回顾与思考

第六章 平行线的证明

回顾与思考
江西省九江市第十一中学 陶增元

一、学生情况分析
学生的技能基础:学生在已经接触了几何学的许多基本概念,有了一些基本的逻辑 思维判断能力,在几何证明的推理上也有了长足的进步,不过对于较难的几何证明题则 不能站在更高的逻辑思维层面上思考. 学生活动经验基础: 在本章内容的学习过程中,学生已经经历了观察、动手操作、 说理、推理论证等几何活动,获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础,同 时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验, 具备了一定的合作与交流 的能力.

二、教学任务分析
在本章的学习中,学生已经掌握了几何的推理论证的基本理念,对于简单的几何证 明有了一定的认识,但不能从更深层次进行思考,对于如何分析命题中的条件与结论则 存在一定的困难,本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考,旨在把学生头脑中零 散的知识点用一条线有机地组合起来,从而形成一个知识网络,使学生对这些知识点不 再是孤立地看待,而是在应用这些知识时,能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点, 同时能把这些知识加以灵活运用,因此,本节课的目标是: 知识与技能: (1)了解命题的概念与命题的构成; (2)使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理,三角形内角和定理及三角形 的外角的性质等概念; (3)进一步体会证明的必要性; 数学能力: (1)培养学生的逻辑思维能力,发展学生的合情推理能力;
1

(2)掌握证明的步骤与格式.

三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节: 知识回顾——做一做——想一想——试一试——反馈 练习.

第一环节 活动内容:

知识回顾

1.什么是定义?什么是命题?命题由哪两部分组成?举例说明! 2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么? 3.三角形内角和定理是什么? 4.与三角形的外角相关有哪些性质? 5.证明题的基本步骤是什么? 活动目的: 通过学生的回顾与思考,使学生对平行线的性质定理与判定定理,三角形内角和定 理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识, 为下一步的简易的逻辑推理作好知识 准备. 注意事项: 由于学生对于上述概念都有较长时间的学习,但知识点是零散的,因此有必要在学 生头脑中形成一个清晰的知识网络,如:
? ? ?定理 ? ? ? ? ? ?判定 ? ? ?平行线 ? ? ? ? ? ? ? ?性质 ? ? ?分类 ? ?真命题?推论 ? ? 证明 ? 应用? ?内角和定理 ? ? ? ? ? ? ? ?三角形 ? ?推论( 外角) 证明 ? 命题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?公理 ? ? ? ? ?假命题 ? 反例 ? ? ?条件( 题设部分) ?结构 ? ? ? ?结论 ?

第二环节 活动内容:

做一做

2

2.下列命题,哪些是真命题?哪些是假命题?如果是真命题,请写出条件与结论,如果 是假命题,请举出反例. (1)同角的补角相等; (2)同位角相等,两直线平行; (3)若|a|=|b|,则 a=b. 3. 如图,AD、BE、CF 为△ABC 的三条角平分线,则:∠1+∠2+∠3=________. 4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形,则此四边形一定是_____。 5. 如图所示,△ABC 中,∠ACD=115°,∠B=55°, 则∠A= , ∠ACB= _____.

6. △ABC 的三个外角度数比为 3∶4∶5,则它的三个外角度数分别为

7. 已知,如图,AB∥CD,若∠ABE=130° , ∠CDE=152° ,则∠ BED=__________.

A
1

A

A
E
3

B F E D
第 7 题图

F B
2

C

B C
第 5 题图

D
第 3 题图

D

C

活动目的: 通过以上习题的练习,使学生对本章的一些基本知识,如:定义、命题、平行线的 性质定理与判定定理、 三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念有一个更清楚的 认识。 注意事项: 此类习题主要考查学生对于本章的一些知识点的认知程度,对于多数同学而言,这 是比较简单的习题,但对于少数同学而言还是有一定的困难,如果出现部分同学有学习 困难时,在讲解之后,还可再出部分类似习题供学生练习。

第三环节 活动内容:

想一想

1、已知,如图,直线 a,b 被直线 c 所截,a∥b。 求证:∠1+∠2=180° 证明:∵a∥b(已知)
3

∴∠1+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∵∠3=∠2(对顶角相等) ∴∠1+∠2=180°(等量代换)

第 1 小题图

第 2 小题图

2、已知,如图,∠1+∠2=180°,求证:∠3=∠4. 证明:∵∠2=∠5(对顶角相等) ∠1+∠2=180°(已知) ∴∠1+∠5=180°(等量代换) ∴CD∥EF(同旁内角互补,两直线平行) ∴∠3=∠4(两直线平行,同位角相等) 活动目的: 学生在进行了一些必要的知识准备之后, 有必要对学生进行简单几何证明题的训练, 从而培养学生的逻辑思维能力和推理能力。 注意事项: 在教学中,应避免对学生采用直灌式,不可直接将证明的步骤给学生,应该在学生 充分思考并表达了自己的想法之后再对学生的思考过程进行评判, 切忌因为证明题的简 单而一笔带过,这是培养每一个学生的逻辑思维能力的必要手段.

第四环节

试一试

活动内容: 3、已知,如图,直线 AB∥ED. 求证:∠ABC+∠CDE=∠BCD.

4

(1) 本题有多种证法. 证法一: (如图(1) )过点 C 作 CF∥AB. ∴∠ABC=∠BCF(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥ED(已知)

(2)

∴ED∥CF(两直线都和第三条直线平行,则这两条直线平行) ∴∠EDC=∠FCD(两直线平行,内错角相等) ∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC(等式性质) 即:∠BCD=∠ABC+∠CDE 证法二: (如图(2) ) ,延长 BC 交 DE 于 F 点 ∵AB∥DE(已知) ∴∠ABC=∠CFD(两直线平行,内错角相等) ∵∠BCD 是△CDF 的一个外角(已知) ∴∠BCD=∠CFD+∠CDE(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) ∴∠BCD=∠ABC+∠CDE(等量代换) . 4、将正方形的四个顶点用线段连接,什么样的连法最短?研究发现,并非对角线最短. 而是如图的连法最短(即用线段 AE、DE、EF、CF、BF 把四个顶点连接起来) ,已知图 中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时 AB∥EF 吗?

答案:能. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形(已知) ∴∠DAB=90°(正方形的性质) ∵∠DAE=30°(已知)
5

∴∠EAB=60°(等式性质) ∵∠AEF=120°(已知) ∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°(等式的性质) ∴AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行) 活动目的: 通过螺旋式上升的练习,使得学生逐步提高学生的逻辑思维能力,发展学生的合情 推理能力,提高分析问题的能力. 注意事项: 第 3 题需要通过作辅助线才能解决,必须让学生充分发表自己的看法,第 4 题的目 的是让学生证明 AB∥EF,而不是让学生找什么样的连法最短,不必要将学生的时间花 费在此方面.

第五环节 活动内容:

反馈练习

1、 如图, △ABC 中, ∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC 等于 (A)63° (B) 62° (C) 55° (D)118°





2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是 (A)垂直 (B)两条直线 (C)同一条直线





(D)两条直线垂 直于同一条直线 【 (D)AB=CD 】

3.如图,BD 平分∠ABC,若∠1=∠2,则 (A)AB∥CD
A E B

(B) AD∥BC

(C) AD=BC

D 第1题

C 第3题

4.三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是 (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形

【 (D)无法确定 【



5.锐角三角形中,最大角α 的取值范围是 (A)0?<α <90? (C) 60?<α <180? (B) 60?<α <90? (D)60?≤α <90?



6、如图:∠A=65? ,∠ABD=∠BCE=30?,且 CE 平分∠ACB,求∠BEC.
6

A

D E

B

C

7、如图,AB,CD 相交于 O,且∠C=∠1。试问:当∠2 与∠D 有什么大小关系时,AC∥ BD?请证明你的结论。

8、如图,AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C. 求证:∠1=∠2.
G B 3 1

A E

2 D F

C

活动目的: 通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注学生知识技能的发展和不同层次的需求, 体现不同的学生在数学上得到不同的发展. 注意事项: 力求让每一个学生在几何的学习上都有不同的收获,不可能强求每一个学生对于几 何的学习都是完美的,毕竟在每一个个体的思维能力是不同的,应允许存在差异,这才 符合不同的学生在数学上得到不同的发展的学习理念。 课后练习:课本第 248 页复习题第 8、9、10、12 题;

四、教学反思
本节课的重点是在学生对几何证明题的解答中, 由演绎推理与合情推理发展学生的 推理能力,从而培养学生的逻辑思维能力,但“证明”的表现和运用,不仅仅在要求证 明的题目中,而是渗透和应用在几乎所有的数学知识学习及运用的过程中。培养学生的 逻辑思维能力不是一蹴而就的,因此,掌握和运用证明是一个渐进、长期的过程,体现 在诸多章节的学习中。

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本节课的设计体现了如下特点: 1. 例题、习题的安排采用“逐次递进,螺旋式上升”的原则,让学生逐步感受数学 的深邃,体现了新课程“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。 2. 从知识点的回顾逐步过渡到数学能力的培养, 表现了点——线——面的基本教学 思路。 3. 设计中体现了“学生是学习的主人”这一主题。

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