深圳市福田中学2005年高三数学一次月考

深圳市福田中学 2005 年高三数学月考 数学试卷(2005.8.28)
注意: ①在密封线内写清班级、学号、姓名等各项内容; ②请把选择题、填空题的答案写在第 3 页的相应位置;考试结束时,只交第 3 至第 6 页. 第Ⅰ卷 一.选择题(本大题共有 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分) 1? i ? 1、 ( ) 1? i (A)i (B)2i (C)-i (D)-2i 2.下列函数中导数为 y? ? 4x 3 ? 7 的是 ( (A)y = 12x2 (B)y = x4-7x+6 ) (D)y = x4 -7 ( )

(C)y = 4x3-7x

3、 “函数 y=f(x)在 x0 处有定义”是“函数 y=f(x)在 x0 有极限”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分又不必要条件

4、与直线 4x-y+3=0 平行的抛物线 y=2x2 的切线方程是( ) (A)4x-y+1=0 (B)4x-y-1=0 (C)4x-y-2=0 (D)4x-y+2=0
x?3 ? x2 ? 9 1 (A) ? (B)0 6

5、 lim

x ??3

(

) (C)
1 6

(D)

1 3

6、设等比数列 {an } 为 1,2,4,8,……,其前 n 项和为 S n ,则 lim (A).0 (B).
1 2

an 的值为( n ?? S n



(C).1

(D).2 )

7、已知: f ' ( x0 ) ? 1,则: lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) =( ?x

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C)-2

(D)2 ( )

8、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若点 M 是棱 BC 上的中点,则 D1B 与 AM 所成角的余弦值是 (A).
15 15

(B).

15 5

(C).

3 6

(D).

3 3

f ( x) =2,则 f(1)等于 x ?1 x ? 1 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 10、f’(x)是 f(x)的导函数,f’(x)的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是(

9、设函数 f(x)在 x=1 处连续,且 lim

) ( ( (C)

A B

) ) (D)

第Ⅱ卷 二.填空题(共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、已知函数 y=f(x)具有下列性质: f ? x ? 在点 x ? 1 处 极限存在但 f ? x ? 在点 x ? 1 处不连续。 试画出 y=f(x)的一种可能的图象: 12、函数 f(x)= (sin 3x) 2 的导数为: .

13、等差数列 {an } 的首项为 9,公差为-2,若数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn,则 lim

Sn ? n?? n 2

.

14、设平面内有n条直线(n≥2) ,其中任意两条直线都相交且交点不同;若用 f (n) 表示这n条直线把平 面分成的区域个数,则:f(2)= 当n>4时,f(n)= . ,f(3)= ,f(4)= ;

深圳市福田中学 2005 年高三数学月考数学试卷(2005.8.28)
一、选择题 题号 1 答案 二、填空题 11、 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12、 13、 14、 , ,

三.解答题(本大题共 80 分) 15、(本小题满分 12 分) 求函数 f ( x) ? x2 ( x ? 3) 的极值.

16、 (本小题满分 12 分) 2x 求函数 y ? 的单调区间. 1? x2

? x2 ? 1 (x ? 0) ? 2 1 ? x ? 1 ? ? 17、 (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ? a (x ? 0) ? b (x ? 0) ? x ( 1 ? x ? 1) ? ?
(1)如果 f(x)在 x=0 处极限存在,求实数 a、b 的值; (2)如果 f(x)在 x=0 处连续,求实数 a、b 的值。

18、 (本小题满分 14 分) 用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻 转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

19、 (本小题共 14 分) 如图,已知函数 f ( x) ? x 2 ,点 A(1,0) ,B(1,1) ,O 为坐标原点,称曲线 f ( x) ? x 2 与 x 轴及直线 x=1 所围成的图形为曲边三角形 OAB。将区间[0,1]分成 n 等分,设 xi ?
i (i ? 1,2 ? , n ? 1) ,分别以 f ( xi ) 为高, n

1 为底得到 n-1 个小矩形,记这 n-1 个小矩形的面积之和为 S n ,则 S n 为曲边三角形 OAB 面积 S 的一个近 n

似值,定义 S ? lim S n .
n??

(Ⅰ)用数学归纳法证明

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6

(Ⅱ)求出用 n 表示的 S n 的解析式,并求出曲边三角形 OAB 面积 S 的值。

20、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在(1,2 ] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (1)求 f ( x) 、 g ( x) 的表达式;

(2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; 1 (3)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ? 2 在 x ∈(0,1 ] 内恒成立,求 b 的取值范围. x

深圳市福田中学 2005 年高三数学月考 数学试卷答案(2005.8.28)
三、选择题 题号 1 答案 C 四、填空题 11、 2 B 3 D 4 C 5 A 12、 13、 14、 4 6 B 3sin6x -1 , ; 7 , 11 , 7 C 8 A ; 9 B 10 D

n2 ? n ? 2 2

三.解答题 15、解:∵ f ?( x ) =3x2-6x=3x(x-2). 令 f ?( x ) =0,解得 x1=0,x2=2, 当 x 变化时, f ?( x ) 、f(x)的变化情况如下表: …2 分 …4 分

x
f ?( x )

(-∞,0) +

0 0 极大值 0

(0,2) -

2 0 极小值-4

(2,+∞) + …10 分

f(x)

∴ 当 x=0 时,f(x)有极大值,且 f(x)极大值=0,

当 x=2 时, f(x)有极小值,且 f(x)极小值=-4. 16、解: f ' ( x) ?

…12 分

2(1 ? x 2 ) ? 2 x ? 2 x 2(1 ? x)(1 ? x) ………………………………4 分 ? (1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) 2
解 f ' ( x) <0 得 x<-1 或 x>1;………………………8 分

解 f ' ( x) >0 得 -1<x<1;

所以:y=f(x)的单调增区间为:(-1,1);单调减区间为:(-∞,-1)、(1,+∞)…12 分 b ( 1 ? x ? 1) 17、解: (1) lim f(x)= lim ? ? x ?0 x ?0 x = lim ?
x ?0

b( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1) x ( 1 ? x ? 1)

? lim ?
x ?0

b 1? x ?1

?

b ;……………(3 分) 2

x ?0

lim f(x)= lim ( ? ?
x ?0

x2 1? x2 ?1

( ? 1)= lim ?
x ?0

x 2 ( 1 ? x 2 ? 1) ( 1 ? x 2 )=1; ? 1 )= lim ? 2 x ?0 x
……………………(6 分)

∵f(x)在 x=0 处极限存在,∴ lim f(x)= lim f(x)=f(x)=1, ? ?
x ?0 x ?0

即 b=2,a∈R………………………………………………………………(10 分) (2)∵f(x)在 x=0 处连续,∴ lim f(x)=f(0).
x?0

由(1)知, lim f(x)=1,又 f(0)=a,∴a=1;
x?0

∴a=1,b=2…………(14 分)

18、解:设容器的高为 x,容器的体积为 V,………………………………1 分 则 V=(90-2x) (48-2x)x,(0<V<24)………………………………………5 分 3 2 =4x -276x +4320x ∵V′=12 x2-552x+4320……………………………………………………8 分 由 V′=12 x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 ∵x<10 时,V′>0, 10<x<36 时,V′<0, x>36 时,V′>0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960 又 V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………12 分 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960………………………………………14 分 19、

解: (Ⅰ) (1)当 n=1 时,左边=12 =1,右边=

1? 2 ? 3 ? 1 ,等式成立(1 分) 6

(2)假设 n=k 时,等式成立, k (k ? 1)( 2k ? 1) 就是 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? k 2 ? ……………………………(2 分) 6 k (k ? 1)( 2k ? 1) ? (k ? 1) 2 那么 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? k 2 ? (k ? 1) 2 ? 6 = =
k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1) 2 (k ? 1)(2k 2 ? 7k ? 6) ? 6 6

(k ? 1)( k ? 2)( 2k ? 3) (k ? 1)[( k ? 1) ? 1][ 2(k ? 1) ? 1] ? 6 6 这就是说,n=k+1 时,等式也成立。根据(1)和(2) ,

可知等式对任何 n ? N * 都成立………………………………………………..(7 分)
1 1 2 2 32 (n ? 1) 2 ] (Ⅱ) S n ? [ 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n n n n n2



(n ? 1)n(2n ? 1) (n ? 1)( 2n ? 1) ? 6n 3 6n 2

…………………………..(10 分)

S= lim

(n ? 1)(2n ? 1) 2n 2 ? 3n ? 1 1 ? lim ? 。……………………...(14 分) n ?? n ?? 3 6n 2 6n 2

a 20、解(1)? f ?( x) ? 2 x ? , 依题意 f ?( x) ? 0( x ? (1,2],? a ? 2x 2 ,? a ? 2. (1 分) x

又∵ g ?( x) ? 1 ?

a 2 x

,依题意 g ?( x) ? 0( x ? (0,1),? a ? 2 x ,? a ? 2. (2 分)

? a ? 2, (3分)

? f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, g ( x) ? x ? 2 x. (4 分)

(2)由(1)可知,原方程为 x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2,即x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0. 设 h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2,由h?( x) ? 2 x ?
2 1 ?1? , x x

令 h?( x) ? 0,? x ? 0,?( x ? 1)(2x x ? 2x ? x ? 2) ? 0,? x ? 1.

令 h?( x) ? 0,? x ? 0, 解得0 ? x ? 1. 由

x
h ?( x) h( x )

(0,1) - 递减

1 0 0

(1,+∞) + 递增

即 h( x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0,即当 x ? 0且x ? 1时, h( x) >0,? h( x) ? 0 只有一个解. 即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解.(8 分) (3)? f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1)( x ? 1) ,?当 x ? (0,1] 时 f ( x) 为减函数,其最小值为 1.
x x

令 y ? 2bx ?

1 2 , 则y ? ? 2b ? 3 ,? b ? ?1, x ? (0,1] ? y ? ? 0在(0,1] 恒成立. 2 x x 1 ∴函数 y ? 2bx ? 2 在 x ? (0,1] 为增函数,其最大值为 2b-1, x

?b ? ?1 依题意 ? ,解得 ? 1 ? b ? 1. 为所求范围.(14 分) 2 b ? 1 ? 1 ?


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