状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练28:数列解答题

高考专题训练(二十八)

数列(解答题)

1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=a1-9,a5,a3,a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意 k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1 成等差数列. 解 (1)设公比为 q,在等比数列{an}中,a5,a3,a4 成等差数列,∴2a3=a5

+a4,即 2a1q2=a1q4+a1q3, 整理得:q2+q-2=0. 解得 q=1,或 q=-2. 又 a4=a1-9, 即 a1q3=a1-9, 当 q=1 时,无解. 当 q=-2 时,解得 a1=1, ∴等比数列{an}通项公式为 an=(-2)n-1(n∈N*). (2)证明:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, ∴Sk= ∵ Sk 1· [1-?-2?k] 1-?-2?k 1-?-2?k+1 1-?-2?k+2 = , S = , S = , k+1 k+2 3 3 3 1-?-2?
1



+ Sk



2



1-?-2?k 3

+1



1-?-2?k 3

+2



2-?-2?k 1-?-2?k 3


+2



2-?-2?k+1[1+?-2?] 2+?-2?k+1 1-?-2?k = =2· 3 =2Sk, 3 3 ∴Sk+1,Sk,Sk+2 成等差数列. 2.已知各项均不相等的等差数列{an}的前 5 项和为 S5=35,且 a1+1,a3 +1,a7+1 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? n ? ? n (2)设 Tn 为数列?S ?的前 n 项和, 问是否存在常数 m, 使 Tn=m?n+1+2?n+2??, ? n? ? ?

若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 解 (1)设数列{an}的公差为 d,由已知得 a3=a1+2d=7,

又 a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列, ∴82=(8-2d)(8+4d),解得 a1=3,d=2, ∴an=2n+1.

第 1 页 共 5 页

(2)由(1)得 Sn=n (n+2), 1 ? 1 1 1?1 ?n-n+2?, = = Sn n?n+2? 2? ? 1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn=2?1-3 +2-4+3-5+…+ - +n- n+2? ? n-1 n+1 ? 1 1 1 ? 1? =2?1+2-n+1-n+2? ? ? n ? 1? n =2?n+1+2?n+2??, ? ? n ? 1 ? n 故存在常数 m=2,使 Tn=m?n+1+2?n+2??. ? ? 3.(2014· 温州十校联考)已知等差数列{an}的公差为-1,且 a2+a7+a12=- 6. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; 1 (2)若{bn}是首项为 4,公比为2的等比数列,前 n 项和为 Tn,求证:当 t>6 时,对任意 n,m∈N*,Sn<Tm+t 恒成立. 解 (1)由 a2+a7+a12=-6 得 a7=-2,

∴a1=4, ∴an=a1+(n-1)d=5-n, n?a1+an? n?9-n? 从而 Sn= = 2 . 2 ? ?1? ? 4?1-?2?m? ? ? ? ? (2)由等比数列求和公式得 Tm= 1 1-2 ? ?1? ? =8?1-?2?m?, ? ? ? ? Tm≥T1=4.(或者:各项为正的等比数列 T1=4 为最小值) n?9-n? 1 又 Sn= 2 =-2(n2-9n) 9? 81? 1?? n-2?2- ?, =-2?? 4? ? ?? 故(Sn)max=S4=S5=10, 当 t>6 时,对任意 n、m∈N*,Tm+t>T1+6>10≥Sn,

第 2 页 共 5 页

∴当 t>6 时,Sn<Tm+t 恒成立. ?1? 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+an+?2?n-1=2(n∈N*),设 cn=2nan. ? ? (1)求证:数列{cn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)按以下规律构造数列{bn},具体方法如下: b1=c1,b2=c2+c3,b3=c4+c5+c6+c7,…,第 n 项 bn 由相应的{cn}中 2n-1 项的和组成,求数列{bn}的通项 bn. 解 ?1? (1)证明:在 Sn+an+?2?n-1=2①中, ? ?

令 n=1,得 S1+a1+1=2, 1 ∴a1=2. ?1? 当 n≥2 时,Sn-1+an-1+?2?n-2=2,② ? ? ?1? ①-②得,an+an-an-1-?2?n-1=0(n≥2), ? ? 1 ∴2an-an-1= n-1, 2 ∴2nan-2n-1an-1=1. 又 cn=2nan, ∴cn-cn-1=1(n≥2). 又 c1=2a1=1, ∴数列{cn}是等差数列.于是 cn=1+(n-1)×1=n n 又∵cn=2nan,∴an=2n. (2)由题意得 bn=c2n-1+c2n-1+1+c2n-1+2+…+c2n-1=2n-1+(2n-1+1)+(2n-1 +2)+…+(2n-1), 而 2n-1,2n-1+1,2n-1+2,…,2n-1 是首项为 2n-1,公差为 1 的等差数列, 且共有 2n-1 项, [2n-1+?2n-1?]×2n-1 22n-2+22n-1-2n-1 ∴bn= = =3×22n-3-2n-2. 2 2 5.(2014· 南京一模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,S6=22. (1)求 Sn;

第 3 页 共 5 页

(2) 若 从 {an} 中 抽 取 一 个 公 比 为 q 的 等 比 数 列 {akn} , 其 中 k1 = 1 , 且 k1<k2<…<kn<…,kn∈N*. ①当 q 取最小值时,求{kn}的通项公式; ②若关于 n(n∈N*)的不等式 6Sn>kn+1 有解,试求 q 的值. 解 (1)设等差数列的公差为 d,

1 2 则 S6=6a1+2×6×5d=22,解得 d=3, n?n+5? ∴Sn= 3 . (2)①∵数列{an}是正项递增等差数列, ∴数列{akn}的公比 q>1, 8 a2 4 若 k2=2,则由 a2= ,得 q= = , 3 a1 3 ?4? 32 此时 ak3=2×?3?2= 9 , ? ? 32 2 10 由 9 =3(n+2),解得 n= 3 ?N*, ∴k2>2,同理 k2>3; 若 k2=4,则由 a4=4,得 q=2, 此时 akn=2×2n-1, 2 另一方面,akn=3(kn+2), 2 ∴3(kn+2)=2n, 即 kn=3×2n-1-2, ∴对任何正整数 n,akn 是数列{an}的第 3×2n-1-2 项. ∴最小的公比 q=2. ∴kn=3×2n-1-2. ②由 akn= 2kn+4 n-1 3 =2q ,

得 kn=3qn-1-2,而 q>1, 所以当 q>1 且 q∈N 时,所有的 kn=3qn-1-2 均为正整数,符合题意; 当 q>1 且 q?N 时,kn=3qn-1-2∈N 不全是正整数,不合题意.

第 4 页 共 5 页

而 6Sn>kn+1 有解, ∴ 2n?n+5?+2 >1 有解,经检验, 3qn 2n?n+5?+2 >1 的解,符合题意; 3qn

当 q=2,q=3,q=4 时,n=1 都是 下面证当 q≥5 时,

2n?n+5?+2 >1 无解, 3qn

2n?n+5?+2 设 bn= , 3qn 2[?1-q?n2+?7-5q?n+7-q] 则 bn+1-bn= , 3qn+1 ∵ 5q-7 <0, 2-2q

∴f(n)=2[(1-q)n2+(7-5q)n+7-q]在 n∈N*上单调递减. ∵f(1)<0, ∴f(n)<0 恒成立, ∴bn+1-bn<0, ∴bn≤b1 恒成立, 又当 q≥5 时,b1<1, ∴当 q≥5 时,6Sn>kn+1 无解. 综上所述,q 的值为 2,3,4.

第 5 页 共 5 页


相关文档

状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练10:数列求和及数列的综合应用
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练30:概率与统计解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练09:等差数列、等比数列
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练31:解析几何解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练27:三角函数解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练07:三角恒等变换与解三角形
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练32:函数与导数解答题
状元之路2015高三数学二轮(文理)专题训练04:不等式
【状元之路】2015版数学二轮(文理)高考专题训练9:等差数列、等比数列(含解析)
【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练:专题3 第2讲 数列的应用]
电脑版