「精品」北京市海淀清华附中-学年高一数学下学期期中试题(含解析)

小中高 精选 教案 试卷 选集

北京市海淀清华附中 2016-2017 学年高一数学下学期期中试题(含解 析)
清华附中 G16 级(马班) 2017.04 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1 1.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 32 ,公比 q ? ? ,则 a 6 等于() . 2

A. 1 【答案】C

B. ?

1 2

C. ?1

D. ?

1 2

? 1? 【解析】解: a6 ? 32 ? ? ? ? ? ?1 . ? 2?

5

故:选 C .

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中不能成立的是() . A.
1 1 ? a ?b a

B. |a| ? |b|

C. a3 ? b3

D. 2a ? 2b

【答案】A 【解析】解:不枋设 a ? ?2 , b ? ? 1 , 对于 A 选项 故选: A . 3.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 7 , a2 ? a4 ? 2 ,则公差 d ? () . A. 2 【答案】D 【解析】解:设 an ? a1 ? (n ? 1)d ,
a2 ? a4 ? 7 ? d ? 7 ? 3d ? 2 ,

1 1 1 ? ? ?1 ,不大于 ? . a ? b ?2 ? 1 2

B. 3

C. ?2

D. ?3

∴ d ? ?3 . 故选: D .

4.设 △ ABC 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 b2 ? a2 ? c2 ? 3ac ,则 B 等于() . A. 30 ? 【答案】D 【解析】解:由余弦定理:
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B. 60 ?

C. 120?

D. 150?

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cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 3 ?? , 2ac 2

又∵ O ? B ? π , ∴ B ? 150? . 故选: D .

5.已知 t ? 0 ,则函数 y ? A. ?4 【答案】B 【解析】 y ?

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为() . t
C. 0 D. 2

B. ?2

t 2 ? 4t ? 1 1 1 ? t ? ? 4≥ 2 ? t ? ? 4 , t t t

当且仅当 t ? 1 时等号成立, ∴最小值为 ?2 , 故选: B .

6.若 a ? b , c ? R ,则下列不等式中成立的是() . A. ac ? bc 【答案】D 【解析】解: A : c 可能为 0 . B.
a ?1 b

C.

1 1 ? a b

D. ac 2 ≥ bc 2

B : b 不一定大于零.
C : b 正 a 负.

D :成立.

7.不等式

x ?1 ? 0 的解集为() . x?2

A. (1, ??) 【答案】C

B. (??, ?2)

C. ( ?2,1)

D. (??, ?2) (1, ??)

?( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? ?2 ? x ? 1 【解析】 ? , ? x ? 2 ? 0 x ? ?2

∴ ( ?2,1) . 故选: C .

8.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和小

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于 20 元, 那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是() . A. 2 枝玫瑰的价格高 C.价格相同 【答案】A 【解析】解:设玫瑰、康乃馨价格为 x 、 y ,
?6 x ? 3 y ? 24 , ? ?4 x ? 4 y ? 20 ?2 x ? y ? 8 化为 ? , ?? x ? y ? ?5

B. 3 枝康乃馨的价格高 D.不确定

? 2m ? n ? 2 令? , ?m ? n ? ?3 ?m ? 5 ∴? , ?n ? 8

∴ 2 x ? 3 y ? 5(2 x ? y) ? 8(? x ? y) ? 5 x8 ? 5 x8 ? 0 , ∴ 2x ? 3y , 故选: A .

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.不等式 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 的解集为__________. 【答案】见解析 【解析】解: x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,
( x ? 4)( x ? 1) ? 0 ,

∴ x ? 4 或 x ? ?1 ,
[ x | x ? 4 或 x ? ?1] .

10.在 △ ABC 中, ?A ? 【答案】见解析

2π b , a ? 3c , ? __________. 3 c

【解析】解:余弦定理:
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc
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1 b2 ? c2 ? 3c2 ∴? ? , 2 2bc

有 b2 ? 2c 2 ? bc ? 0 , ∵c ? 0,
?b? b ∴? ? ? ?2 ? 0, ?c? c
?b ?? b ? ? ? 2 ?? ? 1? ? 0 , ?c ?? c ?
2

又∵ ∴

b ?0, c

b ?1. c

11.若函数 y ? ax ? 2 在 [1,2] 上的函数值恒为正,则实数 a 的取值范围是__________. 【答案】见解析 【解析】解: a ? 0 , y ? ?2 ? 0 ,
a ? 0 时, a ? 2 ? 0 ? a ? 2 , a ? 0 时, 2a ? 2 ? 0 ? a ? 1 ,

综上: a ? 2 .

12.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时, n 等于 __________. 【答案】见解析 【解析】解: a1 ? ?11 ,设 an ? ?11 ? (n ? 1)d ,
a4 ? a6 ? ?6 , a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? ?6 ,

∴d ? 2, ∴ an ? ?11 ? 2n ? 2 ? 2n ? 13 , ∴ a6 ? ?1 , a7 ? 1 ? 0 , ∴ Sn 在 n ? 6 是取最小.

13.函数 y ?

x2 ? 7 x ? 10 ( x ? 0) 的最小值是__________. x

【答案】见解析

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【解析】解: y ?
? x?

x2 ? 7 x ? 10 x

10 10 ? 7≥ 7 ? 2? ?x x x

? 7 ? 2 10 .

当且仅当 x ? 10 时等号成立. ∴最小值为 7 ? 2 10 . 14. ?an ? 是等差数列, a2 ? 8 , S10 ? 185 ,从 ?an ? 中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项, 第 3 n 项, 按原来的顺序排成一个新数列 ?bn ? ,则 bn 等于__________. 【答案】见解析 【解析】解:设 an ? a1 ? (n ? 1)d ,



?a1 ? d ? 8 ? , ? 1 185 ? ?10 ? (a1 ? a1 ? 9d ) ? ? 2
得 d ? 3 , a1 ? 5 ,

b1 =a3 ? 5a ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 , b2 ? a9 ? 5 ? 8 ? 3 ? 2 ? 33 , b3 ? a7 ? 5 ? 26 ? 3 ? 2 ? 34
∴ bn ? 2 ? 3n?1 . ,

三、解答题(本题共 6 个小题,共 80 分) 15.已知 a1 , a2 ? (0,1) ,记 M ? a1a2 , N ? a1 ? a2 ? 1 ,试比较 M 与 N 的大小? 【答案】见解析 【解析】解: M ? N ? a1a2 ? (a1 ? a2 ? 1)
? (a1 ? 1)(a2 ? 1) ,

有∵ a1 , a2 ? (0,1) , ∴M ?N ?0, ∴M ? N .
b5 ? 32 . 16. 已知数列 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 2 ,a4 ? 8 , 数列 ?bn ? 是等比数列, 满足 b2 ? 4 ,

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式.
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(Ⅱ)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 【答案】见解析 【解析】解:设 an ? a1 ? (a ? 1)d , bn ? a1q n?1 ,
?a1 ? 2 , ? ?a4 ? a1 ? 3d ? 8
? ?b1q ? 4 , ? 4 ? ?b5q ? b1 ? 32

∴d ? 2, ∴ an ? 2n , bn ? 2n ∴ Sn ? 2 ? 4 ? 6 ?

? 2n ? 2 ? 22 ?

? 2n

1 2(1 ? 2n ) ? ? (2 ? 2n)n ? 2 1? 2
? n2 ? n ? 2n?1 ? 2 .

17.在 △ ABC 中, B 为锐角,且 2b sin A ? 3a . (Ⅰ)求角 B 的大小. (Ⅱ)若 b ? 3 , a ? c ? 6 ,求 △ ABC 面积. 【答案】见解析 【解析】解: 2b sin A ? 3a , 由正弦定理: 2sin B sin A ? 3sin A , ∴ sin B ? ∵0? B? ∴B?
3 , 2

π , 2

π . 3

( 2 )余弦定理:
cos B ? a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

1 a2 ? c2 ? 9 ? , 2 2ac
?9 ? a 2 ? c 2 ? ac , ? ?a ? c ? 6

∴a ?c ?3,

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1 ∴ S ? ac ? sin B 2
1 3 ? ? 3? 3? 2 2

?

9 3. 4

18.已知 △ ABC 的面积 S ? (Ⅰ)求 ? C 的大小.

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) . 12

(Ⅱ)若 c ? 1 ,求 3b ? a 的最大值. 【答案】见解析
1 【解析】解: S ? ab sin C , 2

cos C ?
而S ?
?

a 2 ? b2 ? c 2 , 2ab
3 2 1 (a ? b 2 ? c 2 ) ? ab sin C 4 2

3 ? 2ab cos C . 4

∴ tan C ? 3 , 又0?C ? π, ∴C ?
π , 3

cosC ?

1 a 2 ? b2 ? c 2 ? , 2 2ab

ab ? a 2 ? b2 ? 1 .

19.记关于 x 的不等式

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 | x ? 1|≤1 的解集为 Q . x ?1

(Ⅰ)若 a ? 3 ,求 P . (Ⅱ)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】解: (1 )
( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,

x ?1 ?0, x ?1

即: ?1 ? x ? 3 ,
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P ? ?x | ?1 ? x ? 3? .
( 2 ) Q ? ?x || x ? 1|≤1? ,

? ?x | 0 ≤ x ≤ 2? ,
由 a ? 0 得 P ? ?x | ?1 ? x ? a? , 又Q≤P , ∴a ? 2. 20.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a2 ? 14 成等差数列,数列 ?bn ? 满足:

a1b1 ? a2b2 ?

? anbn ? (n ? 1) ? 3n ? 1 , n ? N* .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式. (Ⅱ)若 man ≥ bn ? 8 恒成立,求实数 m 的最小值. 【答案】见解析 【解析】解: ( 1 )设 an ? qn?1 ,
2a3 ? a1 ? a2 ? 14 ,

2q2 ? 1 ? q ? 14 .
且q ?0, ∴q ?3, ∴ an ? 3n?1 , 又∵ a1b1 ?
anbn

? b1 ? 3b2 ?

? 3n?1bn

? (n ? 1) ? 3n ? 1 .
而 b1 ? 3b2 ?

? 3n?2 ? bn?1 ? (n ? 2) ? 3n?1 ? 1 , n ≥ 2 ,

∴有 3n?1bn ? (n ? 1) ? 3n ? (n ? 2) ? 3n?1 , ∴ bn ? 2n ? 1 , n ≥ 2 , 当 n ? 1 时, a1b1 ? 1 , b1 ? 1 , 故 bn ? 2n ? 1 . ( 2 )若 man ≥ bn ? 8 恒成立, 即: m ≥ 有 Cn ?
2n ? 9 最大值, 3n?2

2n ? 11 2n ? 9 n ≥ 2 时, Cn?1 ? n?2 , n?1 , 3 3

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Cn ? Cn?1 ?

24 ? 4n , 3n?2

当 n ? 2 , 3 ,L , 6 时, Cn ≥ Cn?1 , 即: n ? s 或 6 时, Cn 最大为
m≥
1 . 81

即:
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

1 1 81 ,可得 m 最小为 81 .

础 基 值 着 映 解 理 义 价 评 有 带 种 一 所 动 活 分 成 识 认 校 师 教 及 料 材 程 课 括 包 又 体 具 Spbg, 明 说 判 加 面 方 等 志 和 绪 情 、 况 意 注 待 生 从 以 可 常 通 它 。 状 备 准 应 反 部 内 向 倾 行 否 或 定 肯 的 久 持 为 较 对 者 指 是 度 态 习 e'ty.Iul学 Thiskndofcarm

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