广东省深圳市翠园中学2015届高三上学期数学(理科)周末测试题(2014.11.1)

翠园中学高三数学(理科)周末试题(14.11.1)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,)
2 1.已知集合 A ? x ? Z x ? 2 x ? 0 ,集合 B ? x x ? 2a, a ? A ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. ?0?

B. ?2?

C. ?0, 2?

2.记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2(an ?1) ,则 a2 ? A. 4 C. 1 B. 2 D. ? 2

D. ?1, 4? 2 4 4 4 4
第 3 题图

3.已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 80 ? 7? C. 96 ? 8? B. 96 ? 7? D. 96 ? 16?

4.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) , P(? ? 4) ? 0.2 , 则 P(? ? 0) ? A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A.若 m ? n, m ? ? , n / / ? , 则 ? / / ? C.若 m ? ? , n / / ? , ? / / ? ,则 m ? n B.若 m / /? , n / / ? , ? / / ? ,则 m / / n D.若 m / / n, m / /? , n / / ? , 则 ? / / ?

6. 已知 a, b 是两个非零向量,给定命题 p : | a ? b |?| a | ? | b | ;命题 q : ?t ? R ,使得 则 p 是q 的 A.充分条件
x

? ?

? ?

?

?

? ? a ? tb ;

B.必要条件 B. c ? b ? a

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 D. b ? a ? c

7.已知函数 f ( x) ? 2 ? x, g ( x) ? log2 x ? x, h( x) ? log2 x ? 2 的零点依次为 a, b, c ,则 A. a ? b ? c C. c ? a ? b 8.如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为 a1 和 a2 ,半焦距 分别为 c1 和 c 2 .则下列结论不正确的是 A. a1 ? c1 ? a2 ? c2 C. a1c2 ? a2c1 B. a1 ? c1 ? a2 ? c2 D. a1c2 ? a2c1
第 8 题图

. F





二、填空题(每小题 5 分,满分 30 分)
9. 复数 (2 ? i)i 的虚部为__________.
2 3 10. (a ? b) (b ? c) 的展开式中 ab c 的系数为_________.
3

北 O B 东

?x ? y ? 2 ? 11. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 10 , ?x ? 3 ?
则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 .

C
第 12 题图

12.2008 年 1 号台风"浣熊"(NEOGURI)于 4 月 19 日下午减弱为热带低压后登陆阳江.如图,位 于港口 O 正东向 20 海里 B 处的渔船回港避风时出现故障.位于港口南偏西 30 , 距港口10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海里 / 小时的速度沿直线 CB 去营救渔船, 则拖轮到达 B 处需要__________小时. 13.函数 f ( x) 的定义域为 D,若对任意的 x1 、 x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为“非减函数” .设函数 g ( x) 在 [0,1] 上为“非减函数” ,且满足以下三 个条件: (1) g (0) ? 0 ; (2) g ( ) ?
?

x 3

1 (3) g (1 ? x) ? 1 ? g ( x) ,则 g (1) ? g ( x) ; 2



5 g( ) ? 12



14. (坐标系与参数方程选讲)在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的 点 到 直 线 是

? c o?s? 3 s i ? n ?6 的 距 离 的 最 小 值
. C M O
第 15 题图

?

?

B

P A N

15. (几何证明选讲)如图,半径为 2 3 的⊙O 中,OB 垂直 于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N, 过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P.若 OA= 3 OM,则 MN 的长为 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,)
16. (12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ) 程. 如何由函数 y ? 2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f ( x ) 的图象, 写出变换过

?
2

) 的部分图象如图所示.

y 2 O
π 6
5π 12

x

17. (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 ,

M 为线段 AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,
如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D C C D

A

M 图1

.

B

A

M 图2

B

第 17 题图

18. (14 分) 已知某公司 2004 至 2008 年的产品抽检情况如下表所示: 年份 2004 年 2005 年 2006 年 项目 抽查量 合格数 合格率 由于受到金融海啸的影响,2009 年计划生产 8500 件该产品,若生产一件合格品盈利 0.5 万 元,生产一件次品亏损 0.3 万元. (Ⅰ) 完成题中表格,并指出该工厂生产的该产品的合格率最接近于哪个数值 p ? (Ⅱ) 以 (Ⅰ) 中的数值 p 作为该产品的合格率,请你帮该工厂作出经营利润方面的预测. 19. (14 分) 有三个生活小区,分别位于 A, B, C 三点处,且 AB ? AC ? 20 7 , BC ? 40 3 . 今计 划合建一个变电站,为同时方便三个小区,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处,建立坐 标系如图,且 ?ABO ? 1000 798 1000 801 1000 803 2007 年 1000 798 2008 年 1000 800

2 ?. 7 (Ⅰ) 若希望变电站 P 到三个小区的距离和最小,

y A

点 P 应位于何处? (Ⅱ) 若希望点 P 到三个小区的最远距离为最小, 点 P 应位于何处?

P B O C x

20. (14 分) 已知 O 为 A, B, C 三点所在直线外一点,且 OA ? ?OB ? ? OC 。数列 {an } , {bn } 满足

?a ? ? an?1 ? ?bn?1 ? 1 (n ? 2) a1 ? 2 , b1 ? 1 ,且 ? n ?bn ? ? an?1 ? ?bn?1 ? 1 (Ⅰ) 求 ? ? ? ; (Ⅱ) 令 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的通项公式; 1 (III) 当 ? ? ? ? 时,求数列 {an } 的通项公式. 2

21. (本题满分 14 分)如图,已知点 A(0, ?3) ,动点 P 满足 PA ? 2 PO ,其中 O 为坐标原点. (Ⅰ) 求动点 P 的轨迹方程. (Ⅱ) 记(Ⅰ)中所得的曲线为 C . 过原点 O 作两条直线 l1 : y = k1 x, l2 : y = k2 x 分别交 曲线 C 于点 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) 、 G( x3 , y3 ) 、 H ( x4 , y4 ) (其中 y2 > 0, y4 > 0 ). 求证: (III)

k xx k1 x1 x2 = 2 3 4 ; x1 + x2 x3 + x4

y

对于(Ⅱ)中的 E 、 F 、 G 、 H ,设 EH 交

x 轴于点 Q , GF 交 x 轴于点 R . 求证: | OQ |= | OR | .
(证明过程不考虑 EH 或 GF 垂直于 x 轴的情形)

P 1 O 1 x

-3 A

数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:
题号 选项 1 C 2 A 3 C 4 D 5 C 6 A 7 A 8 D

二、填空题(每题 5 分,共 30 分,两空的前一空 3 分,后一空 2 分)

7 13.0.5 3 14.1 或 7, 0 ? x ? 5(a ? 1时);3 ? x ? 8(a ? 7时)
9. 2 10. 6 11. 9 12.

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
16. (本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由图象知 A ? 2

f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? (
将点 (

?

5? ? 2? ? ) ? ? ,故 ? ? ?2 12 6 T

……3 分

, 2) 代入 f ( x) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 ,又 | ? |? , 6 3 2

?

?

∴? ?

?

6

故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ)变换过程如下: 图象向左平移

?
6

)

……6 分

y ? 2sin x
y ? 2sin(2 x ? ) 6
另解: y ? 2sin x

? 1 个单位 所有点的横坐标缩短为原来的 ? 2 6 y ? 2sin( x ? )
6
纵坐标不变

?

所有点的横坐标缩短为原来的 纵坐标不变

? 1 图象向左平移 个单位 12 2 y ? 2sin 2 x

y ? 2sin(2 x ? ) 6
……12 分 以上每一个变换过程均为 3 分. 17. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADE ? 面 ABC , 面 ADE ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ……4 分 ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD ……6 分
2 2 2

?

另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ADE ? 面 ABC ,面 ADE ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD
2 2 2

(Ⅱ)建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则 M (0, 2,0) , C (? 2,0,0) , D(0,0, 2)

???? ? ??? ? CM ? ( 2, 2,0) , CD ? ( 2,0, 2) ?? 设 n1 ? ( x, y, z) 为面 CDM 的法向量, ?? ???? ? ? n ? CM ?0 ? ? y ? ?x ? 1 ? 2x ? 2 y ? 0 则 ? ?? ??? 即? ,解得 ? ? ?z ? ?x ? ? 2x ? 2z ? 0 ? n1 ? CD ? 0 ? ?? 令 x ? ?1 ,可得 n1 ? (?1,1,1) ?? ? 又 n2 ? (0,1,0) 为面 ACD 的一个发向量 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 3 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 3 | n1 || n2 | 3

……8 分 z D

C O A x M B y

∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 18. (本题满分 14 分)

3 . 3
……12 分

解:(Ⅰ)合格率分别为 0.798,0.801,0.803,0.798,0.8 该产品的合格率最接近于数值 0.8,即 p =0.8 (Ⅱ)设 8500 件产品中合格产品的数量为 ? , 则 ? 为随机变量且 ? ? B (8500, ) 故 E? ? 8500 ?

……6 分

4 5

……9 分 ……11 分

4 ? 6800 (件), 5

即预测 2009 年该产品的合格产品数量为 6800 件. 从而经营利润为 6800 ? 0.5 ? (8500 ? 6800) ? 0.3 ? 3400 ? 510 ? 2890 (万元) ……14 分 19. (本题满分 14 分) 解:在 Rt ?AOB 中, AB ? 20 7,0B ? 20 3 ,则

y A

| OA |? (20 7) 2 ? (20 3) 2 ? 40
(Ⅰ)方法一、设 ?PBO ? ? ( 0 ? ? ? 点 P 到 A, B, C 的距离之和为

……1 分

2 ? ), 7
O

P C x

20 3 2 ? sin ? …5 分 ? 40 ? 20 3 tan ? ? 40 ? 20 3 ? B cos ? cos ? 2sin ? ? 1 1 2 ? y? ? 20 3 ? ,令 y? ? 0 即 sin ? ? ,又 0 ? ? ? ? ,从而 ? ? 2 cos ? 2 7 6 ? ? 2? 当 0 ? ? ? 时, y? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y? ? 0 . 6 6 7 ? 2 ? sin ? ∴当 ? ? 时, y ? 40 ? 20 3 ? 取得最小值 6 cos ? y ? 2?
此时 OP ? 20 3 tan

?
6

? 20 3 ?

3 ? 20 ,即点 P 为 OA 的中点. 3

……8 分

方法二、设点 P(0, b)(0 ? b ? 40) ,则 P 到 A, B, C 的距离之和为

f (b) ? 40 ? b ? 2 b2 ? 1200(0 ? b ? 40) ,求导得 f ?(b) ?
由 f ?(b) ? 0 即 2b ? b2 ?1200 ,解得 b ? 20 当 0 ? b ? 20 时, f ?(b) ? 0 ;当 20 ? b ? 40 时, f ?(b) ? 0 ∴当 b ? 20 时, f (b) 取得最小值,此时点 P 为 OA 的中点.

2b b2 ? 1200

? 1 ……5 分

……8 分

(Ⅱ)设点 P(0, b)(0 ? b ? 40) ,则 | PA |? 40 ? b , | PB |?| PC |? b2 ? 1200

点 P 到 A, B, C 三点的最远距离为 g (b) ①若 | PA |?| PB | 即 40 ? b ? b2 ? 1200 ? 0 ? b ? 5 ,则 g (b) ? 40 ? b ; ②若 | PA |?| PB | 即 40 ? b ? b2 ?1200 ? 5 ? b ? 40 ,则 g (b) ? b2 ? 1200 ; ∴ g (b) ? ?

? ?40 ? b

(0 ? b ? 5)

2 (5 ? b ? 40) ? ? b ? 1200 当 0 ? b ? 5 时, g (b) ? 40 ? b 在 [0,5] 上是减函数,∴ g (b)min ? g (5) ? 35

……11 分

当 5 ? b ? 40 时, g (b) ? b2 ? 1200 在 (5, 40] 上是增函数,∴ g (b) ? g (5) ? 35 ∴当 b ? 5 时, g (b)min ? 35 ,这时点 P 在 OA 上距 O 点 5km . 20. (本题满分 14 分) (I)解: A, B, C 三点共线,设 AB ? mBC ,则 ……14 分

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? mBC ? m(OC ? OB) ,??????????????????2 分
化简得: OA ? (m ? 1)OB ? mOC ,所以 ? ? m ? 1, ? ? ?m, 所以 ? ? ? =1。?????????????????????????????4 分 (II)由题设得 an ? bn ? (? ? ? )(an?1 ? bn?1 ) ? 2 ? an?1 ? bn?1 ? 2 (n ? 2) ?? 6 分 即 cn ? cn?1 ? 2 ( n ≥ 2 ),∴ {cn } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列,通项公式为

??? ?

??? ?

??? ?

cn ? 2n ? 1 ?8 分
1 (a n ?1 ? bn ?1 ) (n ? 2) ,??10 分 2 1 1 令 dn ? an ? bn ,则 d n ? d n ?1 (n ≥ 2) .所以 {dn } 是首项为 a1 ? b1 ? 1 ,公比为 的等比数 2 2
(III)由题设得 a n ? bn ? (? ? ? )( a n ?1 ? bn ?1 ) ? 列, 通项公式为 d n ?

1 .???????????????????12 分 2n ?1

?an ? bn ? 2n ? 1, 1 1 ? 由? 解得 an ? n ? n ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 1 2 2 a ? b ? n n ? ? 2n ?1

21. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设点 P ( x, y ) ,依题意可得

x 2 + ( y + 3) 2 = 2 x 2 + y 2
整理得 x + y - 2 y - 3 = 0 故动点 P 的轨迹方程为 x + y - 2 y - 3 = 0 .
2 2 2 2

??????????2 分 ??????????4 分

(Ⅱ)将直线 EF 的方程 y = k1 x 代入圆 C 方程 整理得 (k12 + 1) x2 - 2k1 x - 3 = 0

2k1 3 , x1 x2 = - 2 ??① 2 k1 + 1 k1 + 1 将直线 GH 的方程 y = k2 x 代入圆 C 方程, 2k 3 同理可得 x3 + x4 = 2 2 , x3 x4 = ??② 2 k2 + 1 k2 + 1 kxx 3 k2 x3 x4 由①、②可得 1 1 2 = ,所以结论成立. ??????????8 分 = x1 + x2 2 x3 + x4 (Ⅲ)设点 Q (q, 0) ,点 Q(r , 0) ,由 E 、 Q 、 H 三点共线 x - q x4 - q (k - k2 ) x1 x4 得 1 ,解得 q = 1 ??????????10 分 = k1 x1 k2 x4 k1 x1 - k2 x4 由 F 、 R 、 G 三点共线 (k - k2 ) x2 x3 同理可得 r = 1 k1 x2 - k2 x3 k xx x2 x3 kxx - x1 x4 由 1 1 2 = 2 3 4 变形得 = x1 + x2 x3 + x4 k1 x2 - k2 x3 k1 x1 - k2 x4 (k - k2 ) x2 x3 (k1 - k2 ) x1 x4 即 1 ??????????12 分 + = 0, k1 x2 - k2 x3 k1 x1 - k2 x4 从而 q + r = 0 ,所以 | q |= | r | ,即 | OQ |= | OR | . ??????????14 分
根据根与系数的关系得 x1 + x2 =

y H F

1 QO E R G x


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