线性代数行列式_图文

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本课程学时短,进度快。但只要掌握了课 程的规律和方法,并注意记笔记,就会发现 实际上很简单,很容易学好。

线性代数是一门基础数学课程,它的 基本概念、理论和方法,具有较强的逻 辑性、抽象性和广泛的实用性。它的核 心内容是向量空间和线性变换;所使用 的研究工具则是矩阵和行列式。

第一章

行列式

内 容 简 介
行列式是线性代数中的一个最基本的概 念,它是研究线性代数的一个重要工具.本 章的主要内容就是介绍行列式的定义、性质 及计算方法.

§1.1

行列式的定义

?

1. n阶行列式的概念

1. n阶行列式的概念
定义1.1.1 设aij ( i , j ? 1,?, n)为n2个数,符号 副对角线 a11 a12 ? a1n

Dn ?

a21

a22 ? a2 n
主对角线,aii 为主对角元

? ? ? an1 an 2 ? ann

它的值用归纳法定义如下: 称为n阶行列式, def (1) 当 n ? 1 时,一阶行列式 D1 ? a11 ? a11 ;

( 2) 设 n ? 1 阶行列式Dn?1 的值已有定义 ,

则n阶行列式 Dn 定义为

Dn ? ? a1 j ( ?1)
j ?1

n

1? j

D1 j

Dn ? ? a1 j ?? 1?
j ?1

n

1? j

D1 j ,

其中D1 j是划去Dn的第一行与第 j列的元素后, 剩下的

n ? 1阶行列式, (n ? 1)2 个元素按原相对应位置构成的 称为a1j 的余子式。

定义1.1.2 在行列式Dn中划去aij 所在的行与列后,
所剩元素按原相对应位 置构成的低一阶行列式 Dij
i? j A ? ( ? 1 ) Dij 而称 ij 称为aij的余子式,

为aij的代数余子式。

则Dn又可写成

Dn ? ? a1 j A1 j
j ?1

n

也称为Dn按第一 行展开的展开式

a11 a21 D? a31 a41
a11 D44 ? a21 a31

a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
a12 a22 a32 a13 a 23 , a 33

a 21 D12 ? a 31 a41
A12 ? ?? 1?
1? 2

a 23 a 33 a43

a 24 a 34 , a44

D12 ? ? D12 .

A44 ? ?? 1?

4? 4

D44 ? D44 .

行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式.

D ? a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 ? a14 A14
? a11 ?? 1? D11 ? a12 ?? 1?
1?1 1? 2

D12 ? a13 ?? 1?

1? 3

D13 ? a14 ?? 1?

1? 4

D14

说明 1、Dij,Aij 与行列式Dn的第 i 行与第 j 列的元素 aij无关; 2、n 阶行列式是n?项的代数和,每项都是位于不 同行、不同列的n个元素的乘积。

a11
例1.1.1 计算对角行列式

0 a22 ? 0 ann 0



按定义

a11 a22

0 ? 0 ann ? a11

a22 a33

? 0 ann

? ? ? a11a22 ?ann

例1.1.2 计算下三角形行列式

a11 0 a21 a22 ? ? ? an1 an 2 ? ann



按定义

a22 a11 0 a32 a21 a22 ? a11 ? ? ? ? an 2 an1 an 2 ? ann

0 a33 ? ? an 3 ? ann

? ? ? a11a22 ?ann

§1.2
?

n阶行列式的性质

1. n阶行列式的性质

1. n阶行列式的性质
定义 将一个行列式 Dn的行和列互换所得到 T 的行列式称为 Dn的转置行列式, 记为 Dn .
a11 a21 设 Dn ? ? an1 a12 a22 ? an 2 ? ? ? ? a1n a11 a2 n a12 T , 则 Dn ? ? ? ann a1n a21 a22 ? a2 n ? an1 ? an 2 ? ? ? ann

性质1.2.1 行列式与它的转置行列式相等.即Dn?DnT.

由性质1.2.1可得上三角行列式

a11 a12 ? a1n 0 a22 ? a2 n ? 0 ? 0 ? ? ann

?

a11 a12 ? a1n

0 ? 0 a22 ? 0 ? ? a2 n ? ann

? a11a22 ?ann

?
根据性质1.2.1,在行列式中行与列具有同等的地 位,因此凡是有关行的性质,对列也同样成立.如

Dn ? ? a1 j A1 j ? ? ai 1 Ai 1
j ?1 i ?1

n

n

称为Dn按第一 列展开的展开 式

性质1.2.2 互换行列式的两行(列),行列式 变号.
例如

1 7 5 1 7 5 6 6 2 ? ?3 5 8 , 3 5 8 6 6 2

1 7 6 6 3 5

7 1 5 2 ? ? 6 6 2. 5 3 8 8
5

推论1.2.1 如果行列式有两行(列)完全相 同,则此行列式为零.
证明 互换相同的两行,有 Dn ? ? Dn , ? Dn ? 0.

性质1.2.3(行列式展开式定理) 行列式Dn 等于它的任 意一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积的和. n 即 称为Dn按第i 行 Dn ? ? aij Aij ( i ? 1,?, n) 展开的展开式
j ?1

? ai1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ?? ain Ain ?i ? 1,2,?, n ?

n

Dn ? ? aij Aij
i ?1

( j ? 1,?, n)

称为Dn按第j 列展开的展开 式

? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? ?? anj Anj

? j ? 1,2,?, n?

5 1
例 计算行列式

3 7

?1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0

D? 0 ?2 0 2

0 ?4 ?1 4 0


5 3 ?1 2 ?2 3 1 2? 5 0 D ? 0 ? 2 3 1 0 ? 2?? 1? 0 ? 4 ?1 4 0 ?4 ?1 4 0 0 2 3 5 0 2 3 5 0

5 1

3 7

?1 2 0 2 5 2

【降阶】

5 ? ?? 1?
2? 5

3

?1 2

0 ?2 3 1 2 0 ? 4 ?1 4 0 2 3 5

?2 ? ?2 ? 5( ?1)
? ?10 ? 108
1? 1

3

1

? 4 ?1 4 2 3 5

推论1.2.2 行列式任意一行(列)的元素与另一行 (列)的代数余子式乘积的和为零.即

Dn ? aij Akj ? ai 1 Ak 1 ? ai 2 Ak 2 ? ? ? ain Akn ? ? ? j ?1 ?0 或 Dn ? aij Aik ? a1 j A1k ? a2 j A2k ? ? ? anj Ank ? ? ? i ?1 ?0
n

n

i?k i?k j?k j?k

证明:

? ai 1 ak 1 ? ? ai 1

? ai 2 ? ?

? ? ? ? ? ain ? ? ? ? ? ?

已知 Dn ? ?

ak 2 ? ? akn



? ? ? ? ai 2 ? ? ain ? ? ? ? ? ? ? ? ai 2 ? ? ain

Cn ? ? ai 1 ?

? ai 1 Ak 1 ? ? ? ain Akn
按第 k 行展开

1
例 设行列式

2

?3 4 1 2 6 1 , 1 7

1 1 D? 7 ?3 ?1 4

求 A31 ? A32 ? A33 ? A34 .
解 原式 ? 1 ? A31 ? 1 ? A32 ? 1 ? A33 ? 1 ? A34

? a21 A31 ? a22 A32 ? a23 A33 ? a24 A34 ? 0

性质1.2.4 行列式某行(列)元素的公因子可提到 行列式符号之外.即

a11 ?

? ?

a1n ?

a11 ? a1n ? ? ?

D ? kai 1 ? kain ? k ai 1 ? ain ? ? ? ? ? ? an1 ? ann an1 ? ann
也即 行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数 k ,等于用数 k 乘此行列式.

推论1.2.3 若行列式有一行(列)元素全为零,则其值为0. 推论1.2.4 若行列式有两行(列)成比例,则其值为0.

a11
证明

a12 ? a1n

a11

a12 ? a1n

??????? a i 1 a i 2 ? a in ???????

??????? a i 1 a i 2 ? a in

? k ??????? ? 0. kai 1 kai 2 ? kain a i 1 a i 2 ? a in ??????? ??????? a n1 a n 2 ? a nn a n1 a n 2 ? a nn

性质1.2. 5 若行列式的某行(列)的元素均为两项之和, 则行列式可按此行(列)拆成两个行列式之和. a11 a12 ? a1n

?

?

?

?

D ? ai 1 ? bi 1 ai 2 ? bi 2 ? ain ? bin ? ? ? ? a n1 a11 ? ? ai 1 ? a n1 an 2 ? ann a12 ? a1n a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ai 2 ? ain ? bi 1 bi 2 ? ain ; ? ? ? ? ? ? ? an 2 ? ann an1 an 2 ? ann

性质1.2. 6 行列式某行(列)的倍数加于另一行 (列),行列式的值不变.

a11 ? a1i

? a1 j

? a1 n ? a2 j ? ? a nj ? a1 j ? a1n ? a2 j ? a2 j ? ? ? a nj ? a nj

a 21 ? a 2 i ? a 2 j k? ? ? ? a n1 ? a ni ? a nj a11 ? (a1i ? ka1 j ) a 21 ? (a 2 i ? ka2 j ) ci ? kc j ? ? a n1 ? (a ni ? kanj )

计算行列式常用方法:利用行列式性质把行列式 化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.



1 ?1 2 ?3 1 ?3 3 ?7 9 ?5 求 D? 2 0 4 ?2 1 . 3 ? 5 7 ? 14 6 4 ?4 10 ? 10 2

1 ?1 2 ?3 3 ?7

?3 9 ?2 ? 14

1 ?3 ? ?5 1 6

解: D ? 2 0 4 3 ?5 7 4 ? 4 10 1 ?1 2 0 0 ?1 r2 ? 3r1 2 0 4 3 ?5 7 4 ? 4 10

? 10 2 ?3 1

0 ?2 ? 14 ? 10

?2 1 6 2

1 ?1 2 0 0 ?1 r2 ? 3r1 2 0 4 7 3 ?5

?3 0 ?2 ? 14 ? 10

1 ? ?? 2 ? ?2 ? 1 6 2

4 ? 4 10

?? 4 ? ?
r2 ? 2r1

1 ?1 2 0 0 ?1 0 2 0 7 3 ?5

?3 0 4 ? 14

?

1 ? ?? 3 ? ?2 ? ?1 6 2

4 ? 4 10 ? 10

r4 ? 4r1

r3 ? 3r1

1 ?1 2 ? 3 1 0 0 ?1 0 ? 2 0 0 2 0
1 ?1 0 ?2 ?0 0 0 2 0 0

0 1 2
2 1 0 ?1 2

4 ?5 2
?3 ?5 4 0 2

?1 3 ?2
1 3 ?1 ?2 ?2

0 ?2

r2 ? r4

?

r3 ? r2

1 ?1 0 ?2 ?0 0 0 0 0 0

2 1 1 ?1 2

?3 ?5 ?1 0 2

1 3 2 ?2 ?2

?

r4 ? r3

1 ?1 2 ? 3 0 ?2 1 ?5 ?0 0 0 0 0 0 1 ?1 0 ?1 2 2

1 3 0

2 ? ?? 2 ?
?

?2

r5 ? 2r3

1 ?1 2 ? 3 0 ?2 1 ?5 ?0 0 0 0 1 ?1 0 ?1

1 3 2 0 ?4
?

0 0 0 4 ?6 1 ?1 2 ? 3 1 0 ?2 1 ?5 3 r5 ? 4r4 ? 0 0 1 ? 1 2 ? ??? 2??? 1??? 6? ? 12. 0 0 0 ?1 0 0 0 0 0 ?6


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