14.2空间中直线与直线之间的位置关系_图文

1、熟练掌握异面直线定义; 2、理解掌握空间两直线的位置关系; 3、熟练掌握平行公理4,并会简单应用; 4、理解掌握等角定理及其推论;

5、熟练掌握异面直线所成角定义;
6、掌握求两异面直线所成角的方法。

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回顾旧知
同一平面内的直线有哪些位置关系?

a
o
相交

b
平行

a b

如何判断两直线相交? a o b
两直线有公共交点。

如何判断两直线平行? a b 两直线在同一平面,且无公共交点。

立交桥

六角螺母 D C A B
既不相交, 又不平行。

一、异面直线:
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
注:概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或 :“ 不 可 能 找 到 一 个 平 面 同 时 经 过 这 两 条 直 线”. 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.

想一想:在空间中两条直线 的位置关系?
(1)相交直线——有且只有一个公共点

(2)平行直线——在同一平面内,没有公 共点 (3)异面直线——不同在任何一个平面内, 没有公共点

二、空间两直线的位置关系:
(1)从公共点的数目来看,可分为:
①有且只有一个公共点——两直线相交
?
l1
A
l2

记作: l1 ? l2 ? A
l1

两直线平行 ? ②没有公共点

l2

记作:l1 // l2
两直线为异面直线

(2)从平面的性质来讲,可分为:
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线

异面直线的画法:
b A

?

b

?

a

?
b

a

?

a

为表示异面直线不共面得特点,常以平面衬托。

练习:如图:正方体的棱所在的直线中,
与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 D B1 C B C1

答案: D1C1、C1C、CD、

D1D、AD、B1C1

A

探究:
G

C

A H

A D B

D F(B)

G(C)

H

E F E

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的 直线是异面直线的有几对? 相交直线有几对? 平行直线有几对?

我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是 否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?
b c

a

d

e

a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …

公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. ———平行线的传递性

推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.

空间四边形: 如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A

相对顶点A与C,B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.
D C

B

例1:已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE, 求证EFGH是一个平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
2

A H E D G

1 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B F C 解题思想:把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题

——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。

探 究

在例1中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH是什么图形?
A H E D G B F C

四边形EFGH是菱形。

在平面内, 我们已证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ”.

AO //C P//EQ ? ??AO B? ?C O D ??? BO //DP//FQ? ??AO B? ?EQ F ? 180?
A O P F C B D E

Q

思 考

空间中,该结论是否仍然成立?

?ADC 与?A?D?C?, 在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中, ? ?ADC 与?A?B?C,的两对边分别对应平行,这两组角的 大小关系如何?

D?

C?
B?

A?
D
?ADC ? ?A?D?C?

C

A

B

?ADC ? ?A?B?C? ? 180?

三、等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
注意:(1)定理中的“方向相同”若改成“方 向相反”,则这两个角也相等。 (2)若改成“一边方向相同,而另一边方向相 反”,则这两个角互补。

AC//A?C?, ? AB// A?B?
C C
B
C?

? A

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

?CAB ? ?C?A?B?

?CAB? ?C?A?B? ? 180?

在平面内两直线相交成四个角,不大于90° 的角成为夹角。 夹角 a

b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程 度,异面直线通过异面直线所称的角来刻画。

三、异面直线所成角的定义:
已知两条异面直线a, b,经过空间任一 点O作直线a`//a, b`//b,我们把a`与b`所成 的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成 的角(或夹角)。
b
b?
a
O

b
a?

?

?

O

a? a

平 移 法

为简便,O点常取 在某一直线上

b

a?b
a
?

a'

O

?
如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。 异面直线a和b所成的角的范围: 0 ? ? ? 90
o

强调:1)范围? ? (0, 900 ] 2)与0的位置无关 ; 3)为了方便点O选取应有利于解
决问题,可取特殊点(如a 或 b上); 4)找两条异面直线所成的角,

要作平行移动(平行线),把两条异面
直线所成的角,转化为两条相交直

线所成的角.

例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。

D1

C1

A1

B1

45
C

o

D
A

B

例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直?

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

四、异面直线所成角的求法:
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找):作(或找)平行线 二证:证明所作的角为所求的异

面直线所成的角。
三求:在一恰当的三角形中求出 角

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例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a, E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求: 平 ①异面直线 AD与 EF所成角的大小;45 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小; 60 法 ③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 90
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
G

O

5.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答: (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3

3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G

F
C B

∴∠EGF(或其补角)为所求.
Rt△EFG中,求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o

A

∴∠FBG(或其补角)为所求,
Rt△BFG中,求得∠FBG = 60o

6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:

那么这两个角相等或互补.
一作(找)二证三求

异面直线的求法:

补充练习
一、下图长方体中 ㈠说出以下各对线段的位置关系? E ①EC和BH是 相交 直线
H
F D A B C G

②BD和FH是 平行 线 ③BH和DC是 异面


直线

㈡与棱AB所在直线异面的棱共有 4 条? 分别是 :CG、HD、GF、HE

二、判断

错 1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
2)a ? α,b ? α,则a,b一定异面。



3)a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c是 异面直线。 错
4)a与b是共面,b与c是共面,则a与c共面。 错

三、选择
1. 两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则 直线a,b的位置关系是( B ) A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线 2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D ) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面

3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( D) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 4. 异面直线a,b满足a??,b??,?∩?=l,则l与a,b的 位置关系一定是( B ) A. l与a,b都相交 B .l至少与a,b中的一条相交 C. l至多与a,b中的一条相交 D. l至少与a,b中的一条平行


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