【解析版】天津市耀华中学2013届高三第二次校模拟理数

2013 年天津市耀华中学高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的, 将答案涂在答题卡上. 1. (5 分) (2008?辽宁)复数 A. B. 的虚部是( C. ) D.

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 分析: 本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念. 解答: 解:依题: ∴ 虚部为 故选 B. 点评: 本题是对基本概念的考查. 2. (5 分)下列有关命题的叙述,错误的个数为( )

① 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则“a6+a7>0”是“S9≥S3”的充要条件 ② 命题“存在实数 x,使 x>l”的否定是“对任意实数 x,使 x<1” ③ 命题“若 x ﹣4x+3=0,则 x=l 或 x=3”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠3,则 x ﹣4x+3≠0 ④ 若 p∨ q 为假命题,则 p、q 均为假命题. A.1 B .2 C.3 D.4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型. 分析: 对① ,利用等差数列的性质判断即可; 对② ,根据特称命题的否定为全称命题来判断即可; 对③ ,根据逆否命题的定义及逻辑连接词“或、且”的含义来判断即可; 对④ ,根据复合命题真值表判断即可. 解答: 解:对① ,∵ a6+a7=a5+a8=a4+a9>0,∴ S9﹣S3=a4+a5+…+a9>0,∴ a6+a7>0?S9>S3;而 S9≥S3 时,a6+a7 >0 不一定成立,故① 错误; 对② ,命题“存在实数 x,使 x>l”的否定应是“对任意实数 x,使 x≤1”,故② 错误; 2 2 对③ , 命题“若 x ﹣4x+3=0, 则 x=l 或 x=3”的逆否命题应为“若 x≠1 且 x≠3, 则 x ﹣4x+3≠0”, 故③ 错误; 对④ ,根据复合命题真值表,若 p∨ q 为假命题,则 p、q 均为假命题,④ 正确. 故选 C. 点评: 本题借助考查命题的真假判断,考查等差数列的性质、特称命题的否定及复合命题的真假判定. 3. (5 分)由曲线 y= A. ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( B .4 C. ) D.6
2 2

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线 y= 定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解.

,直线 y=x﹣2 的交点,确

解答: 解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) , ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为 .

故选 C. 点评: 本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查学生的转化与 化归能力和运算能力,考查学生对定积分与导数的联系的认识,求定积分关键要找准被积函数的原 函数,属于定积分的简单应用问题. 4. (5 分)设二项式 是( A.1 ) B .2 C.3 D.4 (a>0)的展开式中 x 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值
3

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数为 3,0,求出 A,B,再列出方程求出 a. 解答: 解:展开式的通项为 Tr+1= 令 6﹣ 令 6﹣ ∵ B=4A ∴ 15a =4×15a ∵ a>0,∴ a=2. 故选 B. 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,考查学生的计算能力,属于中 档题. 5. (5 分) (2012?广东)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( )
4 2

=(﹣a) =15a =15a
2

r

=3,得 r=2,则 A= =0,得 r=4,则 B=

4

A.105

B.16

C.15

D.1

考点: 循环结构. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为 s=1×3×5×…×(2i﹣1) ,由此能够求出结果. 解答: 解:如图所示的循环结构是当型循环结构, 它所表示的算式为 s=1×3×5×…×(2i﹣1) ∴ 输入 n 的值为 6 时,输出 s 的值 s=1×3×5=15. 故选 S.

点评: 本题考查当型循环结构的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 6. (5 分)在△ ABC 中,设 A. B .1

,则 sinB 的值为( C.

) D.

考点: 正弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 解三角形. 分析: 在△ ABC 中,由 a+c=2b,利用正弦定理可得 sinA+sinC=2sinB,再利用和差化积公式、诱导公式以 及 A﹣C= 解答: ,求得 sin 的值,可得 cos 的值,再利用二倍角公式求得 sinB 的值. cos =4sin cos .

解:在△ ABC 中,∵ a+c=2b,由正弦定理可得 sinA+sinC=2sinB,∴ 2sin 再由 A﹣C= ∴ cos = . , ,可得 sin cos =2sin cos ,解得 sin = ,

故 sinB=2sin cos =

故选 D. 点评: 本题主要考查正弦定理、两角和差的余弦公式、以及和差化积公式的应用,属于中档题.

7. (5 分) (2013?天津模拟)在平行四边形 ABCD 中, ,则实数 λ 与 μ 的乘积为( )



,连接 CE、DF 相交于点 M,若

A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 =2(λ﹣μ) +μ =

,由 E、M、C 三点共线,可得 2λ﹣μ=1,① 同理可得

,由 D、M、F 三点共线,可得 λ+μ=1,② ,综合① ② 可得数值,作乘积

即可. 解答: 解:由题意可知:E 为 AB 的中点,F 为 BC 的三等分点(靠近 B) 故 =(λ﹣μ) +μ = =2(λ﹣μ) = +μ ,

因为 E、M、C 三点共线,故有 2(λ﹣μ)+μ=1,即 2λ﹣μ=1,① 同理可得 = = = , )=1,即 λ+μ=1,② =

因为 D、M、F 三点共线,故有 λ+(μ 综合① ② 可解得 λ= ,

,故实数 λ 与 μ 的乘积

故选 B 点评: 本题考查平面向量基本定理即意义,涉及三点共线的结论,属中档题. 8. (5 分) (2013?浙江模拟)已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y﹣4) =1 上一个动点,那 么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到 y 轴距离之和最小值是( ) A. B. C. D. 考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义可知 P 到准线的 距离等于点 P 到焦点的距离, 进而问题转化为求点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和 的最小值,根据图象可知当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的 y 轴距离之和的 最小,为圆心到焦点 F 的距离减去圆的半径减去 y 轴与准线的距离. 2 2 解答: 解:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0) ,圆 x +(y﹣4) =1 的圆心为 C(0,4) , 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离, 进而推断出当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的 y 轴距离之和的最小为: |FC|﹣r﹣1= ﹣1﹣1= ,
2 2 2

故选 B. 点评: 本题主要考查了抛物线的定义的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想. 二、填空题:共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案填写在后面的答题卡上

9. (5 分)对某商店一个月(30 天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) ,则该 样本的中位数、众数分别是 46 、 45 .

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 直接利用茎叶图,求出该样本的中位数、众数,即可. 解答: 解:由题意可知茎叶图共有 30 个数值,所以中位数为:

=46.

出现次数最多的数是 45,故众数是 45. 故答案为:46,45. 点评: 本题考查该样本的中位数、众数、极差,茎叶图的应用,考查计算能力. 10. (5 分) 已知直线 PA 切⊙ O 于点 A, PBM 是⊙ O 的一条割线, 如图所示有∠ P=∠ BAC, 若 PA= BC=5,则 AB= . , BM=9,

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 先根据切割线定理得到 PA2=PB?PM,求出 PB 的长;结合 PA 为⊙ O 的切线,∠ PAB=∠ ACB,又有 ∠ P=∠ BAC 得到△ PAB∽ △ ACB,得到 ,进而求出结果.

解答: 解:∵ PA 为⊙ O 的切线,PBC 是过点 O 的割线, 2 2 ∴ PA =PB?PM,即 PA =PB?(PB+BM) , 2 又∵ PA= ,BM=9,∴ ( ) =PB?(PB+9) , ∴ PB=7, 又∵ PA 为⊙ O 的切线, ∴ ∠ PAB=∠ ACB, 又有∠ P=∠ BAC, ∴ △ PAB∽ △ ACB, ∴ ,∴ AB= = =

故答案为: . 点评: 本题考查了相似三角形的性质和判定,切割线定理,圆周角定理等知识点的应用,主要考查学生的 推理能力,综合性比较强,有一定的难度. 11. (5 分) (2012?湖北)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 12π .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意三视图可知,几何体是有 3 个圆柱体组成的几何体,利用三视图的数据,求出几何体的体积 即可. 解答: 解:由题意可知几何体是有两个底面半径为 2,高为 1 的圆柱与一个底面半径为 1,高为 4 的圆柱组 成的几何体, 2 2 所以几何体的条件为 V=2×2 π×1+1 π×4=12π. 故答案为:12π. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查空间想象能力与计算能力. 12. (5 分)已知数列{an}满足 ,则 的最小值为 .

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用数列递推式,可得数列{ 数的单调性,即可求 解答: 解:∵ ∴ ∴ 数列{ ∴ =n+9 , =1

}是以 10 为首项,1 为公差的等差数列,可得数列的通项,再利用函

的最小值.

}是以 10 为首项,1 为公差的等差数列



=

=n+

+11

∵ y=n+

在(0,3

)上单调递减,在(3

,+∞)上单调递增

∴ n=4 时,

取得最小值为

故答案为: 点评: 本题考查数列递推式,考查等差数列的判断,考查数列的最值,取得数列的通项是关键.
2

13. (5 分)若关于 x 的不等式 2﹣x ≥|x﹣a|至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是



考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 原不等式为:2﹣x2≥|x﹣a|,我们在同一坐标系画出 y=2﹣x2(y≥0,x>0)和 y=|x|两个图象,利用 数形结合思想,易得实数 a 的取值范围. 2 2 解答: 解:不等式为:2﹣x ≥|x﹣a|,且 0≤2﹣x . 在同一坐标系画出 y=2﹣x (y≥0,x>0)和 y=|x|两个函数图象, 将绝对值函数 y=|x|向左移动,当右支经过 (0,2)点,a=﹣2; 将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线 y=2﹣x (y≥0,x>0)相切时, 由 可得 x ﹣x+a﹣2=0,
2 2 2

再由△ =0 解得 a= . 数形结合可得,实数 a 的取值范围是 故答案为: . .

点评: 本题考查的知识点是一元二次函数的图象,及绝对值函数图象,其中在同一坐标中,画出 y=2﹣x2 (y≥0,x>0)和 y=|x|两个图象,结合数形结合的思想得到答案,是解答本题的关键. 14. (5 分)函数 f(x)在 R 上既是奇函数又是减函数,且当 θ∈(0, 2m﹣2)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 . )时,f(cos2θ+2msinθ)+f(﹣

考点: 复合三角函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数是奇函数原不等式化简为 f(cos2θ+2msinθ)>f(2m+2) ,再借助于函数的单调性可得 1﹣

2sin θ+2msinθ<2m+2,利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案. 解答: 解:∵ 函数 f(x)在 R 上是奇函数,f(cos2θ+2msinθ)+f(﹣2m﹣2)>0 ∴ f(cos2θ+2msinθ)>f(2m+2) ∵ y=f(x)是减函数, ∴ cos2θ+2msinθ<2m+2 恒成立. ∴ 1﹣2sin θ+2msinθ<2m+2 恒成立. 2 设 t=sinθ∈[0,1],等价于 2t ﹣2mt+2m+1>0 在 t∈[0,1]恒成立. 2 只要 g(t)=2t ﹣2mt+2m+1 在[0,1]的最小值大于 0 即可. (1)当 m<0 时,最小值为 g(0)=2m+1≥0,所以可得:0>m≥﹣ (2)当 0≤m≤1 时,最小值为 g( )=﹣ m +2m+1≥0,所以可得:0≤m≤1 (3)当 m>1 时,最小值为 g(1)=2≥0 恒成立,得:m>1, 综之:m≥﹣ 为所求的范围. 故答案为:m≥﹣ . 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的综合,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 三.解答题:共 6 个小题,总计 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分)已知向量 , ,函数 .
2 2

2

(Ⅰ )求 f(x)的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ )已知 a、b、c 分别为△ ABC 内角 A、B、C 的对边,且 a,b,c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f(B) =1,求 的值.

考点: 平面向量数量积的运算;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )把给出的向量的坐标代入函数解析式,化简整理后得到 即可得到使函数取得最大值 1 的 x 的取值集合;

,直接由

(Ⅱ )由 B 为锐角,利用 f(B)=1 求出 B 的值,把要求的式子切化弦,由 a,b,c 成等比数列得到 sin B=sinAsinC,代入化简后即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ ) = = = 故 f(x)max=1,此时 所以取得最大值的 x 的集合为{x| = . ,得 }. . = ﹣2
2

(Ⅱ )由 f(B)= ∴ ,∴ .
2

,又∵ 0<B<

,∴



由 a,b,c 成等比数列,则 b =ac,∴ sin B=sinAsinC. ∴ = = .

2

点评: 本题考查了平面向量数量积的运算, 考查了正弦定理, 解答此题的关键是“降幂化积”, “角边互化”. 是 解决此类问题常用到的办法,此题是中档题. 16. (13 分)一个袋子中有形状和大小完全相同的 3 只白球与 2 只黑球,若取至一个白球得 2 分,取到一 个黑球得 3 分, (I)若无放回地依次抽取 3 个小球,求得分不少于 7 分的概率. (II)若从袋子中有放回地依次取出 3 只球,求总得分 ξ 的概率分布列及期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (I)从 5 个球中无放回地依次抽取 3 个小球共有 种方法,可得所求事件的对立事件共 1 种情形, 可得其概率,进而可得所求; (II)由题意可得甲的总得分 ξ 共有有 6、7、8、9 四种情况,分别求得 概率,进而可得 ξ 的概率分布列和期望. 解答: 解: (I)从 5 个球中无放回地依次抽取 3 个小球共有 种方法,

记“无放回地依次抽取 3 个小球,得分不少于 7 分”为事件 A, 其对立事件 为“无放回地依次抽取 3 个小球,得分少于 7 分” 即抽到的是 3 只白球,仅 1 种情况. 故可得 P(A)=1﹣P( )=1﹣ =1﹣ =

(II)由题意可得甲的总得分 ξ 共有有 6、7、8、9 四种情况, P(ξ=6)= P(ξ=8)= = ,P(ξ=7)= = ,P(ξ=9)= = = ,

故 ξ 的概率分布列为: ξ 6 P \frac{27}{125} 故甲总得分的数学期望 Eξ=

7

8 \frac{36}{125} =

9 \frac{8}{125}

点评: 本题考查离散型随机变量及其分布列,涉及数学期望的求解,属中档题. 17. (13 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 平面 PAB⊥ 平面 ABCD, AD∥ BC, ∠ ABC=90°, PA=PB=3, BC=1, AB=2,AD=3,O 是 AB 中点.

(I)证明 CD⊥ 平面 POC; (II)求二面角 C﹣PD﹣O 的平面角的余弦值. (Ⅲ )在侧棱 PC 上是否存在点 M,使得 BM∥ 平面 POD,若存在试求出 ,若不存往,清说明理由.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)过 C 点作 CE⊥ AD 于 E,△ OCD 中算出 OC= 、CD=2 且 OD= ,由勾股定理的逆定理 证出 OC⊥ CD.利用面面垂直的性质与线面垂直的性质,证出 PO⊥ CD,结合线面垂直判定定理即可 证出 CD⊥ 平面 POC; (II)设 CD 的中点为 F,连结 OF,分别以 OB、OF、OP 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立直角坐标系 O ﹣xyz.可得 C、D、P、O 各点的坐标,从而可得 、 的坐标,利用垂直向量数量积为 0 的方法

建立方程组,解出 =(3,1,0)为平面 P0D 的一个法向量 ,同理求出平面 PCD 的一个法向量为 =( , ,1) .利用空间向量夹角公式算出 、 夹角的

余弦值为 ,即可得到二面角 C﹣PD﹣O 的平面角的余弦值; (III)设侧棱 PC 上存在点 M 且 =λ,使得 BM∥ 平面 POD.算出向量 ? =0,解出 =(﹣λ,﹣λ+1,2 λ) ,

根据平面的平行向量与其法向量互相垂直,得到 存在点 M,当 = 时满足 BM∥ 平面 POD.

,由此即可得到在侧棱 PC 上

解答: 解: (I)平面 ABCD 内,过 C 点作 CE⊥ AD 于 E ∵ 直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,BC=1,AB=2,AD=3,∴ AE=1,CE=2 Rt△ CDE 中,DE=2,可得 CD= ∵ Rt△ BOC 中,BO= AB=1,BC=1,∴ OC= 同理,得 OD=
2 2 2

=2 =

=

∴ OD =10=OC +CD ,可得△ OCD 是以 CD 为斜边的直角三角形, ∴ OC⊥ CD ∵ PA=PB,O 是 AB 中点,∴ PO⊥ AB, ∵ 平面 PAB⊥ 平面 ABCD,平面 PAB∩ 平面 ABCD=AB,PO?平面 PAB, ∴ PO⊥ 平面 ABCD,结合 CD?平面 ABCD,得 PO⊥ CD ∵ PO、OC 是平面 POC 内的相交直线,∴ CD⊥ 平面 POC;

(II)设 CD 的中点为 F,连结 OF,则直线 OB、OF、OP 两两互相垂直, 分别以 OB、OF、OP 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立直角坐标系 O﹣xyz,如图所示 则 C(1,1,0) ,D(﹣1,3,0) ,P(0,0,2 ) , 可得 =(0,0,2 ) , =(﹣1,3,0) , ,

设 =(x,y,z)为平面 P0D 的一个法向量,则

取 y=1,得 x=3 且 z=0,得 =(3,1,0) 同理求出平面 PCD 的一个法向量为 =( ∵ cos< , >= = , ,1) =

∴ 二面角 C﹣PD﹣O 的平面角的余弦值等于 ; (III)设侧棱 PC 上存在点 M,使得 BM∥ 平面 POD,此时 ∵ =(1,1,﹣2 ∴ =λ ) , =(0,1,0) λ) ,可得 = + =(﹣λ,﹣λ+1,2 λ) , =λ,则

=(﹣λ,﹣λ,2

∵ BM∥ 平面 POD, =(3,1,0)为平面 P0D 的一个法向量 ∴ ? =﹣3λ﹣λ+1=0,解之得 因此,侧棱 PC 上存在点 M,当 = 时满足 BM∥ 平面 POD.

点评: 本题给出特殊的四棱锥,求证线面垂直、求二面角的余弦值并探索线面垂直的存在性.着重考查了 面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识,属于中档 题.

18. (13 分) (2011?昌平区二模)已知数列{an}满足 a1= ,且对任意 n∈N ,都有

*



(Ⅰ )求证:数列

为等差数列;
*

(Ⅱ )试问数列{an}中 ak﹣ak+1(k∈N )是否仍是{an}中的项?如果是,请指出是数列的第几项;如果不是, 请说明理由. (Ⅲ )令 ,证明:对任意 n∈N*,都有不等式 成立.

考点: 用数学归纳法证明不等式;等差关系的确定;数列与不等式的综合. 专题: 证明题;综合题. 分析: (Ⅰ )条件可变形为 anan+1+2an=4anan+1+2an+1,整理得 2an﹣2an+1=3anan+1,两边同除以 anan+1,可得 ,从而可得数列 (II)由(Ⅰ )可得数列 是以 为首项,公差为 的等差数列. ,所以 = ,从而可得 .只需证明 是正整

的通项公式为

数即可. (Ⅲ )由(II)知: 2 解答: 解: (Ⅰ )∵ ∴ anan+1+2an=4anan+1+2an+1, 即 2an﹣2an+1=3anan+1, 所以 所以数列 是以 为首项,公差为 的等差数列. 的通项公式为 = ,所以 .
n+4 2


k+4

.下面用数学归纳法证明:
2

>(n+4) 对任意 n∈N*都成立.对于当 n=k(k∈N*)时,有 2 >(k+4) ,当 n=k+1 时,2 (k+1)+4 k+4 2 2 2 2 2 =2?2 >2(k+4) =2k +16k+32=(k+5) +k +6k+7>(k+5) ,从而可证.

(II)由(Ⅰ )可得数列 ∴

因为 当 k∈N 时,
*

一定是正整数,所以 项.

是正整数.

所以 ak﹣ak+1 是数列{an}中的项,是第 (Ⅲ )证明:由(II)知:
n+4


2



下面用数学归纳法证明:2 >(n+4) 对任意 n∈N*都成立. 5 2 (1)当 n=1 时,显然 2 >5 ,不等式成立. * k+4 2 (2)假设当 n=k(k∈N )时,有 2 >(k+4) ,

当 n=k+1 时,2 即有:

(k+1)+4

=2?2

k+4

>2(k+4) =2k +16k+32=(k+5) +k +6k+7>(k+5)

2

2

2

2

2

也成立.
*

综合(i) (ii)知:对任意 n∈N ,都有不等式

成立.

点评: 本题以数列递推式为载体,考查等差数列的定义,考查不等式的证明,解题的关键是正确利用递推 式求通项,掌握数学归纳法的证题步骤.

19. (14 分)已知椭圆

的左顶点 A(﹣2,0) ,过右焦点 F 且垂直于长轴的弦

长为 3. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 Q,与 y 轴交于点 R,过原点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P,求证: 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (Ⅰ )依题意,可求得 a=2,b =3,从而可得椭圆 C 的方程; (Ⅱ )由题意知,直线 AQ,OP 斜率存在,故设为 k,则直线 AQ 的方程为 y=k(x+2) ,直线 OP 的

方程为 y=kx. 可得 R (0, 2k) , |AR|=2

, A (x1, y1) , Q (x2, y2) , 联立方程组



得: (4k +3)x +16k x+16k ﹣12=0,利用韦达定理可得 x1+x2=﹣

2

2

2

2

,x1x2=

,从而

求得|AQ|=

; 再设 y=kx 与椭圆交另一点为 M (x3, y3) , P (x4, y4) , 可求得, |x4|=



从而得|OP|= 解答:

?

;继而可求得

的值.

解: (1)a=2,设过右焦点 F 且垂直于长轴的弦为 MN,将 M(c,yM)代入椭圆方程 得 yM=± 故 ,…(2 分)
2

+

=1,解

=3,可得 b =3.

…(4 分)

所以,椭圆方程为

+

=1.

…(6 分)

(2)由题意知,直线 AQ,OP 斜率存在,故设为 k,则直线 AQ 的方程为 y=k(x+2) ,直线 OP 的 方程为 y=kx.可得 R(0,2k) ,

则|AR|=2

,…(8 分)

设 A(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,联立方程组
2 2 2 2



消去 y 得: (4k +3)x +16k x+16k ﹣12=0, x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

则|AQ|=

|x1﹣x2|=

=



…(11 分)

设 y=kx 与椭圆交另一点为 M(x3,y3) ,P(x4,y4) ,联立方程组



消去 y 得(4k +3)x ﹣12=0,|x4|=

2

2



所以|OP|=

|x4|=

?



…(13 分)



=

=2.

所以

等于定值 2…(15 分)

点评: 本题主要考椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和 综合解题能力,属于难题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x +2lnx+aln(1+x ) . (I)若 a= 求 f(x)的极值;
2 2

(II)已知 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2 (i) 求 a 的取值范围 (ii)求证:f(x1)<1﹣4ln2 n n﹣1 n n n (III) a=0 时,求证[f'(x)] ﹣2 f'(x )≥2 (2 ﹣2) 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (I)a=﹣ 时求出导数 f′ (x) ,在定义域内解不等式 f′ (x)>0,f′ (x)<0,由导数符号即可求 得其极值;

(II) (i)求导数 f′ (x)=

,令 t=x ,问题转化为方程 t +(a+2)t+1=0 有

2

2

两个不同正根,从而有
4 2

,解出即得 a 的范围;

(ii)由(i)知 x1,x2 为方程 x +(a+2)x +1=0 的两根,且结合韦达定理可知,0<x1<1,再由 a <﹣4,得 f(x1)= (1+ +2lnx1+aln(1+ )< +2lnx1﹣4ln(1+ ) ,令 g(x1)= +2lnx1﹣4ln

) ,利用导数可判断 g(x1)的单调性,由单调性得 g(x1)<g(1) ,整理后即得结论; , + + ) ,令 ,利用倒序相加法可得 2Sn,再运用基本不 ,则左边[f'(x)] ﹣2
n n﹣1

(III)a=0 时求出 ( Sn= + +

f'(x )=2

n

n

等式即可证明; 解答: 解: (I) a=﹣ 时, ( f x) =x +2lnx﹣ ln (1+x ) (x>0) , f′ (x) =2x+ ﹣
2 2

=



当 0<x<

时,f′ (x)>0,当 )=2+ln2﹣

时,f′ (x)<0,当 x> ,f(x)极大=f( )=

时,f′ (x)>0, .

故 f(x)极小=f(

(II)由(I)计算过程不难计算出 f′ (x)=



令 t=x ,故只需 t +(a+2)t+1=0 有两个不同正根,即

2

2



所以 a 的范围为 a<﹣4. 4 2 因此 x1,x2 为方程 x +(a+2)x +1=0 的两根,且结合韦达定理可知, 0<x1<1,再由 a<﹣4, 所以 f(x1)= 令 g(x1)= +2lnx1+aln(1+ +2lnx1﹣4ln(1+ )< +2lnx1﹣4ln(1+ ) ,

) ,易知 g′ (x1)≥0,即 g′ (x1)单调递增,

所以 g(x1)<g(1)=1﹣4ln2,从而命题得证. (III)a=0 时,f(x)=x +ln2x,所以 故左边[f'(x)] ﹣2 令 Sn= +
n n﹣1 2

, + + ,

, ) ,

f'(x )=2 ( +

n

n

利用倒序相加法可得,2Sn= ( ≥2( +x +
n﹣2

(x

n﹣2

+

)+

(x

n﹣4

+

)+…+

(x

n﹣4

+

)+

) + )=2(2 ﹣2) ,
n

+…+

从而命题得证. 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值、单调性,考查二次方程根的分布及二项式定理,考查学生综合 运用知识解决问题的能力,解决(III)问的关键是利用倒序相加法其 Sn.


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