2015届高考数学大一轮复习 基本不等式精品试题 文(含2014模拟试题)

精品题库试题
文数

1.(安徽省合肥市 2014 届高三第二次教学质量检测) 已知圆 与圆 相外切,则 的最大值为( )

A. [解析] 1.由题意圆

B. 的圆心为

C. ,半径为 ,圆

D.

的圆心为

,半径为

,由两圆外切知

,即

,所以



.

2.(江西省重点中学协作体 2014 届高三第一次联考)“ 的 ( ) B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

” 是“



A.充分但不必要条件 C.充要条件

[解析] 2.若

,则

,反之,若

,则

,得

,所以是充要条件.

3.(天津市蓟县第二中学 2014 届高三第一次模拟考试)若直线

平分圆

, 则

的最小值是 (

)

A.1

B.5

C.

D.

1

[解析] 3.由题意知圆心

在直线上,所以

,即



当且仅当

取得等号.

4.(天津市蓟县邦均中学 2014 届高三第一次模拟考试) 下列四个命题中,真命题的序号有 (写出所有真命题的序号)

①若

则“

” 是“a> b” 成立的充分不必要条件;

②当

时,函数

的最小值为 2;

③命题“若

,则

” 的否命题是“若

” ;

④函数

在区间(1,2)上有且仅有一个零点

[解析] 4. ①中由“

可得

,反之 可能为 0,不成立,所以是充分不必要

条件,②中基本不等式的等号取不到,故②错误,否命题是将条件和揭露同时否定,



的否定为

,故③正确,因为

为增函数,且



,所以

在区间

上有且仅有一个零点.

5. (河北衡水中学 2014 届高三上学期第五次调研) 在 则 的面积 的最大值为 .

中, 已知内角

, 边



[解析] 5.

,由余弦定理得

,即



6.(吉林市普通高中 2013—2014 学年度高中毕业班上学期期末复习检测)已知正数 ,使得 取最小值的实数对 是

满足

2

A.(5,10)

B.(6,6)

C.(10,5)

D.(7,2)

[解析] 6.因为 等号,代入

,所以 中得

,当且仅当

时取得

7.(江西省七校 2014 届高三上学期第一次联考) 下列说法:

①命题“存在

” 的否定是“对任意的

” ;

②关于 的不等式

恒成立,则 的取值范围是



③函数 其中正确的个数是( A.3

为奇函数的充要条件是 ) C.1 D.0



B.2

[解析] 7.①正确,量词和结论同时否定;②错误,因为 ;

,所以 a 的范围为

③中 正确

为偶函数,要使

为奇函数,则



为奇函数等价于

,所以③

8.(2014 年兰州市高三第一次诊断考试) 设 的最大值为( A.1 ) B.2

,

,若



,则

C.3

D.4

[解析] 8.因为 ,

,所以

,因为

,所以

9.(成都市 2014 届高中毕业班第一次诊断性检测)某种特色水果每年的上市时间从 4 月 1 号开始仅能持续 5 个月的时间.上市初期价格呈现上涨态势,中期价格开始下跌,后期价格 在原有价格基础之上继续下跌.若用函数

f(x)=-x +4x+7

2

进行价格模拟(注 x=0 表示 4 月 1 号,x=1 表示 5

3

月 1 号,?,以此类推,通过多年的统计发现,当函数 时,拓展外销市场的效果最为明显,则可以预测明年拓展外销市场的时间为 (A)5 月 1 日 (B)6 月 1 日 (C)7 月 1 日 (D)8 月 1 日

,取得最大值

[解析] 9.依题意

,设



,当且仅当

,即

时取得最大值

10.(广东省汕头市 2014 届高三三月高考模拟)若 值等于

(其中

), 则

的最小

[解析] 10. 因为

,则

,当

且仅当

,即

时取等号,此时



.

11.(吉林省实验中学 2014 届高三年级第一次模拟考试) 若直线

被圆 的最小值是 .

截得的弦长为 4, 则

[解析] 11.由题意知圆的方程为 所以直线经过圆心,即 ,

,又因为直线被圆截得的弦长为 4, ,所以

,当且仅当

时取得等号.

12.(山东省青岛市 2014 届高三第一次模拟考试) 已知 _________;

,则

的最小值

[解析] 12.因为

,所以

,当且仅当

4

时取等号.

13.(江苏省苏、 锡、 常、 镇四市 2014 届高三数学教学情况调查) 已知正数

满足





的最小值为





[解析] 13 .因为

,而

,所以

当且仅当

时取得等号.

14.(山东省潍坊市 2014 届高三 3 月模拟考试) 已知 a> b> 0, ab=1,则 为 .

的最小值

[解析] 14.因为 值为 ,当且仅当 时取得等号.

,所以

,最小

15. (上海市嘉定区 2013-2014 学年高三年级第一次质量检测) 在平面直角坐标系中, 动点 到两条直线 与 的距离之积等于 ,则 到原点距离的最小值为_________.

[解析] 15.两条直线 离为 ,则



垂直,设 到 ,所以

的距离为 ,到

的距

, 到原点的距离为

16.(天津七校联考高三数学(文)学科试卷)函数 , 且点 在直线 上,其中 ,则

的图象恒过定点 的最小值为______________

[解析] 16.由题意知点 M 的坐标为

,所以



5

17.(重庆南开中学高 2014 级高三 1 月月考)实数 大值是 。

满足

,则

的最

[解析] 17.由题意 ,则 ,解得 , , 所以

,设 ,即

18.(安徽省合肥市 2014 届高三第二次教学质量检测) 已知椭圆 C: 的右焦点为 F (1,0) ,设左顶点为 A,上顶点为 B,且 ,如图所示.

(I)求椭圆 C 的方程; (II)已知 M,N 为椭圆 C 上两动点,且 MN 的中点 H 在圆 x +y =1 上,求原点 O 到直线 MN 距离的最小值
2 2

[解析] 18.(1)由已知 因为 ,所以 ,得

,由 ,所以

,得 ,所以椭圆



6

(2)设

,则





作差得







时,

,所以

,因为

在圆

上,

所以

,则原点

到直线

的距离为 ;



时,有

,设直线

的斜率为 ,



,即

,且



所以





又直线

的方程为

,即



设原点

到直线

的距离为

,则

,当

时,





时,

, 因为

, 所以

的最小值为





的最小值为

,此时

,由

可知,原点

到直线

距离的最小值为

7

.

19.(江西省红色六校 2014 届高三第二次联考) 已知两点 为焦点的椭圆 上,且 、 、 构成等差数列.



, 点

在以



(Ⅰ) 求椭圆

的方程;

(Ⅱ) 如图,动直线 点,且 ,

与椭圆 . 求四边形

有且仅有一个公共点,点 面积 的最大值.

是直线 上的两

[解析] 19.(1)依题意,设椭圆

的方程为



构成等差数列,











椭圆

的方程为



8

(2) 将直线 的方程

代入椭圆

的方程

中,得 仅有一个公共点知, .

由直线 与椭圆 ,化简得:







(法一)当

时,设直线 的倾斜角为 ,则











时,









时 ,四边形

是矩形,



所以四边形

面积

的最大值为



9

(法二)







四边形

的面积





当且仅当

时,

,故



所以四边形

的面积

的最大值为



20.(福建省政和一中、周宁一中 2014 届高三第四次联考)某产品原来的成本为 100 0 元/ 件,售价为 1200 元/件,年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾客要求提高,公司计划投入资 金进行产品升级。据市场调查,若投入 万元,每件产品的成本将降低 元,在售价不变的

情况下,年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的 纯利润记为 ⑴求 ⑵求 (单位:万元).(纯利润=每件的利润×年销售量-投入的成本)

的函数解析式; 的最大值,以及 取得最大值时 的值.

[解析] 20.⑴依题意,产品升级后,每件的成本为 量为 万件,[来网]纯利润为 ,

元,利润为

元 (万元)

年销售

10





,等号当 且仅当

,即

(万元)

21.(南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试) (选做题)(在 A、B、C、D 四小题中只 能选做 2 题)

A.如图, 求 的长.



是半径为 的圆 的两条弦,它们相交于

的中点 ,若





B.已知曲线 : 方程.

,若矩阵

对应的变换将曲线 变为曲线 ,求曲线 的

C.在极坐标系中,圆 的方程为 面直角坐标系,直线 的参数方程为 值.

,以极点为坐标原点,极轴为 轴的正半轴建立平 ( 为参数),若直线 与圆 相切,求实数 的

D.已知 , , 为正实数,若

,求证:

.

[解析] 21.A. 由 ,得

为 .

中点,



,又



B. 设曲线 一点 ,

对应于曲线 ,

上一点 ,

, , 曲线

, 的方程为 .



11

C.易求直线 : .

,圆 :



依题意,有

,解得

D.



.

22.(江西省七校 2014 届高三上学期第一次联考) 已知 =(cosα ,sinα ), sinβ ), 与 之间有关系|k + |= | -k |,其中 k> 0,

=(cos β ,

(1)用 k 表示 · ;

(2)求 · 的最小值,并求此时 · 的夹角的大小。 [解析] 22.(1)已知|ka+b|= |a-kb|,两边平方,得|ka+b| =( |a-kb|) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, k a +b +2ka·b=3(a +k b -2ka·b) ∴8k·a·b=(3-k ) a +(3k -1) b a·b = ∵a=(cosα ,sinα ), b=(cosβ , sinβ ) ,
2 2,

∴a =1, b =1, ∴a·b =

2

2

=

(2)∵k +1≥2k,即

2

≥ = ∴a·b 的最小值为 ,又∵a·b =| a|·|b |·cos ,

|a|=|b|=1∴ =1×1×cos 。∴ =60°, 此时 a 与 b 的夹角为 60°。 23.(江西省七校 2014 届高三上学期第一次联考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别 为 , , , .

(1)求

的最大值及 的取值范围;

(2)求函数 [解析] 23. (Ⅰ) 即 的最大值为 16 ,即

的最大值和最小值. 即 所以 又 所以 0< 所以 ,

, 又 0< <

12

(Ⅱ) , 当 即

,因 0< 时,

,所以 < , 当

, 即 时,

24.(山东省济宁市 2014 届高三上学期期末考试)如图,两个工厂 A, B(视为两个点)相 距 2km,现要在以 A, B 为焦点,长轴长为 4km 的椭圆上某一点 P 处建一幢办公楼据测算此 办公楼受工厂 A 的“噪音影响度” 与距离 AP 成反比, 办公楼受工厂 B 的“噪音影响度” 与 距离 BP 也成反比,且比例系数都为 1. 办公楼受 A,B 两厂的“总噪音影响度” y 是受 A, B 两厂“噪音影响度” 的和,设 AP=

(I)求“总噪音影响度” y 关于 x 的函数关系式; (II)当 AP 为多少时,“总噪音影响度” 最小?

[解析] 24.(1)由题意可知,,所以,,

(2)解法一:,当且仅当,即时取等号, 当为时,“总噪音影响度” 最小.

答:

解法二:由(1)得, 噪音影响度” 最小.

答:当为时,“总

25.(2014 年兰州市高三第一次诊断考试) 设椭圆 ,直线 : 交 轴于点 ,且

的焦点分别为



13

(1)试求椭圆的方程;

(2) 过 、 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 、 四点 (如图所示) 试 求四 边形 面积的最大值和最小值.

[解析] 25.(1)由题意, 即:椭圆方程为



的中点

(2)当直线

与 轴垂直时, . 同理当

,此时

,四边形 的面积

的面积 .当

与 轴垂直时, 也有四边形 :

直线



均与 轴不垂直时,设

,代入消去 得:



所以,

,所以,



同理

所以四边形的面积

14



因为





且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以



综上可知,

. 故四边形

面积的最大值为 4,最小值为



26.(2014 年兰州市高三第一次诊断考试) 已知 , ,向量

的三内角 、 、 所对的边分别是 ,

=(cosB,cosC) , =(2a+c,b) ,且 ⊥ .

(1)求角 的大小;

(2)若

,求

的范围

[解析] 26.(1)∵ m=(cosB,cosC) ,n=(2a+c,b) ,且 m⊥n. ∴cosB(2a+c) + b cosC=0 ∴cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即 2cosBsinA=-sin(B+C)=-sinA ∴cosB=-1/2 ∵0≤B≤180 ∴B=120.

(2)由余弦定理,得 当且仅当 时,取等号



15

答案和解析 文数 [答案] 1.C

[解析] 1.由题意圆

的圆心为

,半径为

,圆

的圆心为

,半径为

,由两圆外切知 [答案] 2.1

,即

,所以



.

[解析] 2.若

,则

,反之,若

,则 [答案] 3.D

,得

,所以是充要条件.

[解析] 3.由题意知圆心

在 直线上,所以

,即



当且仅当 [答案] 4. ①③④

取得等号.

[解析] 4. ①中由“

可得

,反之 可能为 0,不成立,所以是充分不必要

条件,②中基本不等式的等号取不到,故②错误,否命题是将条件和揭露同时否定,



的否定为

,故③正确,因为

为增函数,且



,所以

在区间

上有且仅有一个零点.

[答案] 5.

16

[解析] 5.

,由余弦定理得

,即



[答案] 6.A

[解析] 6.因为 等号,代入 [答案] 7.B

,所以 中得

,当且仅当

时取得

[解析] 7.①正确,量词和结论同时否定;②错误,因为 ;

,所以 a 的范围为

③中 正确

为偶函数,要使

为奇函数,则



为奇函数等价于

,所以③

[答案] 8.B

[解析] 8.因为 , [答案] 9.B

,所以

,因为

,所以

[解析] 9.依题意

,设



,当且仅当

,即

时取得最大值

[答案] 10.

[解析] 10. 因为

,则

,当

且仅当 [答案] 11.4

,即

时取等号,此时



.

17

[解析] 11.由题意知圆的方程为 所以直线经过圆心,即 ,

,又因为直线被圆截得的弦长为 4, ,所以

,当且仅当 [答案] 12.6

时取得等号.

[解析] 12.因为

,所以

,当且仅当

时取等号. [答案] 13.9

[解析] 13.因为

,而

,所以

当且仅当

时取得等号.

[答案] 14.

[解析] 14.因为 值为 ,当且仅当 时取得等号.

,所以

,最小

[答案] 15.

[解析] 15.两条直线 离为 ,则



垂直,设 到 ,所以

的距离为 ,到

的距

, 到原点的距离为

[答案] 16.

18

[解析] 16.由题意知点 M 的坐标为

,所以



[答案] 17.2

[解析] 17.由题意 ,则 ,解得 [答案] 18.(答案详见解析) , , 所以

,设 ,即

[解析] 18.(1)由已知 因为 ,所以 ,得

,由 ,所以

,得 ,所以椭圆



(2)设

,则





作差得







时,

,所以

,因为

在圆

上,

所以

,则原点

到直线

的距离为 ;



时,有

,设直线

的斜率为 ,



,即

,且



19

所以





又直线

的方程为

,即



设原点

到直线

的距离为

,则

,当

时,





时,

, 因为

, 所以

的最小值为





的最小值为

,此时

,由

可知,原点

到直线

距离的最小值为

. [答案] 19.(答案详见解析)

[解析] 19.(1)依题意,设椭圆

的方程为



构成等差数列,











椭圆

的方程为



20

(2 ) 将直线 的方程

代入椭圆

的方程

中,得 仅有一个公共点知, .

由直线 与椭圆 ,化简得:







(法 一)当

时,设直线 的倾斜角为 ,则











时,









时 ,四边形

是矩形,



所以四边形

面积

的最大值为



21

(法二)







四边形

的面积





当且仅当

时,

,故



所以四边形

的面积

的最大值为



[答案] 20.详见解析

[解析] 20.⑴依题意,产品升级后,每件的成本为 量为 万件,[来网]纯利润为 ,

元,利润为

元 (万元)

年销售

⑵ [答案] 21.详见解析



,等号当 且仅当

,即

(万元)

[解析] 21.A. 由 ,得

为 .

中点,



,又



22

B. 设曲线 一点 ,

对应于曲线 ,

上一点 ,

, , 曲线

, 的方程为 .



C.易求直线 : .

,圆 :



依题意,有

,解得

D. [答案] 22.详见解析



.

[解析] 22.(1)已知|ka+b|= |a-kb|,两边平方,得|ka+b| =( |a-kb|) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, k a +b +2ka·b=3(a +k b -2ka·b) ∴8k·a·b=(3-k ) a +(3k -1) b a·b = ∵a=(cosα ,sinα ), b=(cosβ , sinβ ) ,

2

2,

∴a =1, b =1, ∴a·b =

2

2

=

(2)∵k +1≥2k,即

2

≥ = ∴a·b 的最小值为 ,又∵a·b =| a|·|b |·cos ,

|a|=|b|=1∴ =1×1×cos 。∴ =60°, 此时 a 与 b 的夹角为 60°。 [答案] 23.详见解析 [解析] 23. (Ⅰ) 即 的最大值为 16 ,即 所以 即 又 所以 0< 所以 ,

, 又 0< <

(Ⅱ) , 当 即

,因 0< 时,

,所以 < , 当

, 即 时,

[答案] 24.详见解析

23

[解析] 24.(1)由题意可知,,所以,,

(2)解法一:,当且仅当,即时取等号, 当为时,“总噪音影响度” 最小.

答:

解法二:由(1)得, 噪音影响度” 最小. [答案] 25.详见解析

答:当为时,“总

[解析] 25.(1)由题意, 即:椭圆方程为



的中点

(2)当直线

与 轴垂直时, . 同理当

,此时

,四边形 的面积

的面积 .当

与 轴垂直时, 也有四边形 :

直线



均与 轴不垂直时,设

,代入消去 得:



所以,

,所以,



同理

所以四边形的面积



24

因为





且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以



综上可知,

.故四边形

面积的最大值为 4,最小值为



[答案] 26.详见解析 [ 解析] 26.(1)∵ m=(cosB,cosC) ,n=(2a+c,b) ,且 m⊥n. ∴cosB(2a+c) + b cosC=0 ∴cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即 2cosBsinA=-sin(B+C)=-sinA ∴cosB=-1/2 ∵0≤B≤180 ∴B=120.

(2)由余弦定理,得 当且仅当 时,取等号



25


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