第二章2.2.1 对数与对数运算

第 11 张卷

2.2.1 对数与对数运算

1.对数的概念[来源:Z.xx.k.Com] (1)定义:一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 释疑点 在对数 logaN 中规定 a>0,且 a≠1,N>0 的原因
(1)若 a<0,则 N 为某些数值时,x 不存在,如式子(-3)x=4 没有实数解,所以 log(-3)4

不存在,因此规定 a 不能小于 0;

(2)若 a=0,且 N≠0 时,logaN 不存在;N=0 时,loga0 有无数个值,不能确定,因此 规定 a≠0,N≠0;

(3)若 a=1,且 N≠1 时,x 不存在;而 a=1,N=1 时,x 可以为任何实数,不能确定,

因此规定 a≠1;

(4)由 ax=N,a>0 知 N 恒大于 0.

(2)特殊对数

名称

记法

说明

常用对数 自然对数

lg N 以 10 为底的对数,并把 log10N 记为 lg N

ln N

以 e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并把 logeN 记为 ln N

(3)对数的性质

根据对数的概念,对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有以下性质:

性质

说明

零和负数没有对数,即 N>0
1 的对数等于 0,即 loga1=0 底的对数等于 1,即 logaa=1 (4)对数与指数的互化关系 当 a>0,且 a≠1 时.如图所示:

当 a>0,且 a≠1 时,ax>0,即 N=ax>0,
所以对数 logaN 只有在 N>0 时才有意义 因为 a0=1,由对数的定义得 0= loga1 因为 a1=a,由对数的定义得 1=logaa

比如:43=64 ? 3=log464;log525=2 ? 52=25;以前无法解的方程 2x=3,学习了对
数后就可以解得 x=log23. 谈重点 对指数与对数的互化关系的理解 (1)由指数式 ab=N 可以写成 logaN=b(a>
0,且 a≠1),这是指数式与对数式互化的依据.从对数定义可知,对数式与指数式是同一
种数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表:

式子 [来源:学|科|网 Z|X|X|K]
指数式 ax=N 对数式 logaN=x

a 底数 底数

名称 [来源:学科网][来源:学科网] x 指数
对数

N 幂 真数

意义 a 的 x 次幂等于 N 以 a 为底 N 的对数等于 x

1

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(2)根据指数与对数的互化关系,可以得到恒等式 alogaN=N .

指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段.

【例 1-1】下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是( ) A.100=1 与 lg 1=0

?1
B. 27 3

?

1 3

与 log27

1=?1 33

1
C.log39=2 与 9 2 =3
答案:C

D.log55=1 与 51=5

【例 1-2】完成下表指数式与对数式的转换.

题号

指数式

对数式

(1) 103=1 000

(2)

log210=x

(3)

e3=x

答案:(1)lg 1 000=3;(2)2x=10;(3)ln x=3.

【例 1-3】求下列各式中 x 的值:

(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg

x)=1;(3)logx27=

3 4

;(4)x=log84.

2.对数的运算性质

(1)对数的运算性质

如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么:

①loga(M·N)=logaM+logaN;

② loga

M N

=logaM-logaN;

③logaMn=nlogaM(n? R).

谈重点 对对数的运算性质的理解 (1)对应每一条运算性质,都要注意只有当式子中

所有的对数符号都有意义时,等式才成立,如 log2[(-3)·(-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误 的.

(2)巧记对数的运算性质:①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积;②两个

正数的商的对数等于这两个正数的对数的差;③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的

底数的对数.

(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系

式子

ab=N

am·an=am+n

谈重点

运算 性质

am an

=am-n

(am)n=amn

对数运算性质推导的基本方法

logaN=b loga(MN)=logaM+logaN

loga

M N

=logaM-logaN

logaMn=nlogaM

利用对数的定义将对数问题转化为指数问题,再利用幂的运算性质,进行转化变形,然

后把它还原为对数问题.如“loga(MN)=logaM+logaN”的推导:设 logaM=m,logaN=n,
则 am=M,an=N,于是 MN=am·an=am+n,因此 loga(MN)=logaM+logaN=m+n.
【例 2-1】若 a>0,且 a≠1,x>y>0,n? N*,则下列各式:
①logax·logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y);

2

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③loga(xy)=logax·logay;④

loga loga

x y

? loga

x y



⑤(logax)n=logaxn;⑥ loga

x

?

? loga

1 x

;⑦

loga n

x

?

loga

n

x



其中式子成立的个数为( )

A.2

B .3

C.4

D.5

答案:A

辨误区 应用对数的运算性质常见的错误 常见的错误有:loga(M±N)=logaM±logaN;

loga(M·N)=logaM·logaN;

loga

M N

?

loga M loga N



logaMn=(logaM)n.

【例 2-2】计算:(1)2log122+log123;(2)lg 500-lg 5;

(3)已知 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,求 lg 45 .解:(1) 1.(2) 2.(3) lg 45 =0.826 6.

析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方、开

方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算;(2)

由于 lg 2+lg 5=lg 10=1,所以 lg 5=1-lg 2,这是在对数运算中经常用到的结论.

3.换底公式

(1)公式

logab=

logc logc

b a

(a>0,且

a≠1;c>0,且

c≠1,b>0).

(2)公式推导:



logc logc

b a

?

x

,则

logcb=xlogca=logcax,∴b=ax.∴x=logab.∴

logc logc

b a

=logab.

(3)公式的作用

换底公式的作用在于把以 a 为底的对数,换成了以 c 为底的对数,特别有:

loga

N

?

lg N lg a

, loga

N

?

ln N ln a

,利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的

值.

(4)换底公式的三个推论:① logam

Nn

?

n m loga

N

(a,N>0,且

a≠1,m≠0,m,n? R);

②logab=

1 logb

a

(a,b>0,且

a,b≠1);③logab·logbc·logcd=logad(a,b,c>0,且

a,b,

c≠1,d>0).

证明:①logamNn=

loga loga

Nn am

?

n loga m

N

?

n m loga

N



②logab=

logb logb

b a

?

1 logb

a



③logab·logbc·logcd=

lg lg

b a

?

lg lg

c b

?

lg lg

d c

?

lg d lg a

=log ad.

【例 3-1】 log8 9 的值是( ) log2 3

3

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A. 2 3

B. 3 2

C.1

D.2

答案:A

【例 3-2】若 log34·log48·log8m=log416,则 m 等于( )

A. 1 2

B.9

C.18

D.27

答案:B

4.对数定义中隐含条件的应用

根据对数的定义,对数符号 logaN 中实数 a 和 N 满足的条件是底数 a 是不等于 1 的正实

?N >0, 数,真数 N 是正实数,即 ??a>0,
??a ? 1,

因此讨论对数问题时,首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件.

对数概念比较难理解,对数符号初学时不太好掌握,学习时要抓住对数与指数相互联系,

深刻理解对数与指数之间的关系,将有助于掌握对数的概念.

【例 4-1】已知对数 log(1-a)(a+2)有意义,则实数 a 的取值范围是__________.

?a ? 2>0, 解析:根据对数的定义,得 ??1? a>0,
??1? a ? 1,

解得-2<a<0 或 0<a<1.

答案:(-2,0) (0,1)

【例 4-2】若 log(1-x)(1+x)2=1,则 x=__________. 5.对数的化简、求值问题

答案:x=-3

应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数

的加、减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算过程,加快计算速度.

(1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆”,将积、商的对数拆成对数的和、差.



log3

9 5

+log35=log39-

log35+log35=log39=2.

二是“收”,将同底数的对数和、差合成积、商的对数.

如,

log3

9 5

+log35=

log3

? ??

9 5

?

5

? ??

=log39=2.

三是“拆”与“收”相结合.

(2)不同底数的对数式的化简、求值

常用方法是利用换底公式,转化为同底数的对数式,进而进行化简,化简后再将底数统

一进行计算.也可以在方向还不清楚的情况下,统一将不同的底换为常用对数等,再进行化

简、求值.

对数式的化简、求值,要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论,

如 loga1=0,logaa=1,alogaN=N,lg 2+lg 5=1,logab·logba=1 等. 【例 5-1】化简求值:

(1)4lg

2+3lg

5-

lg

1 5

;(2)

log5 log 25

2 ? log49 81

1 3

? log7

3

4



(3)2log32-

log3

32 9

+log38- 5log5 3

;(4)log2(1+

2+

3 )+log2(1+

2-

3 ).

解:(1) 4.(2)-3.(3)-1.

【例 5-2】计算:(log43+log83)(log32+log92)- log1 4 32 .
2
6.条件求值问题

4

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对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题,如果附加条件比较复杂,则需先对其进

行变形、化简,并充分利用其最简结果解决问题.

例如:设

x=log23,求

23x 2x

? 2?3x ? 2?x

的值时,我们可由

x=log23,求出

2x=3,2- x=

1 3

,然

后将它们代入 23x ? 2?3x 2x ? 2?x

,可得 23x ? 2?3x 2x ? 2?x

?

33

?

? ??

1 3

?3 ??

3? 1

? 91 . 9

3

【例 6】已知 3a=4b=36,求 2 ? 1 的值. ab

析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化,有些

需要将对数式化为指数式,而有些需要将指数式化为对数式;(2)注意换底公式与对数的运

算性质的应用,解题时应全方位、多角度地思考,注意已知条件和所求式子的前后照应.

7.利用已知对数表示其他对数 (1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式,将一般对数转化成自然 对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.

(2)用对数 logax 和 logby 等表示其他对数时,首先仔细观察 a,b 和所要表示的对数底数 的关系,利用换底公式把所要表示的对数底数换为 a,b.解决此类题目时,通常用到对数

的运算性质和换底公式.

对数的运算性质总结:

如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么:

loga(M·N)=logaM+logaN;

loga

M N

=logaM-logaN;

logaMn=nlogaM(n? R).

换底公式:logab=

logc logc

b a

(a>0,且

a≠1;c>0,且

c≠1;b>0).

(3)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化,统一成一种形式.

【例 7-1】已知 lg 2=a,lg 3=b, 则 log36=( )

A. a ? b a

B. a ? b C. a

b

a?b

D. b a?b

【例 7-2】已知 log189=a,18b=5,求 log3645(用 a,b 表示).

8.与对数有关的方程的求解问题

关于对数的方程有三类:

第一类是形如关于 x 的方程 logaf(x)=b,通常将其化为指数式 f(x)=ab,这样解关于 x

的方程

f(x)=ab

即可,最后要注意验根.例如:解方程

log

64

? ??

x

?

15 16

? ??

?

?

2 3

,将其化为指数

式为

x ? 15

?

?2
64 3

?2
,又 64 3

?

(43

?
)

2 3

? 4?2 ?

1

,则 x ? 15 ?

1

,所以

x=1,经检验

x

16

16

16 16

=1 是原方程的根.

第二类是形如关于 x 的方程 logf(x)n=b,通常将其化为指数式 fb(x)=n,这样解关于 x 的 方程 fb(x)=n 即可,最后要注意验根.例如,解方程 log(1-x)4=2,将其化为指数式为(1-x)2

=4,解得 x=3 或 x=-1,经检验 x=3 是增根,原方程 的根是 x=-1.

第三类是形如关于 x 的方程 f(logax)=0,通常利用换元法,设 logax=t,转化为解方程 f(t)=0 得 t=p 的值,再解方程 logax=p,化为指数式则 x=ap,最后要注意验根.

5

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【例 8-1】已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),求 log x 的值.解:4. 2y
辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时,必须注意“真数大 于零”这一条件,否则会出现错误.例如,本题若不注意“真数大于零”,则会出现两个结 果:4 和 0.
【 例 8-2】解方程 lg2x-lg x2-3=0. 解:原方程可 化为 lg2x-2lg x-3=0. 设 lg x=t,则有 t2-2t-3=0,解得 t=-1 或 t=3,
于是 lg x=-1 或 3,解得 x ? 1 或 1 000. 10
经检验 x ? 1 ,1 000 均符合题意, 10
因此原方程的根是 x ? 1 ,或 x=1 000. 10
辨误区 lg2x 与 lg x2 的区别 本题中,易混淆 lg2x 和 lg x2 的区别,lg2x 表示 lg x 的平 方,即 lg2x=(lg x)2,而 lg x2=2lg x.
9.对数运算的实际应用 对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛,其运用问题大致可分为两类:一类是已知 对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把 对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式 两边进行取对数运算. 【例 9】抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则 至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0) 解:设至少抽 n 次可使容器内空气少于原来的 0.1%, 则 a(1-60%)n<0.1%a(设原先容器中的空气体积为 a),即 0.4n<0.001, 两边取常用对数得 n·lg 0.4<lg 0.001,
所以 n> lg 0.001 ? 3 ≈7.5. lg 0.4 2 lg 2 ?1
故至少需要抽 8 次. 点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法,一般的方法是对等式 (或不等式)两边取常用对数或自然对数,再用计算器或计算机进行对数的计算.
6


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