广东省中山市华侨中学2016届高三数学5月模拟考试试题文(新)

广东省中山市华侨中学 2016 届高三 5 月高考模拟试卷 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题. 本试卷共 5 页,24 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ? xn 的标准差 锥体体积公式

s ?

1? (x ? x )2 ? (x 2 ? x )2 ? ? ? (x n ? x )2 ? ? n ? 1

V ?

1 sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积,体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

一、选择题:(本大题共 10 小题;每小题 5 分,满分 60 分) 1. 若复数 z 与其共轭复数 z 满足: z ? z ? 2i ,则复数 z 的虚部为( A.1 B. i C.2 D.-1 ) )

2.已知点 P(?1 , 0) 、 Q(1 , 3) ,向量 a ? (2k ? 1 , 2) ,若 PQ ? a ,则实数 k ? ( A. 2 B. 1 C. ? 2 D. ? 1

3.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则 A.3 B.

a15 ?( a5



1 3

C.3 或 )

1 3

D. ? 3 或 ?

1 3

4. y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 是( A. 最小正周期为 2 π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的奇函数

B.最小正周期为 2 π 的偶函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数

5、已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (? A.3 6.已知 tan ? ? B.6

1 1 , ? ) ,则 log2 f (4) 的值为( 2 8
C.4 ) D.-6



1 1 , tan(? ? ? ) ? 则 tan ? ? ( 4 3

1

A.

7 11

B. ?

11 7

C. ?

1 13

D.

1 13

7、已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,切点在第四象限, 则直线 l 的方程为( A. y ? ? 3x ) B. y ? 3x C. y ? ?

8.已知三条直线 l、m、n,三个平面 ?、?、? ,有以下四个命题: ① ? ? ?、? ? ? ? ? ? ? ;② l ? m、l ? n ? m // n ;

3 x 3

D. y ?

3 x 3



m // ? , n // ? ? ? ? ? // ? ; m ? ?, n ? ? ?
3

5

5

④ ? ? ? ,? ? ? ? l, m ? l ? m ? ? 。
4 侧视图

其中正确命题的个数为( A.0 B.1

) D.3
4

正视图 3

C.2

9.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 表面积为( A.30 10.已知 ? ? B.66 ) C.60 D.72

俯视图

?? x, y ? | x ? y ? 8, x ? 0, y ? 0?, A ? ?? x, y ? | x ? 2, y ? 0,3x ? y ? 0?,
) D.

若向区域 ? 上随机投 1 个点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为(

1 A. 4

3 B. 16

3 C. 4

7 16

11 . 已 知 a , b, c 分 别 为 ?A B C 三 个 内 角

A, B, C 的 对 边 , 且
) . D. 120
?

(b ? c)(sin B ? sin C) ? (a ? 3c) ? sin A ,则角 B 的大小为(
A. 30
?

B. 45

?

C. 60

?

12.已知函数 f ? x ? 15 项和为( ) A.13

? ?

1? ?n? ? 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 1,即 an ? g ? ? ,则数列 ?an ? 的前 2? ? 16 ?

B.14

C.15

D.16

二、填空题(共 20 分) 13. 高三(1)班共有56人,学生编号依次为1,2,3,?,56, 现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6,34,48 开始

S=1,i=1

2

S=S*i

的同学在样本中,那么还有一位同学的编号应为 14.定义新运算为a?b=





a ?1 ,则2?(3?4)的值是__▲__. b

15.阅读右边程序框图,该程序输出的结果是__▲__.

16.曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x在点?1, ? 处的切线与两坐标轴 3 ? 3?
▲ .

所围成的三角形面积是

三、解答题(共 70 分) (要求有解答与推理的过程) 17. (本小题满分 12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a 7 ? ?9, S 9 ? ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

99 . 2

3 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,求证: Tn ? ? . 4 2S n

18(本小题满分 12 分)某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件,在单位时间 内每个技工加工零件若干,其中合格零件的个数如下表: 1号 甲组 乙组 4 5 2号 5 6 3号 7 7 4号 9 8 5号 10 9

⑴分别求出甲、 乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差, 并由此比较 两组技工的技术水平; ⑵质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工,对其加工的零件进行检测,若两 人完成合格零件个数之和超过 12 件,则称该车间“质量合格” , 求该车间“质量合格”的概率.

3

19.(本题满分12分) 如图,三角形ABC中,AC=BC=

E
2 AB ,ABED是边长为1 2

D F G

的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点. (Ⅰ)求证:GF//底面ABC; (Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC; (Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.

B C

A

20 ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 设 P 是 抛 物 线 C1 : x 2 ? y 上 的 动 点 , 过 点 P 作 圆

C2 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的两条切线,交直线 l : y ? ?3 于 A, B 两点。
(Ⅰ)求圆 C2 的圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离; (Ⅱ) 是否存在点 P , 使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处的切线平分?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 y P

O A M B

x l

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x . ( a 为常数) (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最值; (2)求函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最值;
? (3)试证明对任意的 n ? N 都有 ln(1 ? ) ? 1 .
n

1 n

4

选考题(本小题满分 10 分) 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. ) (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线, B , D 为切点. , (1)求证: AD // OC ; (2)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数) ,以原点 O 为极 y ? 1 ? sin ? ?

点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? (cos ? ? sin ? ) ? 5 ? 0 .

(I)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

(II)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 的距离的取值范围.

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 1 , (Ⅰ)求 f ? x ? ? 0 的解集; (Ⅱ)当 x ? ?1 时, f ( x) ? f (a) ,求实数 a 的取值范围.

2016 年高考 5 月文科数学模拟答案 一、选择 题:(本大题共 12 小题;每小题 5 分,满 分 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5

答案

A

D

C

C

B

D

C

A

D

B

A C

二、填空题(共 20 分) 11. 20 .12. _3__.13. __120__.14.

1 9



三、解答题(共 80 分) (要求有解答与推理的过程) 17. (本小题满分 12 分) (1) a n ? ?

2n ? 1 (2)见解析 2

【命题立意】本题主要考查数列基本量的求取,利用裂项求和. 【解析】 (1)设数列 {an } 的公差为 d ,则由已知条件可得: ? ?

?2a1 ? 6d ? ?9

99 ?????4 9 a ? 36 d ? ? 1 ? 2 ?



3 ? 2n ? 1 a1 ? ? ? 解得 ? ; 2 ,于是可求得 a n ? ? 2 ? ?d ? ?1
(2)因为 S n ? ? 于是

????6 分

n ( n ? 2) 1 1 1 1 ,故 bn ? ? ?? ( ? ) ,????8 分 2 n(n ? 2) 2 n n?2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 Tn ? ? [(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ? ? )] ? ? ( ? ? ) 2 2 3 n 3 4 5 n?2 2 2 n ?1 n ? 2
又因为

3 3 1 1 3 ? ,所以 Tn ? ? .????12 分 ? ? 2 n ?1 n ? 2 2 4

18(本小题满分 12 分) 解:⑴依题意, x甲 ?

1 1 (4 ? 5 ? 7 ? 9 ? 10) ? 7 , x乙 ? (6 ? 7 ? 8 ? 9) ? 7 ??2 分 5 5

1 26 2 s甲 ? [( 4 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ? (10 ? 7) 2 ] ? ? 5.2 ??3 分 5 5 1 2 s乙 ? [( 5 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 2 ??4 分 5
2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ,所以,两组技工的总体水平相同,甲组技工的技术水平差异 ? s乙

比乙组大??6 分 ⑵记该车间“质量合格”为事件 A,则从甲、乙两组中各抽取 1 名技工完成合格零件个 数的基本事件为: (4,5) , (4,6) , (4,7) , (4,8) , (4,9) , (5,5) , (5,6) , (5,7) ,
6

(5,8) , (5,9) , (7,5) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9) , (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 25 种??9 分 事件 A 包含的基本事件为: (4,9) , (5,8) , (5,9) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) , (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9) , (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 17 种??10 分 所以 P ( A) ?

17 ??11 分 25

答:即该车间“质量合格”的概率为

17 ??12 分 25

19.(本题满分12分) 解: (I)证法一:取 BE 的中点 H,连结 HF、GH, (如图 1) ∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点 ∴HG//BC,HF//DE,???????????2 分 又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB,从而 HF//AB ∴HF//平面 ABC,HG//平面 ABC, HF∩HG=H, ∴平面 HGF//平面 ABC ∴GF//平面 ABC??????????????5 分 证法二:取 BC 的中点 M,AB 的中点 N 连结 GM、FN、MN (如图 2) ∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点

E F G B M C N

D
图1

A

1 GM // BE, 且GM ? BE, 2 ∴ ???????2 分 1 NF // DA, 且NF ? DA 2
又∵ADEB 为正方形 ∴GM//NF 且 GM=NF ∴BE//AD,BE=A D ∴MNFG 为平行四边形

图2

∴GF//MN,又 MN ? 平面ABC ,∴GF//平面 ABC??????????????5 分 证法三:连结 AE, ∵ADEB 为正方形,∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 中点,???????2 分 ∴GF//AC,又 AC ? 平面 ABC,∴GF//平面 ABC??????????????5 分 (Ⅱ)∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,∴GF//平面 ABC????????????5 分 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC ????7 分 2 2 2 ∴BE⊥AC 又∵CA +CB =AB ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面 BCE ???????9 分 (Ⅲ)连结 CN,因为 AC=BC,∴CN⊥AB, ??????????10 分 又平面 ABED⊥平面 ABC,CN ? 平面 ABC,∴CN⊥平面 ABED。 ??????11 分 ∵三角形 ABC 是等腰直角三角形,∴ CN ?

1 1 AB ? , 2 2

?????????? 12 分
7

∵C—ABED 是四棱锥, 20 (本题满分12分)

∴VC—ABED=

1 1 1 1 S ABED ? CN ? ? 1? ? 3 3 2 6
1 4

????14 分

(Ⅰ)解:因为抛物线 C1 的准线方程为: y ? ? 所以圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离为: | ?

1 11 ? (?3) |? . 4 4

????1 分

2 (Ⅱ)解:设点 P 的坐标为 ( x0 , x0 ) ,抛物线 C1 在点 P 处的切线交直线 l 于点 D。

再设 A,B,D 的横坐标分别为错误!未找到引用源。
2 过点 P( x0 , x0 ) 的抛物线 C1 的切线方程为: 2 y ? x0 ? 2x0 ( x ? x0 ) (1)

当 x0 ? 1 时,过点 P(1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 x A ? ?

15 ( x ? 1) ????3 分 8

17 , xB ? 1, xD ? ?1, x A ? xB ? 2 xD 15 15 ( x ? 1) 8

当 x0 ? ?1 时,过点 P(—1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 x A ? ?1, x B ?

17 , x D ? 1, x A ? x B ? 2 x D 15

xA ? ?

17 , xB ? 1, xD ? ?1, x A ? xB ? 2 xD 15

2 所以 x0 ? 1 ? 0 ????5 分

设切线 PA,PB 的斜率为 k1 , k2 ,则
2 PA : y ? x0 ? k1 ( x ? x0 ) (2) 2 PB : y ? x0 ? k2 ( x ? x0 ) (3)

将 y ? ?3 分别代入(1) , (2) , (3)得

xD ?

2 x0 ?3 x2 ? 3 x2 ? 3 ( x0 ? 0); xA ? x0 ? 0 ; xB ? x0 ? ? 0 (k1 , k2 ? 0) 2 x0 k1 k1

2 从而 xA ? xB ? 2 x0 ? ( x0 ? 3)(

1 1 ? ). k1 k2



2 | ? x0 k1 ? x0 ?3|

k12 ? 1

? 1 ????7 分

8

2 2 2 即 ( x0 ? 1)k12 ? 2( x0 ? 3) x0 k1 ? ( x0 ? 3)2 ? 1 ? 0 2 2 2 2 同理, ( x0 ? 1)k2 ? 2( x0 ? 3) x0 k2 ? ( x0 ? 3)2 ? 1 ? 0 2 2 2 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 1)k 2 ? 2(x0 ? 3)x0 k ? (x0 ? 3)2 ? 1 ? 0的两个不相等的根,从

2 2 2 2(3 ? x0 ) x0 (3 ? x0 ) ?1 而 k1 ? k2 ? , k1 ? k2 ? . ????9 分 2 2 x0 ? 1 x0 ? 1

因为 x A ? x B ? 2 x0
2 所以 2 x0 ? (3 ? x0 )(

x2 ? 3 1 1 1 1 1 ? )? 0 ,即 ? ? . ????10 分 k1 k2 x0 k1 k2 x0
4 进而得 x0 ? 8, x0 ? ? 4 8

2 2(3 ? x0 ) x0 1 从而 2 ? 2 ( x0 ? 3) ? 1 x0

综上所述,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为 (? 4 8, 2 2). ????12 分 21. (本题满分 12 分) .解: (1)当 a ? 1 时,函数 f ( x ) = x ? ln x ∵ f '( x) ? 1 ? 分 ∵当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 ∵当 x ? (1, ??) 时 f '( x) ? 0 ∴ 当 ∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上为减函数 ∴函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上为增函数 , 函 数 , x ? (0, ??)

1 ,令 f '(x ) ? 0 得 x ? 1 ---------------------------------------1 x

x ?1



f ( x)











f ( x)最小值 ? f (1) ? 1--------------------------2 分
(2)∵ f '( x) ? a ?

1 x

若 a ? 0 ,则对任意的 x ? [1, ??) 都有 f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上为减函数 ∴函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上有最大值,没有最小值, f ( x)最大值 ? f (1) ? a ;-------4 分 若 a ? 0 ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 当 0 ? a ? 1 时,

1 a

1 1 1 ? 1 ,当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (1, ) 上为减函数 a a a

9

当 x ? ( , ??) 时 f '( x) ? 0 ∴当 x ?

1 a

∴函数 f ( x ) 在 ( , ??) 上为增函数

1 a

1 1 1 时,函数 f ( x ) 有最小值, f ( x)最小值 ? f ( ) ? 1 ? ln --------6 分 a a a 1 当 a ? 1 时, ? 1 在 [1, ??) 恒有 f '( x) ? 0 a
∴ 函 数 f ( x ) 在 [1, ??) 上 为 增 函 数 , 函 数 f ( x ) 在 [1, ??) 有 最 小 值 ,

f ( x)最小值 ? f (1) ? a . ------------ --------------------------------------------7 分 综上得:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上有最大值, f ( x)最大值 ? a ; 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 有最小值, f ( x)最小值 ? 1 ? ln

1 ; a

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在 [1, ??) 有最小值, f ( x)最小值 ? a .--------------------9 分 (3)证法 1:由(1)知函数 f ( x ) = x ? ln x 在 (0, ??) 上有最小值 1 即 对 任 意 的

x ? (0, ??)





x?l x n?

1 ,



x ?1 ?

lx n,

-------------------------10 分 当且仅当 x ? 1 时“=”成立 ∵ n? N
?



n ?1 n ?1 ? 0且 ?1 n n

n ?1 n ?1 1 n ?1 1 1 ? 1 ? ln ? ? ln ? 1 ? n ln(1 ? ) ? 1 ? ln(1 ? ) n n n n n n n 1 n ? ∴对任意的 n ? N 都有 ln(1 ? ) ? 1 .---------------------------------12 分 n
∴ 22. (1)见解析(2)8 【命题立意】本题主要考查圆的切线的性质,三角形相似. 【解析】 (1)连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,? BD ? OC , 又 AB 为直径,

? AD ? DB , AD // OC .
(2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt ?BAD ∽ Rt ?COB ,

AD AB ? , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 . OB OC
23. (I) x ? ( y ? 1) ? 1 , x ? y ? 5 ? 0 ; (II) [2 2 ? 1,2 2 ? 1]
2 2

10

【命题立意】 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化. 【解析】 (I)由 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数)得 ? y ? 1 ? sin ?
??????2 分

x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1
由 ? (cos? ? sin ? ) ? 5 ? 0 得

? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0
即x? y ?5? 0 ??????5 分

(II)由(I)知 C1 为以 (0,1) 为圆心, 1 为半径的圆 , C2 为直线, ∵ C1 的圆心 (0,1) 到 C2 的距离 ∴ C2 与 C1 没有公共点 ∴ | PM |max ? 1 ? 2 2

(0 ? 1 ? 5 | ? 2 2 ?1 2

| PM |min ? 2 2 ? 1
??????10 分

∴ | PM | 的取值范围是 [2 2 ? 1,2 2 ? 1] 24. (Ⅰ) {x 0 < x < 2}(Ⅱ) - 1 #a

5

【命题立意】本题考查绝对值函数的图像.

ì ? ? x- 2 ? ? ? ? ? 【解析】 (Ⅰ) f (x ) = ? í - 3x ? ? ? ? - x+2 ? ? ? ? ?
y

1 2 1 - 1? x ,其图像如图所示. 2 x<- 1 x?

-1

o

1 2

x

11

令 f (x )=0 解得 x 1 = 0, x 2 = 2 ,∴ f (x ) < 0 的解集为 {x 0 < x < 2} (Ⅱ)如图,当 x < - 1 时, f (x ) > 3 ,要使 f (x ) > f (a) ,需且只需 f (a) ? 3 ,

?5 分

而 f ? a ? =3 时,有 ?3a ? 3 ,或 ? a ? 2 ? 3 ,即 a ? ?1 ,或 a ? 5 ,得 - 1 #a

5.

?10 分

12


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