江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析7:数列的综合考查

江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析 7:数列的综合 考查
数列是高中数学的重要内容, 又是学习高等数学的基础。 高考对本章的考查比较全面, 等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列 知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列, 求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本 章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论 等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面; (1)数列本身的有关知识, 其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的 结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题,其 中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大 都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为 最后一题难度较大。 (文科考查以基础为主,有可能是压轴题) 一、知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上,系 统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用, 灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法 的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力, 进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用 函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的 思维方法. 二、方法技巧 1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。

1

(2)通项公式法: ①若 ②若 = +(n-1)d= +(n-k)d ,则 ?an ? 为等差数列; ,则 ?an ? 为等比数列。

(3)中项公式法:验证中项公式成立。 2. 在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

? am ? 0 的项数 m 使得 Sm 取最大值. ?am?1 ? 0 ? am ? 0 的项数 m 使得 ?am?1 ? 0
取最小值。

(2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项 1 . 证 明 数 列 ?an ? 是 等 差 或 等 比 数 列 常 用 定 义 , 即 通 过 证 明 an?1 ? an ? an ? an?1 或

an?1 a ? n 而得。 an a n?1
2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地 运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3 . 注 意 sn 与 an 之 间 关 系 的 转 化 。 如 : an = ?
n

?

S1 ? 0

n ?1 n?2

? S n ? S n ?1 ? 0



an = a1 ? ? (ak ? ak ?1 ) .
k ?2

4.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的 概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. 5.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质, 揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 四.典型考例 【问题 1】等差、等比数列的项与和特征问题 P49 例 1 T6.
2

3。P50 例 2

P56 例 1

P59

【注 1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题 例(四川卷)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通 项公式; ( Ⅱ ) 等 差 数 列 ?bn ? 的 各 项 为 正 , 其 前

n 项 和 为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又

a1 ? b 1, a 2? b ,2a ? Tn 3 b 成等比数列,求 3
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解 : ( Ⅰ ) 由 an?1 ? 2Sn ? 1 可 得 an ? 2Sn?1 ? ? 1n ?

? 2,

两 式 相 减 得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴

an ? 3n?1
(Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9
2

故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d

由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? ∵ 等 差 数 列

解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∴ d ?2 ∴

?bn ?

的 各 项 为 正 , ∴ d ?0

Tn ? 3n ?

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

1.设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式 2.(上海卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? Sn ? 4096 。 (1)求数 列 {an } 的通项公式?( 2 )设数列 {log2 an }的前 n 项和为 Tn , 对数列 ?Tn ? ,从第几项起

Tn ? ?509 ?
.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 当 n ≥ 2 时 , an= Sn - Sn - 1=(4096 - an) - (4096 - an - 1)= an - 1 - an ∴

an 1 = a n ?1 2

3

an=2048(

1 n-1 ) . 2 1 n-1 ) ]=12-n, 2
∴Tn=

(2) ∵log2an=log2[2048(

1 2 (-n +23n). 2
∴从第 46 项起

由 Tn<-509,解得 n> Tn<-509.

23 ? 4601 ,而 n 是正整数,于是,n≥46. 2

3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 S n ,且 2

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 解: (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 . 因为 an ? 0 ,所以 210 q10 ? 1, (Ⅱ)因为 {an } 是首项 a1 ? 解得 q ?

1 1 n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. ,因而 a n ? a1 q 2 2

1 1 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
则数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ?

1 2

2 n ? ? ? n ), 2 2 2

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2
前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2
Tn ? n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2
例 P54 T9

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2



【问题 2】等差、等比数列的判定问题.P53 T7

[例]P54 T9(上海卷)已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的 前 n 项和为 S n ,且 a n ?1 = (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1.

4

( 1 ) 求 证 : 数 列 { an } 是 等 比 数 列 ; (2)若

a =2

2 2 k ?1

, 数 列 { bn } 满 足 bn =

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) ,求数列 { bn } 的通项公式; n 3 3 3 3 (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - | 2 2 2 2
≤4,求 k 的值. (1) [证明] 当 n=1 时,a2=2a,则

a2 =a; a1

2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴

a n ?1 =a, ∴数列{an}是等比数列. an
1? 2 ??? ( n ?1)

(2) 解:由(1) 得 an=2a

n ?1

, ∴a1a2…an=2 n a

=2 n a

n ( n ?1) 2

=2

n?

n ( n ?1) 2 k ?1

,

n(n ? 1) n ?1 ]? ? 1 (n=1,2,…,2k). 2k ? 1 2k ? 1 3 1 3 (3)设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ; 2 2 2 3 当 n≥k+1 时, bn> . 2 3 3 3 3 3 原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1- )+…+(b2k- ) 2 2 2 2 2
bn= [n ?

1 n

=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)

1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k k2 =[ 2 . ? k] ? [ 2 ? k] = 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
k2 当 ≤4,得 k2-8k+4≤0, 2k ? 1
∴当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 4.[例],已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,⑴ 设 数 列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) , 求 证 : 数 列 ?bn ? 是 等 比 数 列 ; ⑵ 设 数 列 4-2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,

cn ?
和。

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项 2n

分析:由于 {b n } 和 {c n } 中的项都和 {a n } 中的项有关, {a n } 中又有 S n?1 =4a n +2 ,可由
5

S n ? 2 -S n?1 作切入点探索解题的途径. 【注 2】本题立意与 2007 年高考题文科 20 题结构相似. 解 : (1) 由 S n?1 =4a n ?2 , S n ? 2 =4a n?1 +2 , 两 式 相 减 , 得 S n ? 2 -S n?1 =4(a n?1 -a
n

),即

a n ? 2 =4a n?1 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键,注 意加强恒等变形能力的训练) a n ? 2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n ① ②
n ?1

已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3 由①和②得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2



当 n≥2 时,S n =4a n?1 +2=2

n ?1

(3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适合上式.
n ?1

综上可知,所求的求和公式为 S n =2

(3n-4)+2.

说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列 通项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n?1 ? 4an ? 2 得出递推公式。 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后 面求解的过程中适时应用. 【问题 3】函数与数列的综合题 P51 例 3

数列是一特殊的函数,其定义域为正整数集,且是自变量从小到大变化时函数值的序 列。注意深刻理解函数性质对数列的影响,分析题目特征,探寻解题切入点. P51 例 3 ( 2006 湖北卷)已知二次函数 y = f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为
6

f ' ( x) = 6x - 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N * ) 均在函数 y = f ( x) 的图
像上。 (Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、设 bn = 求使得 Tn <

1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和, an an+ 1

m 对所有 n ? N * 都成立的最小正整数 m; 20

点评:本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技 能,考查分析问题的能力和推理能力。 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3× 12-2=6× 1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 2 6n ? 1 20 2 20

m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10.

5.设 f1 ( x) ?

f (0) ? 1 2 ,定义 f n ?1 ( x) ? f1 [ f n ( x)],a n ? n ,其中 n∈N*. 1? x f n (0) ? 2

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n , , 解: (1) f 1 (0) =2, a1 ?

2 ?1 1 2 ? , f n?1 (0) ? f1[ f n (0)] ? , 2?2 4 1 ? f n (0)

7

∴ a n ?1

2 ?1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? f n (0) 1 ? f n (0) 1 f (0) ? 1 1 ? ? ? ?? ? n ? ? an 2 f n ?1 (0) ? 2 4 ? 2 f n (0) 2 f n (0) ? 2 2 ?2 1 ? f n (0)



a n ?1 1 1 1 1 1 ? ? ,∴数列{an}上首项为 ,公比为 ? 的等比数列, a n ? (? ) n ?1 4 4 2 2 an 2

(2) T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n ,

1 1 1 1 1 ? T2 n ? (? )a1 ? (? )2a 2 ? (? )3a3 ? ? ? (? )2na 2 n , 2 2 2 2 2 1 1 2n [1 ? ( ) ] 1 3n ? 1 3 1 1 4 2 两式相减得: T2 n ? ? n ? (? ) 2 n ?1 , T2 n ? (1 ? 2 n ) 1 9 2 2 4 2 1? 2 6. (湖北卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=3x-2 的图像
上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 a n a n ?1

Tn ?

m ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m。 20

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分 析问题能力和推理能力。 解: (I)依题意得,

S
n
n

n

? 3n ? 2, 即 S n ? 3n2 ? 2n 。
n ?1
2

当 n≥2 时,a 当 n=1 时, 所以

a ? s ?s
n

2 ? (3n2 ? 2n) ? ?3 ? n ? 1? ? 2(n ? 1) ? ? 6n ? 5 ; ? ?

a ? s ? 3 ×1 -2×1-1-6×1-5
1 1 n

a ? 6 ? 5(n ? N ?) 。
n

(II)由(I)得 bn ?
n

3 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5) ?6( n ?1) ?5 ? 2 ? 6 n ?5 6 n ?1 ?



T n-

?

b=

1= 1

骣 1鼢 骣 骣 1 1 ? 1轾 1 1 1 ? 1? 珑 ? 犏 = ?1 ? 。 1- 鼢 + + ... + ? 珑 ? 珑 7鼢 桫 ?6n - 5 6n + 1? 2 ? 6n ? 1 ? 桫 桫 2犏 7 13 ? 臌

因此,使得

1 m 1? 1 ? m ?1 ? ? ﹤ 20 ? n ? N ?? 成立的 m 必须满足 2 ≤ 20 ,即 m≥10,故满足要 2 ? 6n ? 1 ?
8

求的最小整数 m 为 10。 【问题 4】数列与解析几何 数列与解析几何综合题,是今后高考命题的重点内容之一,求解时要充分利用数列、解 析几何的概念、性质,并结合图形求解. 例 3. 在直角坐标平面上有一点列 P 对一切正整数 n , 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ?, P n ( xn , y n ) ? , 点 Pn 位于函数 y ? 3 x ? 数列 ?xn ? . ⑴求点 Pn 的坐标;子⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, 第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜 率为 k n ,求:

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差 4 2

1 1 1 . ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n
5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2

解: (1) x n ? ?

? yn ? 3 ? xn ?

13 5 3 5 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4

(2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为:

y ? a( x ?

2n ? 3 2 12 n ? 5 ) ? , 2 4

把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1 。

k n ? y ' | x?0 ? 2n ? 3 ,?
?
=

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ??? 7 9 2n ? 1 2n ? 3 k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6

点评:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大。 ( 1) 、 (2)两问运用几何知识算出 kn . 7.已知抛物线 x ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点 P1
2

作斜率为

1 1 的直线交抛物线于点 P 的直线交抛物线于点 P 2 ,再过 P 2 作斜率为 3 , ? ,如 2 4

9

此继续,一般地,过点 P n 作斜率为

1 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P n ( xn , yn ) . 2n

(Ⅰ)令 bn ? x2n?1 ? x2n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列.并求数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn 解: (1)因为 P n ( xn , yn ) 、 P n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) 在抛物线上,故 xn ? 4 yn , ① xn?1 ? 4 yn?1 ②, 又因为直线 P nP n?1 的斜率为
2 2

y ? yn 1 1 ,即 n ?1 ? ,①②代入可得 n 2 xn ?1 ? xn 2

1 x2n?1 ? x2n 1 1 ? n ? xn?1 ? xn ? n?2 4 xn?1 ? xn 2 2
?bn ? x2n?1 ? x2n?1 ? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( x2n ? x2n?1 ) ?
bn?1 1 1 ? ? {bn } 是以 4 bn 4
为公比的等比数列; S n ? ? 【问题 5】数列与算法 8. 数列 {an }的前 n 项和为 Sn =n +2n-1,试用程序框图
2

开始

1 2
2n?2

?

1 2
2 n ?3

??

1 2
2 n?2



故 输入n

n=1



4 1 3 1 (1 ? n ) ? Sn ? 1 ? n , 3 4 4 4


f (n) ? 1 3
f (n) ? f (n ? 1) 2(n ? 1) ? 1 2(n ? 1) ? 3

开始
表示数列通项 an 的过程,并写出数列的前 5 项和通项公式 an . 9.根据流程图,(1)求 a3 ;(2)若 an ? 【问题 6】数列创新题 10.(安徽卷)数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 =

1 ,求 n. 4015
1 , Sn = n 2 an - n (n - 1), n = 1, 2, 鬃 ? 2

(Ⅰ)写出 Sn 与 Sn- 1 的递推关系式 (n ? 2),并求 Sn 关于 n 的表达式;

S n n+ 1 x , bn = f n/ ( p )( p ? R ) ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn 。 n 2 2 解:由 Sn = n an - n(n - 1) (n ? 2)得: Sn = n (Sn - Sn- 1 ) - n(n - 1) ,即
(Ⅱ)设 f n ( x) =

(n2 - 1)Sn - n2 Sn- 1 = n(n - 1) ,所以


n+ 1 n Sn Sn- 1 = 1 ,对 n ? 2 成立。 n n- 1

n+ 1 n n n- 1 3 2 Sn Sn- 1 = 1 , Sn- 1 Sn- 2 = 1 , S1 = 1 相加得: ?, S 2 n n- 1 n- 1 n- 2 2 1

n+ 1 1 n2 S n - 2 S1 = n - 1 ,又 S1 = a1 = ,所以 S n = ,当 n = 1 时,也成立。 n 2 n+ 1

10

(Ⅱ)由 f n ( x ) =

S n n+ 1 n n+ 1 x = x ,得 bn = fn/ ( p) = npn 。 n n+ 1

而 Tn = p + 2 p2 + 3 p3 + ?+ (n - 1) pn- 1 + npn ,

pTn = p2 + 2 p3 + 3 p4 + ?+ (n - 1) pn + npn+ 1 ,
(1- P)Tn = p + p 2 + p3 + ? + p n- 1 + p n - np n+ 1 =
1

p(1- p n ) - np n+ 1 1- p

11.(福建卷)已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+ a n 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数

3 5 1 1 列,如当 a=1 时,得到无穷数列: 1,2, , , ?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2 1 (Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ)设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1= (n ? N ? ) ,求证 bn ? 1
a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}; (I)解法一:? a1 ? a, a n ?1 ? 1 ?

1 , an

\ a2 = 1+

1 1 a+ 1 1 2a + 1 1 3a + 2 2 = 1+ = , a3 = 1+ = a4 = 1+ = .故当a = - 时a4 = 0. a1 a a a2 a+ 1 a3 2a + 1 3

解法二 : ? a4 = 0, \ 1 +

1 1 1 1 2 2 = 0, \ a3 = - 1.? a3 = 1 + , \ a2 = .? a2 = 1 + , \ a = - .故当a = - 时a4 = 0. a3 a2 2 a 3 3 b 1 , \ bn = + 1.a取数列{bn }中的任一个数不妨设a = bn . bn - 1 bn+ 1

( II )解法一 : ? b1 = - 1, bn+ 1 = ? a = bn , \ a2 = 1 + \ an = 1 + 1 an- 1

1 1 1 1 = 1+ = bn- 1. \ a3 = 1 + = 1+ = bn- 2 .?? a1 bn a2 bn- 1 1 = b1 = - 1. b2 \ an+ 1 = 0.

= 1+

故 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an} 12. (全国卷 III) 在等差数列 {an } 中,公差 d ? 0, a2是a1与a4 的等比中项. 已知数列 a1 , a3 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?成等比数列,求数列 {k n } 的通项 k n . 解:由题意得: a2 ? a1a4 ?????1 分
2

即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ????3 分
2

又 d ? 0, ? a1 ? d ????4 分
11

又 a1 , a3 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?成等比数列, ∴该数列的公比为 q ? 所以 akn ? a1 ? 3
n?1

a3 3d ? ? 3 ,???6 分 a1 d

???8 分

又 akn ? a1 ? (k n ? 1)d ? k n a1 ??????????????10 分

? k n ? 3n?1 所以数列 {k n } 的通项为 k n ? 3n?1 ???????????12 分
课后训练: 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.如果-1,a, b,c,-9 成等比数列,那么 A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9

2.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于 A.40 B.42 C.43 D.45

3. (06 广东卷)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其 公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2

4.若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? A.4 B.2 C.-2 D.-4

5. (06 江西卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB =a1 OA +a 200 OC ,且 A、B、 C 三点共线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( A.100 B. 101 ) D.201

??? ?

????

??? ?

C.200

6.(文科做)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等 于 A. 2
n ?1

?2

B. 3n

C. 2 n

n D. 3 ? 1

7 . 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 0, a n ?1 ? ( )

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) , 则 a2007 =

12

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2

S3 1 S6 8. (06 全国 II)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = S6 3 S12

A.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9 ) D.45

9.已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于( A.18 B.27 C.36

10. (06 天津卷)已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 , 且 a1 ? b1 ? 5 ,a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于( A.55 B.70 C.85 D.100 )

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14,S10- S7 =30,则 S9= 12.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. 13. 已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值范围是 _
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.

________

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14. 等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项为 _________
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15.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为 .

三、解答题(共 4 小题,每小题 4 分,共 24 分) 16
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已知正项数列 ?an ? , 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an 2 ? 5an ? 6, 且 a1 , a2 , a15 成等比数列,

求数列 ?an ? 的通项 an . 17.(文科做) (06 福建)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

(II)求数列 ?an ? 的通项公式;

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数

18. (山东卷) 已知数列 { an } 中,a1 ?

1 、点(n、 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上, 其中 n=1,2,3?. 2

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 ?bn ?是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ?的通项;
13

(Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、 为等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? Sn ? ?Tn ? ? ? n ?

答案与点拨: 1 B 解:由等比数列的性质可得 ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9 且 b 与奇数项的符号 相同,故 b=-3,选 B 2 B 解:在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, ∴ d=3,a5=14, a4 ? a5 ? a6 =3a5=42, 选 B. 3 D 解: ? 4

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30

b ?c ? 10 可 D 解:由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设 a=b-d,c=b+d,由 a ? 3

得 b=2,所以 a=2-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得 d=6,所以 a=-4,选 D 5 A 解:依题意,a1+a200=1,故选 A 6 (文)C 解:因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 ? 也是等比数列, 则

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1

即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。 7 .A 提示:由 a1=0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N ? ). 得 a2=- 3, a3 ? 3, a4 ? 0,? ? ? ? ? ?

由此可知:数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=- 3. 故选 A 8 A 解:由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

所以

S6 6a ? 15d 27d 3 ? 1 ? ? ,故选 A S12 12a1 ? 66d 90d 10

点评:本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般 9 C 解:在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴ a1 ? a9 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S9=

9(a1 ? a9 ) =36, 2
14

选C 10 C 解: 数列 {an } 、 其首项分别为 a1 、 且 a1 ? b1 ? 5 , b1 , {bn } 都是公差为 1 的等差数列,

a1 , b1 ? N * . 设 cn ? abn ( n ? N * ), 则 数 列 {cn } 的 前 10 项 和 等 于
ab1 ? ab2 ? ? ? ab10 = ab1 ? ab1 ?1 ? ?? ab1 ?9 , ab1 ? a1 ? (b1 ?1) ? 4 ,∴ ab1 ? ab1 ?1 ??? ab1 ?9
= 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 13 ? 85 ,选 C. 11.(文)解:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4a1 ?

4(4 ? 1) d ? 14, 2 10(10 ? 1) 7(7 ? 1) 9(9 ? 1) [10 a1 ? d ] ? [7a1 ? d ] ? 30 , ? 1 ? 54 联立解得 a1=2,d=1, 所以 S9= 9 ? 2 ? 2 2 2

12.

2n?1 ? 3

解 : 在 数 列

?an ?

中 , 若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) , ∴

an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) ,即 { an ? 3 } 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项, 2 为公比的等比数列,

an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以该数列的通项 an ? 2n?1 ? 3 .
13 14
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(-∞,8) a11=29

提示 提示
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解出 a、b,解对数不等式即可 利用 S 奇/S 偶=

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答案

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(-∞,8)

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n ?1 得解 n

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第 11 项 a11=29

15.-2

提示:由题意可知 q≠1,∴可得 2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即 q2+q-2=0,解得 q=-2

或 q=1(不合题意,舍去),∴q=-2.

16 解:13

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∵10Sn=an2+5an+6, ①

∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3.

又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 17. ( I ) 证 明 :

? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,
? an? 2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ),? a1 ? 1, a2 ? 3,? an? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
15

(II)解:由(I)得

an?1 ? an ? 2n (n ? N * ), ?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ?1(n ? N * ).
(III)证明:? 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn ,
① ② ③

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,

即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0.

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

④ 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
1 、点(n、 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上, 其中 n=1,2,3?. 2

18. (山东卷) 已知数列 { an } 中,a1 ?

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 (Ⅱ)求数列 ?an ? ?bn ?是等比数列; 的通项; (Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、 为等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? Sn ? ?Tn ? ? ? n ?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2 3 3 1 3 ? a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4
解: (I)由已知得

a1 ?

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ?1,

b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ?1 n ? bn an ? 2 ? an ?1 ? 1

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 2 2 ? 2 ? . an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2

3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 4 2 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2
16

3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? 2 ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2
(III)解法一:

S n ? ?Tn } 是等差数列. n 1 1 1 ? Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3(1 ? 1 ) ? n ? 3n ? ? 3 ? n ? 3n ? 3. ? 3? 2 1 2n 2 2n 2 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n n
存在 ? ? 2 ,使数列 { 即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn,

3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? 3 ? ? (? ? n?1 ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) 又 Sn ? ?Tn ? ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

? 当且仅当 1 ?
解法二:

?
2

? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 {

S n ? ?Tn } 为等差数列. n

存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2 ? S n ? 2T ?

n(n ? 1) ? 2n 2

Sn ? ?Tn ? n

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 2 ? ? Tn 2 n n

17

3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 又 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n?1 1? 2 Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2 S ? ?Tn } 是等差数列. ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n n

18


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