高考数学 考点8 数列的综合应用练习

考点 8

数列的综合应用

1.(2010·湖北高考理科·T7)如图,在半径为 r 的圆内作内接正六边形, 再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下 去.设

Sn ? Sn 为前 n 个圆的面积之 和,则 lim n ?? (
2



(A) 2? r

8 2 ?r (B) 3
2

(C) 4? r

(D) 6? r

2

【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公 式和前n项和公式的应用,考查无穷递缩等比数列前 n 项和极限的计算,考查考生的运算求解能力. 【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系,从而将所有内切圆

a1 lim S ? n ?a ? 1? q . 的面积按从大到小的顺序排列构造一个等比数列 n ,由公比 q ? (0,1) 知 n ??

rnr? 33 n1 ?1 cos30 ?? cos 300 0?? r a rr 22 ,从而 【规范解答】选 C.设正六边形第 n 个内切圆的半径为 n ,面积为 n ,则 n n °
3 3 3 a q? 2 a an ?1 = 4 n , 由 a1 ? ? r 2 , ? ? q ? (0,1) 4, 知 n 是首项为 ?r ,公比为 4 的等比数列,所以

? r2 a1 3 l i mS n ? 1 ? q 1 ? n ?? 4 =4 ? r 2 . =
【方法技巧】对于等比数列

?an ? ,若公比 q ? 1 ,则其前

n 项和

Sn 当 n 趋向于无穷大时极限存在且

a1 lim S n ? 1 ? q n ?? .
n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 ? 3 4 5 ??? n 1 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? 中,记位于第 2.(2010·上海高考理科·T10)在 n 行 n 列矩阵 ?
i 行第 j 列的数为 aij(i,j=1,2,?,n).当 n ? 9 时, a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ?
【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力. 【思路点拨】观察矩阵的特点,找到 n=9 时 aij(i,j=1,2,?,9)对应的数,再求解. 【规范解答】当 n ? 9 时, 【答案】45
-1-



a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ? 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45.

【方法技巧】本题观察一定要仔细认真,因为 n=9 个数不多,可以将矩阵列出来再求解.

3. (2010· 湖北高考理科· T20) 已知数列 数列

?an ? 满足:

a1 ?

1 3 ?1 ? an?1 ? ? 2 ?1 ? an ? an?1 ? 0 ? n ? 1? 1 ? an?1 , an ? 2 , 1 ? an .

?bn ? 满足: bn

=

an?12 ? an 2 (n≥1).

(Ⅰ)求数列

?an ? , ?bn ? 的通项公式; ?bn ? 中的任意三项不可能成等差数列.

(Ⅱ)证明:数列

【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义,考查利用数列递推关系式求数列通项的思想,考查反 证法及考生的推理论证能力. 【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列 式,最后求

?cn ? 满足: cn ? 1 ? an2 ,先求 ?cn ? 的通项公式,再求 ?an ? 的通项公

?bn ? 的通项公式.
1 ? an ?12 ? 2 2 3 (1 ? an 2 ) cn ?1 ? cn c1 ? 1 ? a12 ? 2 c ? 1 ? a 3 3 ,又 4, n ,则 ,令 n 3 2
n ?1

(Ⅱ)用反证法证明.

【规范解答】(Ⅰ)由题意可知:

cn ? ?( ) ?c ? 4 3 所以数列 n 是以 4 为首项, 3 为公比的等比数列, 即

3

2

3 2 1 an 2 ? 1 ? ?( ) n ?1 a1 ? 4 3 2 >0, , 故 .又

an ?an?1 ? 0 ,故

3 2 n?1 an ? (?1)n?1 1 ? ? ( ) 4 3 ,

bn ? a

2 n ?1

3 2 1 2 3 2 [1 ? ?( ) n ] ? [1 ? ?( ) n ?1 ] ?( ) n ?1 4 3 4 3 ? an = =4 3 .
2

(Ⅱ)证明: (反证法) 假设数列

?bn ? 存在三项 br ,bs ,bt (r ? s ? t ) 按某种顺序构成等差数列, ?b ? 由于数列 n
则只能有

1 2 b ? bs ? bt , 是以 4 为首项, 3 为公比的等比数列,于是一定有 r 1 2 1 2 1 2 2? ?( ) s ?1 ? ?( ) r ?1 ? ?( )t ?1 4 3 4 3 4 3 ,两边同乘以 3t ?121?r 可得:

2bs ? br ? bt 成立,即:

2?2s ?r 3t ?s ? 3t ?r ? 2t ?r ①,由于 r ? s ? t ,所以①式左边为偶数,右边为奇数,从而①式不可能成立,导
致矛盾.故数列

?bn ? 中的任意三项不可能成等差数列.

【方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时,通常都要先构造新的数列,利用等差、等比数 列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式,再求题设中数列的通项公式. 4. (2010· 重庆高考理科· T21) 在数列

?an ? 中,a1 =1,an?1 ? can ? cn?1 ? 2n ?1?? n ? N *? , 其中实数 c ? 0 .
-2-

(1)求

?an ? 的通项公式.
a2k ? a2k ?1 ,求 c 的 取值范围.

(2)若对一切 k ? N * 有

【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题,考查数学归纳法及其应用,考查数列的基础知识,考查运算求 解能力,考查化归与转化思想,考查分类讨论的思想. 【思路点拨】 (1)先求出数列

?an ? 的前几项,归纳猜想得出结论,再用数学归纳法证明或将所给等式变
a1 ? 1 , a2 ? ca1 ? c2 ? 3 ? 3c2 ? c ? (22 ?1)c2 ? c ,

形构造新数列,利用新数列求解.(2)对恒成立问题进行等价转化. 【规范解答】 (1) 【方法 1】 :由

2 3 2 2 3 2 a3 c2 ? 5 ? 8c3 ? c2 ? (32 ?1)c3 ? ?c c2 3 ? ca2 2 ? c3 ,

a4 ? ca3 ? c4 ? 7 ? 15c4 ? c3 ? (42 ?1)c4 ? c3 ,猜测 an ? (n2 ?1)cn ? cn?1 ( n ? N * ) ,
下面用数学归纳法证明 当 n=1 时,等式成立; 假设当 n=k 时,等式成立,即

ak ? (k 2 ?1)ck ? ck ?1 ,则当 n=k+1 时,

ak ?1 ? cak ? ck ?1 (2k ?1) ? c[(k 2 ?1)ck ? ck ?1 ] ? ck ?1 (2k ?1)
? (k 2 ? 2k )ck ?1 ? ck ? [(k ? 1)2 ?1]ck ?1 ? ck ,
综上可知,

an ? (n2 ?1)cn ? cn?1 对任何 n ? N * 都成立.

an ?1 an ? n ? (2n ? 1) n ?1 c 【方法 2】 : 由原式得 c , bn ? an 1 b1 ? n c ,则 c , bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ,因此对 n ? 2 有



bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ??? (b2 ? b1 ) ? b1
? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ??? 3 ? 1 1 ? n2 ? 1 ? c c,

因此, 因此,

an ? (n2 ?1)cn ? cn?1 , n ? 2 ,又当 n=1 时上式成立. an ? (n2 ?1)cn ? cn?1 , n ? N * .
a2k ? a2k ?1 ,得

(2) 【方法 1】 :由

[(2k )2 ?1]c2k ? c2k ?1 ? [(2k ?1)2 ?1]c2k ?1 ? c2k ?2

-3-

因c

2k ?2

2 2 2 ? 0 ,所以 (4k ?1)c ? (4k ? 4k ?1)c ?1 ? 0
*

解此不等式得:对一切 k ? N ,有

c ? ck 或 c ? ck ? ,其中

(4k 2 ? 4k ? 1) ? (4k 2 ? 4k ? 1) 2 ? 4(4k 2 ? 1) ck ? 2(4k 2 ? 1) , ck ? ? (4k 2 ? 4k ? 1) ? (4k 2 ? 4k ? 1) 2 ? 4(4k 2 ? 1) 2(4k 2 ? 1) ,
8 ?1 c (因为 k 的分子、分母的最高次项的次数都是 2,且系数都是 8,所以极限值是 8 ) ;用

易知 k ??

lim ck ? 1

放缩法得:

(4k 2 ? 4k ? 1) 2 ? 4(4k 2 ? 1) ? (4k 2 ? 1) 2 ? 4(4k 2 ? 1) ? 4

? 4k 2 ? 1,所以
因此由

ck ?

(4k 2 ? 4k ? 1) ? 4k 2 ? 1 8k 2 ? 4k ? ?1 2(4k 2 ? 1) 8k 2 ? 2 ,

c ? ck 对一切 k ? N * 成立得 c ? 1 ;

ck? ?


?2 (4k 2 ? 4k ? 1) ? (4k 2 ? 4k ? 1)2 ? 4(4k 2 ? 1)
c ? ck ?
对一切 k ? N 成立得:
*

?0
, 易知

ck ?

单调递增, 故

ck ? ? c1?

对一切 k ? N 成
*

立,因此由

1 ? 13 1 ? 13 c ? c1? ? ? (??, ? ) ? [1, ??) 6 ,从而 c 的取值范围为 6 .
【方法 2】 :由 因c
2k ?2

a2k ? a2k ?1 ,得 [(2k )2 ?1]c2k ? c2k ?1 ? [(2k ?1)2 ?1]c2k ?1 ? c2k ?2 ,

? 0 ,所以 4(c 2-c)k2+4ck-c2+c-1>0 对 k ? N * 恒成立.
2 2 2

记 f ( x) ? 4(c ? c) x ? 4cx ? c ? c ?1 ,下面分三种情况讨论. (i)当 c ? c ? 0 即 c ? 0 或 c ? 1 时,代入验证可知只有 c ? 1 满足要求.
2

(ii)当 c

2

? c ? 0 时,抛物线 y ? f ( x) 开口向下,因此当正整数 k 充分大时, f (k ) ? 0 ,不符合题意,

此时无解. (iii) 当c ?c ? 0, 即 c ? 0 或 c ? 1 时, 抛物线 y ? f ( x) 开口向上, 其对称轴
2

x?

1 2(1 ? c) 必在直线 x ? 1

??)上是增函数, 的左侧,因此, y ? f ( x) 在[1,

-4-

* f f(x) (k ) ? 0 对 k 所以要使 x ? N 恒成立,只需 f (1) ? 0 即可.

由 f (1) ? 3c ? c ?1 得 3c2+c-1>0,解得
2

c?

?1 ? 13 ?1 ? 13 c? 6 6 或 ,

结合 c ? 0 或 c ? 1 得

c??

1 ? 13 6 或c ? 1 . (??, ? 1 ? 13 ) ? [1, ??) 6 .

综合以上三种情况, c 的取值范围为

【方法技巧】 (1)第(1)问有两种方法解答:①归纳猜想并用数学归纳法证明;②数列的迭代法(或累 加消项法) ; (2)第(2)问中对条件“恒成立”进行等价转化,转化为一元二次不等式求解或转化为二次 函数进行讨论; (3)放缩法的运用. 5.(2010·重庆高考文科·T16)已知 (1)求通项公式 (2)设

{an } 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和.

an 及 Sn .

{bn ? an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

【命题立意】本小题考查等差数列、等比数列的基 础知识,考查等差数列、等比数列的前 n 项和公式及其 应用,考查运算求解的能力,考查化归与转化的思想. 【思路点拨】 (1)直接套用等差数列的通项公式和前 n 项和公式计算.(2)直接套用等比数列的通项公式 求出

{bn ? an } 的通项,再求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和.

【规范解答】 (1)因为 所以

{an } 是首项为 19,公差为-2 的等差数列,

an ? 19 ? 2(n ?1) ? ?2n ? 21,即 an ? ?2n ? 21.
n(n ? 1) (?2) ? ?n 2 ? 20n S ? ?n2 ? 20n . 2 ,即 n

Sn ? 19n ?

(2)因为 所以

{bn ? an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 bn ? an ? 3n?1 ,即 bn ? 3n?1 ? an =3n-1-2n+21,

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (30 ? a1 ) ? (3 ? a2 ) ? ?? (3n?1 ? an )
n?1

1?1(1 (1 ? ?3 3nn) 3n ? 1 2 ?? ? n2 ? 20n ? ? n ? 20n ? (3 ? 3 ? ?? 3 ) ? (a1 ? a2 ? ?? an ) 2 11 ?? 33 .
0

【方法技巧】在求

Tn 时,巧妙的利用(1)中的和 Sn ? ?n2 ? 20n 可以快速解题.

6.(2010·江西高考理科·T22) 证明以下命题: (1)对任一正整数 a ,都存在正整数 b, c(b ? c) ,使得 a , b , c 成等差数列.
2 2 2

-5-

(2)存在无穷多个互不相似的三角形

2 2 2 ? n ,其边长 an , bn , cn 为正整数且 an , bn , cn 成等差数列.

【命题立意】 本题是一类新型探索题, 主要考查等差数列的定义及通项公式, 等差数列的证明等基础知识, 考查由特殊到一般的思想,考查等价命题的转化,考查运算能力、推理论证能力、综合 分析和解决问题的 能力,考查反证法思想,函数与方程思想方法,考查思维的严密性,本题属难题. 【思路点拨】 (1)先找到 1 ,5 ,7 成等差数列,是解决本小题的关键.(2)先选取与 n(n∈N*)有关的多 项式进行分解因式,再解方程组确定边长 项式. 【规范解答】 (1)易知 1 ,5 ,7 成等差数列,则 a ,(5a) ,(7a) 也成等差数列,所以对 任一正整数 a ,都存在正整数 b ? 5a, c ? 7a, (b ? c) ,使得 a , b , c 成等差数列.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

an , bn , cn ,最后证明三角形的存在性和无穷性,难点在于构造多

(2)若 即

2 2 2 2 2 2 an , bn , cn b2 ? an ? cn ? bn 成等差数列,则有 n ,

(bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn )
2



选取关于 n 的一个多项式,例如 4n(n ?1) ,使得它可按两种方式分解因式,由于

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n)

因此令 易验证

?an ? bn ? 2n 2 ? 2n ? ?cn ? bn ? 2n 2 ? 2n ? ,? ? ?bn ? an ? 2n ? 2 ? ?cn ? bn ? 2n ? 2 ?

,可得

?an ? n2 ? 2n ? 1 ? 2 (n ? 4) ?bn ? n ? 1 ? 2 ?cn ? n ? 2n ? 1

an , bn , cn 满足①,因此 an2,bn2,cn2 成等差数列, an ? bn ? cn 且 an ? bn ? cn ? n2 ? 4n ?1 ? 0

当 n ? 4 时,有 因此以

an , bn , cn 为边长可以构成三角形,将此三角形记为 ?n (n ? 4) . ? m 与 ? n 相似,则有:

其次,任取正整数 m, n(m, n ? 4, 且m ? n) ,假若三角形

m2 ? 2m ? 1 m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 ? ? n 2 ? 2n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 ,
据此例性质有:

m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? ( m 2 ? 1) m ? 1 2 2 2 2 ? m ?1 m2 ? 1 ? m2 ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? (m 2 ? 1) n 2 ? 1 ? n 2 ? 2n ? 1 ? n 2 ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) ? n ? 1 n ? 1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2? 1) n ?1 m2 ? 1 m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? (m2 ? 1) m ? 1 2 2 m2 ? 1 ? m2 ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? (m ? 1) ? m ? 1 n 2 ? 1 ? n 2 ? 2 n ? 1 ? n 2 ? 2n ? 1 ? ( n 2 ? 1) ? n ? 1 2 n ? 1 n ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n ? 1) n ?1 ,



-6-

m ?1 m ?1 ? ? ? 所以 n ? 1 n ? 1 ,由此可得 m ? n ,与假设 m ? n 矛盾,即任两个三角形 m 与 n (m, n ? 4, m ? n) 互
不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形
2 2 2 ? n ,其边长 an , bn , cn 为正整数且 an , bn , cn 成等差数列.

【方法技巧】1.这类题目难度大,技巧性高,一般很难直接找到问题的突破口,只有平时打好基础,注意 知识的总结和一些规律性的小结论的积累,才能把这类难度大的题通过已学的基础知识层层分解来解答, 并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子.
2 2 q q q 2.本例第(1)问的突破口如下:设 1, p , ,符合条件要求,则有 2 p ? 1 ? q ,由于 p , ∈N*,所以 2 2 2 2 ? 为奇数, 又 q ? p ? 1, 设 q ? 2k ? 1 , k ? N ,则 2 p ? 1 ? (2k ? 1) , 化简得 p ? 2k ? 2k ? 1, 可见, p

也为奇数,再设

p = 2m ? 1, m ? N ? 又得 (2m ? 1) 2 ? 2k 2 ? 2k ? 1 ,化简得 2m(m ? 1) ? k (k ? 1) ,故 N*,

2m ? k ? 1 ,且 m ? 1 ? k ,解得 k ? 3, m ? 2 .从而 p =5, q =7,这样问题就得到了解决.
7.(2010·四川高考理科·T21)已知数列

?an ? 满足 a1 ? 0,a2 ? 2 ,且对任意 m,n ? N * 都有

a2m?1 ? a2n?1 ? 2am?n?1 ? 2( m ? n )2 ,
(Ⅰ)求 (Ⅱ)设 (Ⅲ)设

a3 , a5 . bn ? a2n?1 ? a2n?1????( n ? N*) ,证明:数列 ?bn ? 是等差数列.

cn ? ( an?1 ? an ???qn?1? ?( q ? 0,n ? N*) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

【命题立意】本小题主要考查数列的递推公式、等差数列的概念及求和公式,等比数列的求和公式,用错 位相减法数列求和等知识的应用,考查化归,分类整合等数学思想,灵活运用已知公式,以及推理的能力. 【思路点拨】 (I)由题意,所给公式对 m,n ? N * 都成立,故可给 m , n 赋值,结合 解. (Ⅱ)要证数列 即

a1 ? 0,a2 ? 2 的值求

?bn ? 为等差数列,由等差数列的定义,需证 bn?1 ? bn 为常数,
为 常 数 , 与 所 给 公 式

(a2 ) ? (a2n?1 ? a2n?1 ) ? a2n?3 ? 2a2n?1 ? a2n?1 (n?1) ?1 ? a2 (n?1) ?1

a2m?1 ? a2n?1 ? 2am?n?1 ? 2( m ? n )2 比较可知,令 2m ? 1 ? 2n ? 3 ,即 m ? n ? 2 ,便可解决问题.
(Ⅲ)需先确定数列

?cn ? 的通项公式,即求 an?1 ? an 的表达式,由(Ⅱ)知
am?n?1 ? a3n ?1
2

bn ? a2n?1 ? a2n?1 ? 8n ? 2 ,观察公式 a2m?1 ? a2n?1 ? 2am?n?1 ? 2( m ? n )2 ,保留 a2n?1 ,故需出现 an ,可

a ? an 或 am?n?1 ? an , 令 2m?1 当 2m ? 1 ? n 时,

不便于计算, 当 m ? n ? 1 ? n 时, 即 m ? 1 时,

a2m?1 ? a1 ,又 a1 ? 0 ,此时由 a2m?1 ? a2n?1 ? 2am?n?1 ? 2( m ? n )2 得 a1 ? a2n?1 ? 2an ? 2(1 ? n )2 ,可求出
-7-

an ?

a2 n ?1 ? a1 ? (n ? 1) 2 2 ,从而解决问题.需注意等比数列求和时注意公比是否为 1 ,故需分类讨论.

【规范解答】(I)由题意,令 m ? 2, n ? 1 ,可得 令

a3 ? 2a2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ,

mm ? 3, ? 3, n? n1 ? a1 ? ?a 2 ? ? ? ?? 812 ? 12 ?8 ?? 8 20 ? 20 . 5a 5 2 3a 3a 1a 18 ,
?

(Ⅱ)当 n ? N ,由已知,令 n ? 2 ? m , 由已知可得 也即

a2n?3 ? a2n?1 ? 2a2n?1 ? 8 , 即 a2n?3 ? a2n?1 ? (a2n?1 ? a2n?1 ) ? 8 ,

a2 (n?1) ?1 ? a2 (n?1) ?1 ? (a2 n?1 ? a2 n?1 ) ? 8 , ∴ bn ?1 ? bn ? 8 .

∴数列

?bn ? 是公差为 8 的等差数列. ?bn ? 是首项为 b1 ? a3 ? a1 ? 6 ,公差为 8 的等差数列.

(III)由(I)、 (Ⅱ)可知数列 则

bn ? 6 ? (n ?1) ? 8 ? 8n ? 2 , 即 a2n?1 ? a2n?1 ? 8n ? 2 .
an ? a2 n ?1 ? a1 ? (n ? 1) 2 2 .则

a ? a2n?1 ? 2an ? 2(n ?1)2 ,即 另令 m ? 1 可得 1
an?1 ? an ?
?

a2( n?1)?1 ? a1 2

?a ? a ? ? (n ? 1 ? 1)2 ? ? 2n?1 1 ? (n ? 1)2 ? 2 ? ?

a2 n ?1 ? a2 n ?1 8n ? 2 ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? 2n c ? 2nqn?1 . 2 2 ,∴ n

n 当 q ? 1 时,Sn

s ? 2 ? 4 ? 6 ? ... ? 2n ? n(n ? 1) ,

n 当 q ? 1 ,Sn

s ? 2 ? q0 ? 4q1 ? 6 ? q2 ? ... ? 2n ? q n?1 , ①
q

①式两边同乘 可得 qSnn

qs ? 2 ? q1 ? 4 ? q2 ? 6 ? q3 ? ... ? 2(n ?1) ? qn?1 ? 2n ? qn ,②
2 n?1 ? 2 () n? ?2 1) q n? nq (1 ? q)sn1 ? ? q? nq ?2(1 q n ? q ? q n? ... ?1 ? 2 ? ? 2 n ? q ? (1 ? q)sn ? 2(1 ? q ? q2 ? ... ? qn?1 ) ? 2nqn 1? q 1? q ① ? ②得(1-q)Sn

n ?1

? ?


n?1 n 2? 1 ?) (n 1)q ? nq n ?1 ? q)sn ? 2(1 ? q ? q2 ? ... ? q ?? 2nq ? ? sn ? 2 (1 ? q) ∴ Sn

-8-

q ?1 ?n(n ? 1), ? n ? 1 n? ?1 ( n ? 1) q s2 ?... 2? 1 ?? (1 ? q)sn ? 2(1 ? q ? q q ) ? 2nqn ? nq ? n? ? ? .q ? 1 ? 2 (1 ? q ) 综上,Sn ?
8.(2010·全国高考卷Ⅱ理科·T18) 已知数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n)?3n .
lim
n ??

(Ⅰ)求

an Sn ;

a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n 2 2 2 n (Ⅱ)证明: 1 .
【命题立意】本题考查了数列的递推公式,极限的运算以及数列与不等式的证明综合运用. 【思路点拨】 (Ⅰ)可以用 Sn 法证明.

? Sn ?1 表示 an ,代入 Sn ? (n2 ? n)? 3n 再求极限.(Ⅱ)结合不等式的放缩

a S ? Sn ?1 S a an Sn ?1 limann ? lim lim nn ?lim lim( 1? ) ? 1 ?lim limann ?1 , lim n ?? S n ?? SS n S n?? S n Sn Sn n n 【规 范解答】 (Ⅰ) n ?? S nn

a1 ? S1 ? 6 ? 3, 2 (Ⅱ)当 n=1 时, 1 a1 a2 a S S ?S S ?S ? 2 ? ... ? n ? 21 ? 2 2 1 ? ... ? n 2 n ?1 2 2 2 n 1 2 n 当 n>1 时, 1

1 1 1 1 1 1 1 S ( 2 ? 2 ) ? S1 ? ( 2 ? 2 ) ? S2 ? ... ? ( ? 2 ) ? Sn ?1 ? 2 ? Sn ? n 2 2 2 3 (n ? 1) n n n2 = 1 n2 ? n n ?3 n 2 = n >3 .
a 1 a2 a n ? 1时,2 ? 2 ? ... ? n ? 3n. 2 1 2 n 所以,
9.(2010·上海高考理科·T20)已知数列 (1)证明: (2)求数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N *

?an ?1?是等比数列. ?Sn ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, Sn 取得最小值,并说明理由.

【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前 n 项和与第 n 项的关系.

-9-

【思路点拨】由前 n 项和与第 n 项的关系,求出

a n 与 a n?1 的关系,再完成第(1)问的证明;由(1)求



a n ,再求 S n ,由

? S n ?1 ? S n ? ? S n?1 ? S n

估算 n 的值.

【规范解答】 (1)当 n=1 时, a 1 ? 1 ? 5a 1 ? 85 ,所以 a 1 ? ?14 ;

a ? S n ? S n?1 ? n ? 5a n ? 85 ? ( n ? 1 ? 5a n?1 ? 85) , 化 简 得 , 6a n ? 5a n?1 ? 1 , 即 当 n ? 2 时, n 6(a n ? 1) ? 5(a n?1
an ? 1 5 5 ? ? 1) , a n?1 ? 1 6 ,所以 ?an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? ?15 为首项,公比为 6 的等比数列.
n ?1

? 5? a n ? 1 ? ?15? ? ? 6? (2)由( 1)得

? 5? a n ? ?15? ? ? 6? ,所以

n ?1

?1


n ?1 n ?1 ? ? ? 5? 5? ? n ? 5 ? 15? ? ? 1 ? ? 85 ? n ? 75? ? ? ? 90 ? ? ? 6? S ? n ? 5a n ?85 = ? ? ? 6? 且 n ,

【方法技巧】由数列的前 n 项和与第 n 项的关系,求通项 由

a n 时,要先求 a1 ,然后 n ? 2 时,

a n ? S n ? S n ?1 求 a n .

10 .(2010·上海高考文科·T21)已知数列 (1)证明: (2)求数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N *

?an ?1?是等比数列;

?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
a n 与 a n?1 的关系,再完成第(1)问的证明;由(1)求

【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前 n 项和与第 n 项的关系. 【思路点拨】由前 n 项和与第 n 项的关系,求出 出

a n ,再求 S n ,由 S n?1 ? S n 解不等式,估算 n 的值.

【规范解答】 (1)当 n=1 时, a 1 ? 1 ? 5a 1 ? 85 ,所以 a 1 ? ?14 ;

a ? S n ? S n?1 ? n ? 5a n ? 85 ? ( n ? 1 ? 5a n?1 ? 85) , 化 简 得 , 6a n ? 5a n?1 ? 1 , 即 当 n ? 2 时, n

- 10 -

6(a n ? 1) ? 5(a n?1

an ? 1 5 5 ? a ? 1 ? 1) , a n?1 ? 1 6 ,所以 ? n ? 是以 a1 ? 1 ? ?15 为首项,公比为 6 的等比数列.
n ?1

? 5? a n ? 1 ? ?15? ? ? 6? (2)由(1)得

? 5? a n ? ?15? ? ? 6? ,所以

n ?1

?1


n ?1 n ?1 ? ? ? 5? 5? ? n ? 5 ? 15? ? ? 1 ? ? 85 ? n ? 75? ? ? ? 90 ? ? ? 6? S ? n ? 5a n ?85 = ? ? ? 6? 且 n ,



S n?1

? 5? ? 5? n ? 1 ? 75? ? ? 90 ? n ? 75? ? ? S n ,得 ? 6? ? 6?

n

n ?1

1 ? 5? ? 90 ? ? ? 15 , ,化简,得 ? 6 ?

n

所以

故最小的整数 n 取 15.

【方法技巧】 由数列的前 n 项和与第 n 项的关系, 求通项 求

a n 时, a ? S n ? S n ?1 要先求 a1 , 然后 n ? 2 时, 由 n

an .

11.(2010·湖北高考文科·T19)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a (单位:m2) ,其中有部 分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房, 同时也拆除面积为 b (单 位:m2)的旧住房. (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式; (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年拆除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6) 【命题立意】本题主要考查由实际问题提取信息、建立数学模型的能力,同时考查考生运用所学知识分析 和解决实际问题的能力. 【思路点拨】 (Ⅰ)由题意,设第 n 年末实际住房面积为 m2). (Ⅱ)由

an ,则 an ? 1.1an?1 ? b 且 a1 ? 1.1a ? b (单位:

an ? 1.1an?1 ? b 求出 a5 ,结合题意建立方程即可解得.

【规范解答】设第 n 年末实际住房面积为 (Ⅰ)由题意,则

an (n ? N ? ) .

a1 ? 1.1a ? b (单位:m2) ,

a2 ? 1.1a1 ? b ? 1.1(1.1a ? b) ? b ? 1.21a ? 2.1b (单位:m2).
(Ⅱ)

a3 ? 1.1a2 ? b ? 1.1(1.12 a ?1.1b ? b) ? b ? 1.13 a ?1.12 b ?1.1b ? b ,

a4 ? 1.1a3 ? b ? 1.1(1.13 a ?1.12 b ?1.1b ? b) ? b
? 1.14 a ? 1.13 b ? 1.12 b ? 1.1b ? b ,

- 11 -

a5 ? 1.1a4 ? b ? 1.1(1.14 a ?1.13 b ?1.12 b ?1.1b ? b) ? b
? 1.15 a ?1.14 b ?1.13 b ?1.12 b ?1.1b ? b

? 1.6a ?

b(1 ? 1.15 ) ? 1.6a ? 6b 1 ? 1.1 ,
b? a a 20 ,所以每年拆除的旧住房面积为 20 (单位:m2).

由题意 1.6a ? 6b ? 1.3a ,解得

【方法技巧】本题第(Ⅱ)问也可通过构造新数列先求 由

an (n ? N ? ) ,再求 a5 ,进而解方程求 b.过程如下:

an ? 1.1an?1 ? b 且 a1 ? 1.1a ? b 可得: an ?10b ? 1.1(an?1 ? 10b ),若 a1 ?10b ? 0 ,则 an ? 10b ? 0 ,

从而

a5 ? a1 ? 1.1a ? b ? 1.3a 与题目条件矛盾,所以 a1 ?10b ? 0 ,所以数列 ?an ?10b? 是以 a1 ?10b 为首
为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此
1 an ?1 0b ? 1 (a ? 1n?b 0 ,) 从 1 .而1

项 , 1.1

an ? (a1 ?10b)1.1n?1 ?10b ? (a ?10b)1.1n ? 10b ,
a5 ? (a ?10b)1.15 ?10b ? 1.6a ? 6b .由题意 1.6a ? 6b ? 1.3a ,解得
12.(2010·江西高考文科·T22)正实数数列 (1) 证明数列

b?

a 20 .

2 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5 ,且 {an } 成等差数列.

{an } 中有无穷多项为无理数.

(2)当 n 为何值时,

an 为整数,并求出使 an ? 200 的所有整数项的和.

【命题立意】本题是一类创新题型,主要考查等差数列的定义及通项公式等基础知识,考查由特殊到一般 的思想,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力,考查反证法思想,考查思维的严密 性,本题属难题. 【思路点拨】 (1)从通项公式的结构特点着手,找到非完全平方式的一类表达形式,是解决本小题的关键, 此题也可利用整数的平方其末位数的规律求解; (2)利用整数的奇偶性,研究整数分解因式的规律,是解 决本类问题的关键. 【规范解答】 (1)由已知有: 方法一:取 n ? 1 ? 24 用反证法证明这些 假设
2 k ?1

2 an ? 1 ? 24(n ?1) ,从而 an ? 1 ? 24(n ?1) ,

,则

an ? 1 ? 242 k

( k ? N ).
*

an 都是无理数.
为有理数,则

an ? 1 ? 242 k

an 必为正整数,且 an ? 24k ,故 an ? 24k ? 1 .

an ? 24k ? 1 ,与 (an ? 24k )(an ? 24k ) ? 1 矛盾,
- 12 -

所以

an ? 1 ? 242 k

( k ? N )都是无理数,即数列
*

{an } 中有无穷多项为无理数.

方法二:因为

2 an n ? N ) ,当 n 的末位数字是 3, 4,8,9 时, 1 ? 24 n 的末位数字是 3 和 7 , ?1 ? 1 ? 24n, ( (n∈N*)

它不是整数的平方,也不是既约分数的平方,故此时 这种无理项 (2) 要使

an?1 ? 1 ? 24n 不是有理数,因这种 n 有无穷多,故

an ?1 也有无穷多.

an 为整数,由 (an ?1)(an ?1) ? 24(n ?1) 可知:

an ?1, an ? 1 同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 an ?1 ? 6m 或 an ? 1 ? 6m

2 an ? 6m ? 1 时,有 an ? 36m2 ? 12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ?1) ( m ? N ) 2 an ? 6m ? 1 ( m ? N )满足 an ? 1 ? 24(n ?1)

又 m(3m ? 1) 必为偶数,所以

n?
即 同理

m(3m ? 1) ?1 a 2 ( m ? N )时, n 为整数;

2 an ? 6m ?1(m ? N * ) 有 an ? 36m2 ?12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ?1) ( m ? N * )

a2 ? 1 ? 24(n ?1) ,即 也满足 n
显然

n?

m(3m ? 1) ?1 * a 2 ( m ? N )时, n 为整数;

an ? 6m ?1(m ? N * ) 和 an ? 6m ? 1 ( m ? N )是数列中的不同项;
n? m(3m ? 1) m(3m ? 1) ?1 n? ?1 * a 2 2 ( m ? N )和 ( m ? N )时, n 为整数;

所以当 由 由 设

an ? 6m ? 1 ? 200 ( m ? N )有 0 ? m ? 33 , an ? 6m ?1 ? 200 ( m ? N * )有 1 ? m ? 33 .

an 中满足 an ? 200 的所有整数项的和为 S ,则
? 5 ? 197 1 ? 199 ? 33 ? ? 34 ? 6733 2 2 .

S ? (5 ? 11 ? ? ? 197) ? (1 ? 7 ? ? ? 199)

【方法技巧】1.这类题目难度大,技巧性高,一般很难直接找到问题的突破口,只有平时打好基础,注意 知识的总结和一些规律性的小结论的积累,才能把这类难度大的题通过已学的基础知识层层分解来解答, 并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子. 2.本题巧妙利用整数的平方其末位数的规律求解,同时利用整数的奇偶性,研究整数分解因式的规律,是 解决本类问题的关键.本题考查的不仅仅是这些知识,更重要的是分析问题和解决问题的能力. 13.(2010·四川高考文科·T20)已知等差数列

{an } 的前 3 项和为 6 ,前 8 项和为 ?4 ,
- 13 -

(I)求数列 (II)设

{an } 的通项公式;

bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

【命题立意】本小题考查等差数列的求和公式,用错位相减法求数列的和,考查化归,分类整合等数学思 想,以及推理论证,分析与解决问题的能力. 【思路点拨】 (I)要求等差数列的通项公式,需知首项和公差,列方程组求解. (II)先求出

bn ? n ? qn?1 ,则 Sn=1·q0+2·q1+3·q2+?+n·qn-1,可用错位相减法求解,注意分 q ? 1 ,

q ? 1 两种情况分类讨论.

【规范解答】 (I)设等差数列 解之得

{an } 的公差为 d ,则

?3a1 ? 3d ? 6, ? ?8a1 ? 28d ? ?4.

a1 ? 3 , d ? ?1 .∴ an ? 3 ? (n ?1) ? 4 ? n .

(II)由(I)的解答可得,
n 边同乘以 得 qSn

bn ? n ? q n?1 ,则 Sn=1·q0+2·q1+3·q2+?+n·qn-1,① 若 q ? 1 ,将上式两

q

qs ? 1? q1 ? 2 ? q2 ? 3q3 ? ... ? (n ?1) ? qn?1 ? n ? qn ,②

n ② ? ①得,(q-1)Sn

(q ?1)s ? nqn ?1 ? q ? q2 ? ... ? qn?1

? nq n ?

q n ? 1 nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ? q ?1 q ?1 ,

sn ?
∴Sn

nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2 .
sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n( n ? 1) 2 ,

若 q ? 1 ,则 Sn

14. (2010·全国卷Ⅰ理科·T22)已知数列

?an ? 中,

a1 ? 1, an?1 ? c ?

1 an .

5 1 c ? , bn ? 2 an ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅰ)设
(Ⅱ)求使不等式组

an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .
- 14 -

【命题立意】 “要识庐山真面目”.本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定 义、递推数列、不等式 等基础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数 与方程思想、化归与转化思想的考查.

1
【思路点拨】对于问题(Ⅰ)进行合理变形和配凑变形为 符合

a n ?1 ? 2

?

4 ?2 b ? 4bn ? 2 an ? 2 ,得到 n?1

an ?1 ? Aan ? B 的递推式 , 一般采用待定系数法;问题(2)利用数学归纳法进行求解和证明.
an?1 ? 2 ? a ?2 2a 5 1 1 4 1 4n ? ? ?2? n ? ?2 ?2 2 an 2an , a ann? ? 2 an ? 2 an ? 2 1 ? 1? ,

【规范解答】( I) 即

bn?1 ? 4bn ? 2 .
1 2 2 b1 ? ? ?1 ? 4(bn ? ) a1 ? 2 3 3 ,又 a1 ? 1 ,故 ,

bn ?1 ?

2? ? 1 ? ?bn ? ? 3 ? 是首项为 3 ,公比为 4 的等比数列, 所以 ?
bn ? 2 1 4 n ?1 2 ? ? ? 4 n ?1 bn ? ? ? 3 3 3 3. ,

(II) a1 ? 1,a 2 ? c ? 1 ,由 a 2 ? a1 得 c ? 2 .

a ? an?1 . 用数学归纳法证明:当 c ? 2 时, n
当 n ? 1 时,

a2 ? c ?

1 ? a1 a1 ,命题成立;

a ? ak ?1 ,则当 n ? k ? 1 时, 设当 n ? k 时, k
ak ? 2 ? c ? 1 1 ? c? ? ak ?1 ak ak k? ?1 .

a ? an?1 . 故由(i),(ii)知当 c ? 2 时, n
1 1 c ? c2 ? 4 an ? ? a n?1 ? ?c ?? a ??. an an 2 当 c ? 2 时,令 ,由 得 n
2?c?


10 3 时, an ? ? ? 3 .

c?


10 3 时, ? ? 3 ,且 1 ? an ? ? ,于是
- 15 -

? ? a n?1 ?
? ? a n ?1 ?
n ? log 3

1 (? ? a n ) ? (? ? a n ) a n? 3 ,
1 (? ? 1) 3n .

1



? ?1 ? ? 3 时, ? ? an?1 ? ? ? 3 , an?1 ? 3 .

c?
因此

10 3 不符合要求.

? 10 ? ? 2, ? c 所以 的取值范围是 ? 3 ? .
【方法技巧】解决数列问题的递推思想 对于具有递推关系的数列问题,常常需要通过进行转化为常见的等差、等比数列,再利用等差、等比数列 的相关公式或性质进行解答.其主要方法有累加法、累乘法、取倒数法,待定系数法等 (1)形如

an ?1 ? an ? f (n) 的递推式,一般采用累加法;

an ?1 ? f ( n) a n (2)形如 的递推式,一般采用累乘法; an ?1 ?
(3)形如 (4)形如

Aan Ban ? C 的递推式, 一般采用取倒数法;

an ?1 ? Aan ? B 的递推式, 一般采用待定系数法.

- 16 -


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