高三1模数学试题(理科)

高三第一次模考数学(理科)试题
一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分) 1.集合 A ? ??1,0,1,3? ,集合 B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0, x ? N ,全集
U ? x x ? 1 ? 4, x ? Z ,则 A ? CU B ?

?

?

?

?

A. ?3?

B. ??1,3?

C. ??1,0,3?

D. ??1,1,3?

2.某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为 A.
16? 3 40? 3

B.

20? 3

C.

D. 5?

3.下列命题中正确的个数是 ①命题“任意 x ? (0, ??), 2x ? 1”的否定是“任意 x ? (0, ??), 2x ? 1 ; ②命题“若 cos x ? cos y ,则 x ? y ”的逆否命题是真命题: ③若命题 p 为真,命题 ? q 为真,则命题 p 且 q 为真. ④命题”若 x ? 3 ,则 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否命题是“若 x ? 3 ,则
x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” ;

A. 0 个 C. 2 个

B. 1 个 D. 3 个

4.如图,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时, x3 ? A.7 C.10 B.8 D.11
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5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生 的体重情况,将所得的数据整理后,画出了 频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到 右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 1 小组的频数为 6,则报考飞行员的学生人数是 A.36 B.40 C.48 D.50

6.若复数 z 满足 (3 ? 4i) ? z ? 4 ? 3i , z 为 z 的共轭复数,则 z 的虚部为 A. ?

4 5

B.

4 5

4 C. ? i 5

4 D. i 5

7.给出命题:若 a, b 是正常数,且 a ? b , x, y ? (0, ??) ,则
a 2 b 2 (a ? b) 2 ? ? (当且仅当 a ? b 时等号成立).根据上面命题,可 x y x? y x y

以得到函数 f ( x) ? ? 值分别为 A. 11 ? 6 2 ,

1 2 9 ( x ? (0, ) ) 的最小值及取最小值时的 x 2 x 1 ? 2x

2 13

B. 11 ? 6 2 ,
1 5

1 5

C. 25 ,

2 13

D. 25 ,

8.设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,前 n 项和为 Sn ,则 ?Sn ? 是递减数列 的充要条件是 A. d ? 0且a1 ? 0 C. d ? 0且a2 ? 0 B. d ? 0且a1 ? 0 D. d ? 0且a2 ? 0

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9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英 语、理综 4 科的专题讲座,每科一节课,每节课至少有一科,且 数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有 A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.6 种

10.如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒 一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为
1 e 2 C. 2 e

A.

2 e 1 D. 2 e

B.

?1, x为有理数, 11.函数 f ( x) ? ? ,下列结论不正确 的是 ... ??, x为无理数.
A.此函数为偶函数 C. 此函数既有最大值也有最小值 B.此函数是周期函数 D. 方程 f ? f ( x)? ? 1的解为 x ? 1

x3 1 2 12.已知函数 f ( x) ? ? ax ? 2bx ? c 的两个极值点分别为 x1 , x2 . 3 2

若 x1 ?(?2,1), x2 ?(1,2) ,则 2a ? b 的取值范围是 A. ? -7,3? B. ? -5, 2? C. ? 2, +? ? D. ? -?, 3?

二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分) 13.设曲线 y ?
x ?1 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 在点 (3, x ?1

则 a ? _______. 14.设 ? 是第二象限角, P?x,4? 为其终边上的一点,且 cos ? ? 则 tan 2? ? ___________.
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x , 5

15.若直线 y ? kx ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 2my? 4 ? 0 恒有公共点,则 m 的 取值范围是_______. 16.已知向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 1 ,且对一切实数 x , a ? xb ? a ? b 恒成立,则 a 与 b 的夹角大小为___________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边的长 分别为 a, b, c .设向量 m ? (a ? c, a ? b) , n ? (a ? b, c) ,且 m / / n . (1)求 B ; (2)若 a ? 1, b ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是公差大于零的等差数列, 数列 ?bn ? 为等比数列,且 a1 ? 1, b1 ? 2, b2 ? a2 ? 1, a3 ? b3 ? 13 . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列 ?cn ? 前 n 项和 Sn .

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,
PA ? 面ABCD , AD // BC , ?BAD ? 90? ,
AC ? BD, BC ? 1, AD ? PA ? 2 ,
E , F 分别为 PB, AD 的中点.
E A F D P

(1)证明: AC ? EF ; (2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值.B
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C

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20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ln a , a 为常数. (1)若函数 f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,证明:
x1 的值随 a 的值增大而增大. x2

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,
1 离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 8 3 y 的焦点. 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 x ? 2 与椭圆交于 P, Q 两点,
A, B 是椭圆上位于直线 x ? 2 两恻的动点.

①若直线 AB 的斜率为

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

②当动点 A, B 满足 ?APQ ? ?BPQ 时,试问直线 AB 的斜率是否为 定值,请说明理由. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做 的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,PA 是 O 的切线,PE 过圆心 O , 与 O 相交于 D 、E 两点,
AC 为 O 的直径, PC 与 O 相交于 B 、C 两点,连结 AB 、CD .
C

(1) 求证: ?PAD ? ?CDE ;
E O

B
D P

PA2 BD ? (2) 求证: . PC ? PE AD
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A

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23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 和极坐标系 Ox 的原点与极点重合, x 轴正半轴与 极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线 C 的参数方程

? x ? 4cos ? 为? ,(? 为参数). ? y ? 2sin ?
(1)在极坐标系下,曲线 C 与射线 ? ?
A, B 两点,求 ?AOB 的面积;

? ? 和射线 ? ? ? 分别交于 4 4

? ? x ? 6 2 ? 2t , (2)在直角坐标系下,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参 y ? t ? 2 ? ?

数) ,求曲线 C 与直线 l 的交点坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 3 , g ?x? ? m ? 2 x ? 11 , 若 2 f ?x ? ? g ?x ? 4? 恒成 立,实数 m 的最大值为 t . (1)求实数 t . ( 2 )已知实数 x、y、z 满足 2x2 ? 3 y 2 ? 6z 2 ? a ( a ? 0),且 x ? y ? z 的最大值是
t ,求 a 的值. 20

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