3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

新课标高中数学-必修四导学案
§3.1-§3.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及三角恒等变换 【知识要点】 公式一:两角和差 sin( ? ± β )=sin cos( ? ? β ) =cos tan( ? ± β )=

? cos β ± cos ? sin β ;

? cos β ± sin ? sin β ;

tan α ±tan β . 1?tan α tan β

公式二:二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 ? =2sin cos 2 ? =cos tan 2 ? =
2

? cos ? ;

? -sin2 ? =2cos2 ? -1=1-2sin2 ? ;

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

公式三:降幂公式

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? ; 2

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? ; 2
2

1 sin ? ? cos ? ? sin 2? ; 2

(sin ? +cos ? ) =1+sin2 ?

公式四:辅助角公式(化为一角一函数)

b f ( x) =asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ ),其中 tanφ = ; a
(1) f ( x ) =sin ? ±cos ? = 2sin (? ? (2) f ( x ) =

?
4

).

? cos ? ? 3 sin ? = ?2sin(? ? ) 6

(3) f ( x ) = sin ? ? cos ? ?

? 3 3 sin 2 ? ? sin(2? ? ) ? 3 2

α+β α-β α-β ? β ?α ? 注:角的变换技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β; β= - ; =?α+2? ?-?2+β?. 2 2 2 考点一 三角函数公式的基本应用 π ? 3 cos 2α 例 1(1)已知 sin α= ,α∈? =____. ?2,π?,则 5 π? ? 2sin?α+4? π ? (2)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值___. 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用 例 2(1)在△ABC 中,若 tan A· tan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值( 2 2 1 A.- B. C. 2 2 2 π? 4 3 ? π? (2)已知 sin? ) ?α+6?+cos α= 5 ,则 sin?α+3?的值为( 4 3 3 A. B. C. 5 5 2
1

) 1 D.- 2

D.

3 5

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3π (3)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 考点三 角的变换 3 1 例 3(1)已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,tan(α-β)=- ,则 cos β=________. 5 3 π π 2 1 ? ? ? (2)设 tan(α+β)= ,tan? ?β-4?=4,则 tan?α+4?=________. 5 π 4 π α+ ?= ,则 sin?2α+ ?的值为________. (3)设 α 为锐角,若 cos? 12? ? 6? 5 ? 考点四 三角函数式的化简 sin 2α-2cos2α 例 4.化简:(1) π? sin? ?α-4? 1 2cos4x-2cos2x+ 2 (2) π ? 2?π ? 2tan? ?4-x?sin ?4+x?

考点五 三角函数式的求值 3 4 例 5. 化简(1) sin 50° (1+ 3tan 10° )=____. (2) 已知 α, β 为锐角, sin α= , cos(α+β)=- , 则 2α+β=____. 5 5 1 1 (3) 已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,则 2α-β=________. 2 7

考点六 三角恒等变换的综合应用 π? 2x ? π? 例 6 已知函数 f(x)=sin? ?x-6?+cos?x-3?,g(x)=2sin 2. 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= ,求 g(α)的值;(2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 5

π 3 3 2x+ ?+ sin2x- cos2x. 例 7 设函数 f(x)=sin? 3? 3 ? 3 (1)求 f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程; π π π - , ?上的值域. (2)将函数 f(x)的图像向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图像,求 g(x)在区间? 6 3? ? 3

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【巩固训练】 π ? 3 1.已知 sin? ?4+x?=5,则 sin 2x 的值为( 24 A.- 25 7 C.- 25 ) 24 B. 25 7 D. 25 )

π? 3 ? π? 2.已知 cos? ?x-6?=- 3 ,则 cos x+cos?x-3?的值是( 2 3 A.- 3 C.-1 3.化简 cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° 的值为( 1 A. 2 1 C.- 2 B. 2 3 B.± 3 D.± 1 ) 3 2 3 2

D.-

4.设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan (α+β)的值为( A.-3 C.1 B.-1 D.3 )

)

π ? π π +x - 3cos 2x? ≤x≤ ?的最大值为( 5.函数 f(x)=2sin2? 2? ?4 ? ?4 A.2 C.2+ 3 B.3 D.2- 3

6.在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B· cos C,且 tan B· tan C=1- 2,则角 A 的值为( π A. 4 π C. 2 π B. 3 3π D. 4 )

)

1? π 7.若 tan α=lg(10a),tan β=lg? ?a?,且 α+β=4,则实数 a 的值为( A.1 1 C.1 或 10 1 B. 10 D.1 或 10

8.已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的 1 4 横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos α=________. 3 5 4 9.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 α 2sin2 -1 2 π? 10.若 f(α)=2tan α- ,则 f? ?12?=________. α α sin cos 2 2
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1 1 11.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tan αtan β 的值为________. 6 3 π? π? 2? 2 12.化简 sin2? ?α-6?+sin ?α+6?-sin α 的结果是________. 2tan?45° -α? sin αcos α 13.化简 · 2 =________. 2 1-tan ?45° -α? cos α-sin2α π? π? 1 ? 14.已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值.

π x? x + . 15.已知函数 f(x)=sin sin? 2 ?2 2? (1)求函数 f(x)在[-π,0]上的单调区间. π? ?π ? (2)已知角 α 满足 α∈? ?0,2?,2f(2α)+4f?2-2α?=1,求 f(α)的值.

π ? α α 6 16.已知 α∈? ?2,π?,且 sin2+cos2= 2 . (1)求 cos α 的值; π ? 3 (2)若 sin(α-β)=- ,β∈? ?2,π?,求 cos β 的值. 5

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