第6章 习题参考答案

第六章 分子动理论

6-1 一立方容器,每边长 20cm 其中贮有 所受到的压力为多大?

, 的气体,当把气体加热到

时,容器每个壁

解:根据理想气体状态方程 pV ? NkT 得 N ? p1V 。所以 kT1

p?

NkT V

?

p1V kT1

kT V

?

T T1

p1

?

400 ?101325? 135100N/m 2 300

? 13.5N/cm 2

6-2 一氧气瓶的容积是 ,其中氧气的压强是 以免混入其他气体而需洗瓶,今有一玻璃室,每天需用

,规定瓶内氧气压强降到

时就得充气,

氧气

,问一瓶氧气能用几天。

解:一瓶氧的摩尔数为? ? pV ,用完后瓶中还剩氧气的摩尔数为? ? ? p?V ,实际能用的摩尔数为

RT

RT

?? ? ? -? ? ? ( p ? p?) .每天所用氧气的摩尔数为? ?? ? p??V ?? 。一瓶氧气能用的天数为

RT

RT

n ? ?? ? ( p ? p?)V ? 132?10 ? 32 ? 9.6(d)

? ?? p??V ??

1 400

6-3 有一水银气压计,

当水银柱为 0.76m 高时,管顶

离水银柱液面 0.12m,管的截 面积为 2.0×10-4m2,当有少量

氦(He)混入水银管内顶部,水

银柱高下降为 0.6m,此时温度

为 27℃,试计算有多少质量氦

气在管顶(He 的摩尔质量为

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0.004kg·mol-1)? 解:当压强计顶部中混入 氦气,其压强为 ,由理想 p ? ?g(h1 ?h2) 气体状态方程得氦气的质量


M ? pV ? ? ?g(h1 ? h2 )V

RT

RT

? 13.546? (0.76 ? 0.6) ? (0.12 ? 0.16) ? 2.0 ?10?4 ? 0.004 ? 1.95?10?6 kg 8.31? 300

6-4 在常温下(例如27℃),气体分子的平均平动能等于多少ev?在多高的温度下,气体分子的平均平动能

等于1000ev?

解:

3.88?10?2 ev ,301K

6-5 计算下列一组粒子平

均速率和方均根速率?

Ni

21

Vi (m ? s?1)

10.0

4

6

8

2

20.0

30.0

40.0

50.0

解:? ? 21?10.0 ? 4? 20.0 ? 6? 30.0 ? 8? 40.0 ? 2? 50.0 ? 21.7m / s 41

?2 ?

21?10.02 ? 4? 20.02 ? 6? 30.02 ? 8? 40.02 ? 2? 50.02 ?

41

6-6 下列系统各有多少个自由度: (1)在一平面上滑动的粒子;

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币;

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656.1m / s ? 25.6m/ s

(3)一弯成三角形的金属棒 在空间自由运动.
解:(1)确定平面上运动的 粒子需要 2 个独立坐标,所
以自由度数为 2; (2)确定硬币的平动需 要两个独立坐标,确定转动 需要一个坐标,确定硬币位 置共需 3 个坐标,所以自由
度数为 3; (3)这是一个自由刚 体,有 6 个自由度,其中 3 个平动自由度和 3 个转动自
由度。
6-7 某种理想气体,在 P ? 1atm,V ? 44.8l 时,内能 E ? 6807J ,问它是单原子、双原子、多原子分子的哪
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一种?

pV ? ?RT

解:由 E

?

i ?RT 2

可得 i ?

2E pV

2? 6807 ?
101325? 44.8?10?3

? 3。

自由度为 3,所以是单原子分子。

6-8 某刚性双原子理想气体,处于 0℃。试求:

⑴分子平均平动动能;⑵分子平均转动动能;⑶分子平均动能;⑷分子平均能量;⑸ 1 摩尔的该气体内能。 2

解:(1) ? k

?

3 2

kT

?

3 ?1.38?10?23 2

? 273.15 ?

5.65?10?21 J

(2) ? r ? kT ? 3.76?10?21 J

(3) ? k ? ? kt ? ? kr ? 9.41?10?21 J

(4) ? ? ? k ? 9.41?10?21 J
(5) E ? 5 ?RT ? 2.5? 0.5? 8.31? 273.15 ? 2.84?103 J 2
6-9 设有 N 个粒子的系统,其速率分布如题 6-9 图所示.求 (1)分布函数 f (v) 的表达式; (2) a 与 v0 之间的关系; (3)速度在 1.5 v0 到 2.0 v0 之间的粒子数.
(4)粒子的平均速率.
(5)0.5v0到 1v0区间内粒子平
均速率.

6-9 图

解:(1) ?av/ Nv0 f (v) ? ??a / N ??0

(0 ? v ? v0 ) (v0 ? v ? 2v0 ) (v ? 2v0 )

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(2 由归一化条件

? ? ? 得 ? f (?)d? ?
0

?0 a? / N?0d? ?
0

2?0 ?0

a/

Nd?

?

1 2

a?0 N

?

a N

(2?0

??0 )

?1

(3) ? ? N ?

2.0?0 Nf (?)d? ?
1.5? 0

2?0 ad?
1.5?0

?

1 2

a?0

?

N 3

(4)? ? ? ? ?f (?)d? ? 0

?0 a? 2 d? ? 0 N?0

2?0 ?0

a?d?

?

11? 9

0

(5)0.5v0到 1v0区间内粒子

数为

? ? ?0
?N ?

Nf (?)d? ? ?0

a? d? ? 3a?0 ? N

0.5?0

0.5?0 ?0

84

0.5v0到 1v0区间内粒子数平

均速率为

6-10

? ? ? ? 1

?0 ?Nf (?)d? ? 1

?0

a? 2 d? ?

1

7

a?

2 0

?

7? 0

?N 0.5?0

?N 0.5?0 ? 0

?N 8 3 9

试计算理想气体分子

热运动速率的大小介于

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与 之间的分子数占 vp ?vp ?100?1

vp ? vp ?100?1

总分子数的百分比.

解:把?p ?

2kT m

代入麦克斯韦速

率分布函数,有

dN ? N

?2

4

1

?

e

?

2 p

?

2

d?

π

?

3 p

所以,

?2

?N ? 4

1

?

e

?

2 p

?

2 ??

?

4

e ?1

2

? 0.0166

N

π

?

3 p

π 100

6-11 三个容器 A、B、C 中装有同种理想气体,其分子数密度相同,而方均根速率之比为

? ? ? ? ? ? 1

1

1

v 2 A 2 : v 2 B 2 : v 2C 2 =1:2:4,则其压强之比 pA : pB : pC =?

解:由 p ? 1 nm? 2 得 3

pA : pB : pC ? ? A2:?B2:?C2 ? 1: 4 :16

6-12 1mol 氢气,在温度为

27℃时,它的平动动能、转

动动能和内能各是多少?

解: 3 ;

;5

Ekt ? 2 RT ? 3739.5J

Ekr ? RT ? 2493J

E ? RT ? 6232.5J 2

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6-13 一瓶氧气,一瓶氢 气,等压、等温,氧气体积是 氢气的 2 倍,求(1)氧气和氢 气分子数密度之比;(2)氧分 子和氢分子的平均速率之比.
解:(1)由 可得 p ? nkT

nO : nH

? pO kTO

: pH kTH

? 1:1

(2)由 得 ? ? 8kT πm

?O :?H ?

mH ? mO

2 ?1: 4 32

6-14 一真空管的真空

度约为 1.38×10-3 Pa(即 1.0

×10-5 mmHg),试 求在 27℃时

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单位体积中的分子数及分子

的平均自由程(设分子的有效
直径 d=3×10-10 m).

解: n ?

p kT

?

1..38? 1.38?10?

10?3 23 ? 300

?

3.33?

1017

m?

3

? ? 1 ? 7.5m 2πd 2n
6-15 (1)求氮气在标准状

态下的平均碰撞频率;(2)若温

度不变,气压降到 1.33× 10-4Pa,平均碰撞频率又为多少
(设分子有效直径 10-10 m)?

解:(1) z ? 2πd2n? ? 4pd2 π mkT

? 4 ?101235?10-20

π 4.65?1.38? 273.15?10-46

? 5.44?108s?1

(2) z ? 2πd2n? ? 4pd2 π mkT

? 4 ?1.33?10-4 ?10-20

π 4.65?1.38? 273.15?10-46

? 0.714s?1

(1) ,(2) z ? 5.44?108s-1

z ? 0.714s-1

6-16 1mol 氧气从初态出

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发,经过等容升压过程,压强 增大为原来的 2 倍,然后又经 过等温膨胀过程,体积增大为 原来的 2 倍,求末态与初态之 间(1)气体分子方均根速率之 比; (2)分子平均自由程之
比. 解:(1)由 得 ?2 ? 3kT
m

由理想状态方程可得T2 ? 1 。将 T1 2 此式代入上式得 。 ?22 : ?12 ?1: 2

(2)由 得 ? ?

kT 2πd 2 p

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由理想气体状态方程可以证

明 。所以 p末 ? p1

?2 : ?1 ? T2 : T1 ? 2 :1

6-17 飞机起飞前机舱中

的压力计指示为 1.0

atm(1.013×105 Pa),温度为

27 ℃;起飞后压力计指示为

0.8 atm(0.8104×105 Pa),温

度仍为 27 ℃,试计算飞机距

地面的高度.

解: z

?

RT ?g

ln

p0 p

?

8.31? 300 28.9 ?10?3 ? 9.8

?

ln

1 0.8

? 1.96?103m

6-18 上升到什么高度处大

气压强减少为地面的

75%(设空气的温度为 0℃).

解: z

?

?

RT ?g

ln

p p0

?

8.31? 273.15 28.9 ?10?3 ? 9.8

?

ln

0.75

?

2.3 ? 103 m

6-19 在相同的温度和压强下,各为单位体积的氢气(视为刚性双原子分子体)与氦气的内能之比为?各为单

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位质量的氢气和氦气的内能之比为?。

解:由 E

?

M ?

i RT 2

?

i 2

pV

得e ?

E V

?

i 2

p .所以 eH2:eHe

? iH2:iHe

? 5:3;

由E?

M ?

i RT 2

得 e? ?

E M

?

i 2?

RT

.所以 e?H2

: e?He

?

iH 2 ?H2

:

iHe ?He

?

5:3 24

? 10: 3 。

6-20(1) 温度为 27?C 时,1mol 氧分子具有多少平动动能?多少转动动能。

(2) 温度为 27?C 时,1mol 氦气、氢气各有多少内能?1 克氦气、氢气各有多少内能。

解:(1) 1mol 氧分子的平动动能: 3 RT ? 1.5 ? 8.31? 300 ? 3739.5J ;1mol 氧分子的转动动能: 2
RT ? 8.31?300? 2493J 。

(2)1mol 氦气的内能 E ? 3 RT ? 1.5 ? 8.31? 300 ? 3739.5J ;1mol 氢气的内能
2

E ? 5 RT ? 2.5 ? 8.31? 300 ? 6232.5J ;1 克氦气的内能: E ? M 3 RT ? 3 ? 8.31? 300 ? 934.9J ;1 克氢气的内能:

2

?2

8

E ? M 5 RT ? 5 ? 8.31? 300 ? 3116.2J 。

?2

4

6-21 储有氧气的容器以速度 v ? 100 m/s 运动,假设该容器突然停止,全部定向运动的动能都变为气体分子

热运动的动能,容器中氧气的温度将会上升多少?

解:由题可得 ?E ? M i R?T ? 1 M? 2 ,所以

?2

2

?T ? 1 M? 2 / M i R ? ?? 2 ? 32?10?3 ?1002 ? 7.7K

2

? 2 iR

5? 8.31

6-22 质量 6.2?10-14g 的粒子悬浮于 27?C 的液体中,观察到它的方均根速率为 1.40 cm/s,(1) 计算阿佛加

德罗常数,(2) 设粒子遵守麦克斯韦速率分布,求粒子的平均速率。

解:(1) 由 ? 2 ? 3kT ? 3RT 得

m

N Am

NA

?

3RT m? 2

?

3? 8.31? 300 6.2 ?10?17 ?1.42 ?10?4

?

6.15 ? 1023 mol?1

(2)由? ? 8kT 和 ? 2 ? 3kT 可得? ? ? 2 8 ? 1.40 8 ? 1.29cm/s

πm

m





6-23 (1)有一个具有活塞的容器中盛有一定量的气体,如果压缩气体并对它加热,使它的温度从 27?C 升到

177?C,体积减少一半,求气体压强变化的百分比是多少?

(2)这时气体分子的平均平动动能变化百分比是多少?分子的方均根速率变化百分比是多少?

解:(1)由

p

?

nkT



p p1

?

nT n1T1

,所以 ?p

?

p

?

p1

?

( nT n1T1

? 1) p1 。于是

?p nT

2? 450

? ?1?

?1 ? 200o o

p1 n1T1

300

(2)由 ? ? 3 kT 得 2

?? ?T 177 ? 27 150

??

? ? 50o o

? T1

300 300

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由 ? 2 ? 3kT 可得 ? ? 2 ? 3k ?T .所以 ? ? 2 ? ?T ? 25o o

m

m2 T

? 2 2T1

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