OP?OQ为定值. (1)解 由已知得 b=1, = 所以椭圆方程为 +y =1. 4 椭圆的右焦点为( 3,0),此时直线 l 的方程为 y=- -8 3x=0. 8 3 1 解得 x1=0,x2= ,代入直线 l 的方程得 y1=1,y2=- , 7 7 3 x+1,代入椭圆方程化简得 7x2 3

c a

3 ,解得 a=2, 2

x2

2

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所以 D 点坐标为? 故 CD=

1? ?8 3 ,- ?. 7 7? ?

?8 3 ?2 ? 1 ?2 16 ? -0? +?-7-1? = . ? 7 ? 7 ? ?

(2)证明 当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y=kx+1( k≠0 且 k≠ ). 2 代入椭圆方程化简得(4k +1)x +8kx=0. -8k 解得 x1=0,x2= 2 , 4k +1 1-4k 代入直线 l 的方程得 y1=1,y2= 2 , 4k +1 所以 D 点坐标为?
2 2 2

? -8k ,1-4k ?. 2 2 ? ?4k +1 4k +1?
x

2

又直线 AC 的方程为 +y=1, 2
? ?x=-4k, 1+2k 直线 BD 的方程为 y= (x+2),联立解得? 2-4k ?y=2k+1. ?

? 1 ? 因此 Q 点坐标为(-4k,2k+1).又 P 点坐标为?- ,0?. ? k ?
→ → ? 1 ? 所以OP?OQ=?- ,0??(-4k,2k+1)=4.

? k

?

→ → 故OP?OQ为定值. 分层训练 B 级 创新能力提升 1.(2012?南京市、盐城市一模)设椭圆恒过点(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值 是________. 解析 ? 1 4 4a e 2 2 因为 2 + 2 =1,所以 b = 2 (a >5),所以 = a b a -1 c
2 2

a2 a -b
2 2



a2? a2-1? a2-5



a2-5? +

20 2 +9≥ 4 5+9=2+ 5,当且仅当 a =5+2 5时等号成立. a -5
2

答案 2+ 5 2.(2013?南京模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e, 若椭圆上存在点 P,使得

x2 y2 a b

PF1 =e,则该离心率 e 的取值范围是________. PF2

2ae 2a 解析 因为 P F1=ePF2,PF1+PF2=2a,所以 PF1= ,PF2= ,因为 e∈(0,1),所以 1+e 1+e
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PF1<PF2.由椭圆性质知 a-c≤PF1≤a+c, 所以 a-c≤
2 2 2 2

2ae 2ac ≤a+c , a-c≤ 即 ≤a+c, 1+e a+c

即 a -c ≤2ac≤(a+c) ,即 e +2e-1≥0.又 0<e<1,所以 2-1≤e<1. 答案 [ 2-1,1) 3. (2012?苏锡常镇调研)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1, 2, F 其上的动点 M 到一个焦点的距离最大 为 3,点 M 对 F1、F2 的张角最大为 60°. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 在 x 轴上的两个顶点分别为 A,B, P 是椭圆 点

x2 y2 a b

C 内的动点,且 PA?PB=PO2,求PA?PB的取值范围.
解 (1)设 M(x0,y0),由椭圆的第二定义,知

→ →

2 ?a ? MF2=e? -x0?=a-ex0. ?c ?

∵-a≤x0≤a,∴当 x0=-a 时,( MF2)max=a+ea=a+c, ∴a+c=3. 又 MF1=2a-MF2=a+ex0,F1F2=2 c, 1 ∵(∠F1MF2)max=60°,∴(cos∠F1MF2)min= . 2 而 cos∠F1MF2= = 2? ?
2 MF1+MF2-F1F2 2 2 2MF1?MF2 2



MF1+MF2?

-2MF1?MF2-F1F2 2MF1?MF2

2

2 2 a2-c2? 2? a -c ? = -1= 2 -1. MF1?MF2 a -e2x2 0

2? a -c ? a -2c a -2c 1 故当 x0=0 时,(cos∠F1MF2)min= -1= ,∴ = . a2 a2 a2 2 即 a=2c. 由①②,得 a=2,c=1,∴b= 3. 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)设 P(x,y),则 ②

2

2

2

2

2

2

x2 y2

?x +y <1, ?4 3 ? ? ? x+2? 2+y2? ? x-2? ?
由④,得 y =x -2.
2 2

2

2


2

+y =x +y .

2

2

2

④ ⑤

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2 2

x x -2 2 ∴x ≥2,⑤代入③,得 + <1. 4 3
2 20 2 20 ∴x < .∴2≤ x < . 7 7

→ → 2 2 ∴PA?PB= (-2-x,-y)?(2-x,-y)=x +y -4 2? ? 2 2 2 =x +(x -2)-4=2x -6∈?-2,- ?. 7? ? 2? → → ? 故PA?PB的取值范围为?-2,- ?. 7? ? 4.给出双曲线 x - =1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方 程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m,使得 m 与双曲线交于两点 Q1,Q2,且 B 是 Q1Q2 的中点?这样 的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)设弦的两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
2 2 2

y2

?2x1-y1=2, ? 则? 2 2 ? ?2x2-y2=2,

两式相减得到 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),又 x1+x2=4,y1

+y2=2, 所以 直线斜率 k=

y1-y2 =4.故求得直线方程为 4x-y-7=0. x1-x2

(2)设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2), 按 照(1)的解法可得

y1-y2 2x = , x1-x2 y



由于 P1,P2,P,A 四点共线, 得

y1-y2 y-1 = , x1-x2 x-2



2x y-1 2 2 由①②可得 = ,整理得 2x -y -4x+y=0,检验当 x1=x2 时,x=2,y=0 也满足方 y x-2 程,故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 2x -y -4x+y=0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在,按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y=2x-1.
2 2

?y=2x-1, ? 考虑到方程组? 2 y2 ?x - 2 =1 ?

无解,因此满足题设条件的直线 m 是不存在的.

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