高一数学必修1函数及其表示教案

方法一

函数定义域的求法

1. (2009 江西卷文)函数 y ? A. [?4, 1]

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 ( x B. [?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) ? (0, 1]
ln( x ?1) ? x 2 ? 3x ? 4



2. (2009 江西卷理)函数 y ? A. (?4, ? 1)

的定义域为

( D. (?1,1]

)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

3.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x B. f ( x) ?

1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) ? e x 答案
2

(

)

1 C. f ( x) ?| x | x lg( 4 ? x ) 4.(2007 年上海)函数 y ? 的定义域是 . x?3

5.求下列函数的定义域。①y= x ? 2 ?

?x ?1? .③y= x ? 2 .②y=
x ?x

x ?1 ? 1 ? x

6.已知函数 f(x)的定义域为 ?1,5? ,求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。 方法二 函数概念的考察
)A.y= 5

1. 下列各组函数中表示同一函数的是(

x

5

和y?
0

x

2

B.y=ln

e

x

和y?

e

ln x

C. y ?

?x ? 1??x ? 3? 和y ? ?x ? 3? ?x ? 1?

D. y ?

x 和y ?

1

x

0

2.函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 0 个或 1 个 D. 不能确定 3.已知函数 y=

x

2

? 2 定义域为 ?? 1,0.1,2? ,则其值域为

方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 2x+2 x ? ?? 1,0? 1 求函数 f(x)=

?
3

1 x 2

x ? ?0,2? x ? ?2,???
2

的定义域和值域

2(2010 天津文数)设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) , (A) ? ?

( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则 f ( x ) 的值域是

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法,属于难题。

1

2 2 2 ? ? ? x ? 2 ? ( x ? 4), x ? x ? 2 ? x ? 2, x ? ?1或x ? 2 依题意知 f ( x) ? 2 , f ( x) ? 2 2 ? ? ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2

ⅱ求分段函数函数值 3. (2010 湖北文数)3.已知函数 f ( x) ? ? A.4 B.

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

1 4

C.-4

D-

1 4

1 1 1 1 【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ? ?2 ,则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? ,所以 B 正确. 9 9 9 4

ⅲ解分段函数不等式 4.(2009 天津卷文)设函数 f ( x) ? ? A. (?3,1) ? (3,??) 答案 A 解析

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3)

B. (?3,1) ? (2,??)

由已知,函数先增后减再增当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3,

解得 x ? 1, x ? 3 。当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

? x 2 ? 4 x, 5. (2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
的取值范围是 A (??, ?1) ? (2, ??)

x?0 x?0

若 f (2 ? a 2 ) ? f (a), 则实数 a C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

B (?1, 2)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
2 解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

?1 , x?0 ? ?x 6.(2009 北京理)若函数 f ( x ) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

则不等式 | f ( x ) |?

1 的解集为____________. 3

解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 1 ? 1 ? ? x x (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 .(2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . ? ? 3 3 ? ? ? ? ??3? 3 ? ?x 3 ?? 3 ? 3 ?? ?
∴不等式 | f ( x ) |?

1 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1 ? ,∴应填 ??3,1? . 3

?log 2 x, x ? 0, ? 7。 (2010 天津理数)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2
(A) (-1,0)∪(0,1) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (C) (-1,0)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中等题。
2

由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。

?a ? 0 ?a ? 0 a?0 a<0 ? ? ? ? ? ? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) ? ? 1 或?1 2 1 1 2 ?a a? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?a
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于 0,同事要注意底 数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 ⅳ解分段函数方程

?3x , x ? 1, 8. (2009 北京文)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,
.w

.

解析 由?

5.u.c

本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x ? 1

?x ? 1 , 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log 2 ? 3 x ? x ? 2 ? x ? ? 2 3 ? 2 ? ?

方法四 求函数的解析式 1. 求下列函数的解析式 ① 已知 f ? x ?

? ?

1? ?? x?

x

3

?

1

x

3

, 求f ( x).

② 已知f ?

?2 ? ? 1? ? lg x,求f ( x). ?x ?

③ 已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x). ④ 已知 f(x)满足 2 f ?x ? ? f ? ? ? 3x. 求 f(x). 方法五 函数图像的考察 1. (2009 山东卷理)函数 y ?

?1? ? x?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

(

).

y 1 O 1 x 1

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A 解析 函数有意义,需使 e ? e
x ?x

B

C

? 0 ,其定义域为 ?x | x ? 0?,排除 C,D,又因为 y ?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x , x ?x e ?e e ?1 e ?1

所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比 较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
3

2.( 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的 速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是 A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 ( )

解析 由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大, 则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A. 3.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图象 大致为 ( )
O
y

P ( x, y )

Q( x, 0)

x

V (t )

V (t )

V (t )

V (t )

A

O

t

O

B

t

O

C

t O

D

t

解析 由图可知,当质点 P( x, y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先由正到 0、到负数,再到 0, 到正,故 A 错误;质点 P( x, y ) 在终点的速度是由大到小接近 0,故 D 错误;质点 P( x, y ) 在开始时沿直线运动, 故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常数,因此 C 是错误的,故选 B . 4(2010 山东理数)(11)函数 y=2x - x 的图像大致是
2

【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - x =

2

2

1 ? 4<0 ,故排除 D,所以选 A。 4

【命题意图】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。 5(2010 安徽文数)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是
2

4

【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ?

b ? 0 ,选项(D)符合 2a

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物 线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 6(2010 山东文数)函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是

答案:A 方法六 映射概念的考察 1. 设 f : x ? A. ?

x

2

是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B= ? 1,2? ,则 A∩B=( ) B. ? 1? C. ? 或 ?2? D. ? 或 ? 1?

2 集合 M= ?a, b, c?,N= ?? 1,0.1? 映射 f: M ? N 满足 f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射 f: M ? N 的个数是( ) A.4 B.5 C. 6 D. 7 个不同的映射。

3 集合 M= ?a, b, c?到集合 N= ?? 1,0.1? 一共有 方法七函数值域和最值的求法 1.利用二次函数在有限区间上的范围求值域 2.分离常数法 3.换元法 4.数形结合法 求函数 y=

求函数 y=

x

2

? 6 x ? 5 的值域

3x ? 1 的值域 x?2

求函数 y= x ? 4 1 ? x 的值域 求函数 y= x ? 1 ? x ? 4 的值域

5.判别式法

求函数 y=

2x ? x?2

2

x

2

? x ?1

的值域

5

方法八 函数奇偶性和周期性的考察 1.(2009 全国卷Ⅰ理)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) 答案 D 解析 ? f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数 )

? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,
?

) 及 点 (? 1, 0 对 ) 称 , 函 数 f ( x) 是 周 期 T ? 2 [1? (? 1) ? ] 的 4周 期 函 函 数 f ( x ) 关 于 点 (1, 0 ,

数.? f (? x ? 1 ? 4) ? ? f ( x ? 1 ? 4) , f (? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ? 3) 是奇函数。故选 D

2.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为 A.-1 B. 0 答案 C

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( )

C.1

D. 2

解析 由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

? f ( x) , 3. (2009 江西卷文) 已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数, 若对于 x ? 0 , 都有 f ( x ? 2) 且当 x ? [0, 2)
时, f ( x) ? log2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 ) A. ? 2 答案 C 解析 ( B. ? 1 ) C. 1 D. 2

2 f (?2008) ? f (2009) ? f (0) ? f (1) ? log1 2 ? log2 ? 1,故选 C.

方法九 函数奇偶性和对称性考察 1.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y ? log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案 A
6

2? x 的图像 2? x
(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称





解析 本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数, 图像关于原点对称,选 A。 2. (2010 重庆理数)(5) 函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称 解析: f (? x) ?

4x ? 1 的图象 2x

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) 2?x 2x

? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

方法十 函数奇偶性和单调性的考察 1.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) 答案 解析 D 因 为 f ( x) 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ), 所 以 f ( x ? 8) ? f ( x ), 所 以 函 数是 以 8 为 周 期的 周 期 函数 , 则 ).

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) , 又 因 为 f ( x) 在 R 上 是 奇 函 数 , f (80) ? f (0) ? 0
,

f (0) ? 0 , 得 ?得 f (x

f (?25) ? f (?1) ? ? f (1)

,





f( ? x 4 ? )

f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) , 又因为 f ( x) 在区间 [0,2]上是增函数 , 所以 f (1) ? f (0) ? 0 , 所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.
2.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c 答案 B (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b ( (D) c ? b ? a )

1 lge, 作商比较知 c>b,选 B。 2 1 3.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 3
解析 本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= ( (A) ( 答案 解析 ) D.[

1 2 , ) 3 3
A

B.[

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

1 2 , ) 2 3

由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)

∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3
7

4.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有 则 (A) f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) 答案 解析 A 由 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等价,于 ( )

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. x2 ? x1

B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 则 f ( x) 在 x2 ? x1

x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) 上单调递增, 又 f ( x) 是偶函数,故 f ( x) 在 x1 , x2 ? (0, ??]( x1 ? x2 ) 单调递减.且满足 n ? N * 时, f (?2) ? f (2) , 3>2 ? 1 ? 0 ,得
f (3) ? f (?2) ? f (1) ,故选 A.
5.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意 的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ,有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N 时,有
*

( B. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) D. f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

)

(A) f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) C. C. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) 答案 C

解析:x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x2 ? x1时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在( ??, 0]为增函数 f ( x)为偶函数 ? f ( x)在(0, ? ?]为减函数 而n+1>n>n-1>0,? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)
6.(2009 江苏卷)已知 a ? 为 解析 . 考查指数函数的单调性。

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小关系 2

a?

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2
3 5
2

5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 7. (2010 安徽文数) (7)设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

2 5

3

2 5

2

(A)a>c>b 7.A

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

8

x 【解析】 y ? x 5 在 x ? 0 时是增函数,所以 a ? c , y ? ( ) 在 x ? 0 时是减函数,所以 c ? b 。

2

2 5

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

方法十一抽象函数的解法
1. ( 2009 四 川 卷 理 ) 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 f ( f ( )) 的值是 xf ( x? 1) ? (1? x ) f (x ,则 ) 2 1 A.0 B. 2

( C.1

) D.

5 2

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。 (同文 12) 答案 A 解析 令 x ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 f (0) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x?1 f ( x ) ,所以 x

由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ?

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? 2 f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2
2.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. 答案 -8

解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以, 由 f ( x) 为奇函数,所 以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期 的周期函数 , 又因为 f ( x) 在区间 [0,2] 上是增函数 , 所以 f ( x) 在区间 [-2,0] 上也是增函数 . 如图所示 , 那么方程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 不 妨 设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 由 对 称 性 知

x1 ? x2 ? ?12 x3 ? x4 ? 4 所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?12 ? 4 ? ?8
y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

9

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 方法十二 对数函数的考察 3(2010 全国卷 1 文数)(7)已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 (A) (1, ??) (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)

C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视 a 的

1 ? 2 ,从而错选 D,这也是命题者的用苦良心之处. a 1 1 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? ,所以 a+b= a ? a a
取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= a ? 又 0<a<b, 所以 0<a<1<b ,令 f (a ) ? a ?

1 2 由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ? (0,1) 上为减函数,所以 a

f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).

?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? 【解析 2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得: ?1 ? b ,利用线性规划得: ?1 ? y ,化为求 z ? x ? y 的取值范围 ? ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?
问题, z ? x ? y ? y ? ? x ? z , y ?

1 1 ? y? ? ? 2 ? ?1 ? 过点 ?1,1? 时 z 最小为 2,∴(C) (2, ??) x x

4(2010 全国卷 1 理数) (10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

方法十三函数创新题的解法
1.(2009 浙江理)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x ) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是
A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则

(

)

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 答案 C
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解 析

对 于 ?? ( x2 ? x1 ? )

f(? x) 2

? f( ? 1 x ) ?

2

, 1 即 有 ?? ? (x x)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? , 令 x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 有 ?? ? k ? ? , 不妨设 f ( x) ? M?1 ,g ( x) ? M? 2 , 即有 ??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2 , ?k, x2 ? x1
因此有 ??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 ,因此有 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .

2.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。据此可推测,对任意的非零 2a

实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 ( A. ?1, 2? 答案 解析 D 本题用特例法解决简洁快速,对方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? P ? 0 中 m, n, p 分别赋值求出 f ( x ) 代入 B ?1, 4? ) C ?1,2,3,4? D ?1,4,16,64?

f ( x ) ? 0 求出检验即得.

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