《红对勾》2015-2016学年人教版高中数学必修4课件3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第三章
三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式

预习篇

提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正 弦、余弦公式并能利用公式进行化简求值.
2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征. 3.能逆用公式进行化简求值.

重点难点
重点:熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式; 难点:灵活运用公式化简三角函数式和求值

预习篇01

新知导学

两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式

1.两角和与差的正弦公式与余弦公式有什么区别? 答:余弦公式右边函数名的排列顺序为:余·余± 正·正,左右两边加减运算符号相反. 正弦公式右边函数名的排列顺序为:正·余±余·正,左 右两边加减运算符号相同.

2.利用cos(α-β)推导cos(α+β)的过程中,利用了什么 方法?该方法中常见的形式有哪些?
答:推导过程中,利用了角的代换的方法,常见的形 式有:
α=(α+β)-β;α=β-(β-α); α=12[(α+β)+(α-β)];α=12[(β+α)-(β-α)]; α+2 β=(α-β2)-(α2-β).

1.两角和与差公式的理解、记忆 (1)公式间的逻辑关系
(2)公式的结构特征和符号规律 对于公式C(α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”; 对于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.

2.两角和与差的正、余弦公式应用 (1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要 求能正确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造 条件逆用公式. (2)注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出 来,使之能直接运用公式.

(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数, 使之代换后能运用相关公式,其中特别要注意的是“1”的代

换,如1=sin2α+cos2α,1=sin90°等,再如:0,

1 2



2 2



3 2

等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为

三角函数使用.

例如:12cosα- 23sinα=sinπ6cosα-cos6πsinα =sin(π6-α).

课堂篇02

合作探究

公式的简单应用
【例1】 化简求值: (1)cos44°sin14°-sin44°cos14°; (2)sin14°cos16°+sin76°cos74°; (3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+ x).

【分析】 本题考查了两角和与差的正弦公式的逆 用.(1)可直接运用公式;(2)可通过诱导公式变形后再运用 公式;(3)注意将(54°-x)、(36°+x)看作整体,不要展开.

【解】 (1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30° =-12.
(2)原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)= sin30°=12.
(3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.

通法提炼 观察所给角之间的关系,从形式上凑出公式,再利用 已知的特殊角的三角函数值来求值.

(1)sin7°cos37°-sin83°sin37°的值为( )

A.-

3 2

B.-12

1

3

C.2

D. 2

(2)sin165°等于( )

1 A.2
6+ 2 C. 4

3 B. 2
6- 2 D. 4

解析:(1)sin7°cos37°-sin83°sin37°=sin7°cos37°-

cos7°sin37°=sin(7°-37°)=sin(-30°)=-sin30°=-

1 2

,故

选B.

(2)sin165°=sin15°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°-cos45°sin30°

= 22× 23- 22×12=

6- 4

2.故选D.

答案:(1)B (2)D

给值求值问题

【例2】

已知π2

3 <β<α<4

π,cos(α-β)=1123

,sin(α+

β)=-35,求cos2α的值.

【分析】 cos2α=cos[?α-β?+?α+β?] →

求出cos?α+β?,sin?α-β? → 代入公式,求值

【解】 ∵π2<β<α<34π, ∴-34π<-β<-2π. ∴0<α-β<4π,π<α+β<32π. ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β? = 1-?1123?2=153,

cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? =- 1-?-35?2=-45. ∴cos2α=cos[(α-β)+(α+β)] =cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) =1123×(-45)-153×(-35)=-3635, 即cos2α=-3635.

通法提炼 三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变 换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变 换是最基本的变换.常见的有:

已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求ttaannαβ的值.

解:∵sin(α+β)=12,∴sinαcosβ+cosαsinβ=12.①
∵sin(α-β)=13,∴sinαcosβ-cosαsinβ=13.②
由①,②解得sinαcosβ=152,cosαsinβ=112,
5 ∴ttaannαβ=scionsααcsoinsββ=112=5.
12

辅助角公式的应用
【例3】 求函数y=cosx+cos(x+3π)的最大值. 【分析】 将函数化成y=Asin(x+φ)或y=Acos(x- φ)的形式,再利用三角函数的性质求最大值.

【解】 y=cosx+cos(x+3π)

=cosx+cosxcosπ3-sinxsinπ3

=32cosx-

3 2 sinx

= 3( 23cosx-12sinx)= 3cos(x+π6).

当cos(x+π6)=1时,y有最大值 3.

通法提炼

(1) 3sin152π-cos152π的值是( )

A. 2

2 B. 2

C.- 2

D.sin172π

(2)函数y=sinx+cosx+2的最小值是( )

A.2- 2

B.2+ 2

C.0

D.1

解析:(1) 3sin152π-cos152π =2(sin152πcosπ6-cos152πsinπ6) =2sin(152π-6π)=2sinπ4= 2,故选A. (2)y=sinx+cosx+2 = 2( 22sinx+ 22cosx)+2 = 2(sinxcosπ4+cosxsinπ4)+2

= 2sin(x+π4)+2 ≥2- 2,故其最小值为2- 2.
答案:(1)A (2)A

提高篇03

自我超越

——易错警示系列——

已知三角函数值求角时,

因函数选择不当而致误

在求三角函数值时,由于所选择的函数在定义域(角的

范围)内不单调,从而导致错误.

【例】

已知π<α<α+β<2π,且满足cosα=-

12 13



cos(α+β)=1726 2,求β.

【错解】 ∵cosα=-1123,cos(α+β)=17262,

且π<α<α+β<2π,

∴sinα=-153,sin(α+β)=-7262, ∴sinβ=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα



2 2.

∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π,∴β=π4或34π.

【错因分析】 以上错解是由于求β的三角函数值时,

函数选择不当所致.由于sinβ= 22,且y=sinβ在[0,π]上不

单调,所以β在(0,π)上有两个值,这两个值的取舍就是个

问题,但若由cosβ=-

2 2

,则得β=

3 4

π,即在(0,π)上只有

一个值,故所选择的函数应在角的范围内单调,这样就可

避免以上错误的发生.

【正解】 ∵cosα=-1123,cos(α+β)=17262,

且π<α<α+β<2π,

∴sinα=-153,sin(α+β)=-7262,

∴cosβ=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-

2 2.

∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π,∴β=34π.

设cosα=-

5 5

,tanβ=

1 3

,π<α< 32π

,0<β<

π 2

,求α-β

的值.

解:由cosα=-

55,π<α<32π,得sinα=-2 5

5 .

由tanβ=13,0<β<π2,得sinβ=

110,cosβ=

3, 10

由π<α<32π,0<β<π2可得-2π<-β<0,2π<α-β<32π,

所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

=(-2 5 5)×

310-(- 55)×

1 =- 10

2 2.

因此,α-β=54π.

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