和平区高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

精选高中模拟试卷

和平区高中 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案 班级__________ 一、选择题
1. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 0<x≤1 时,f(x)=2x,则 f (2015)=( ) A.2   2. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第 22 题为 : “今有女善织,日益功疾(注 : 从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布,现在一月( 按 30 天计),共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( A. B. C. D. ) )尺布. B.﹣2 C.﹣ D.

姓名__________

分数__________

3. 设集合 M={x|x>1},P={x|x2﹣6x+9=0},则下列关系中正确的是( A.M=P B.P?M C.M?P D.M∪P=R 4. 设命题 p: A. C. 5. 关于 x 的方程 A.a≥0 6. 直线 l 将圆 x2+y2 A.x﹣y+1=0,2x﹣y=0 ax2+2x B. D. ﹣1=0 至少有一个正的实根,则 a 的取值范围是( C.a>0 或﹣1<a<0 ,则 p 为( )

) )

B.﹣1≤a<0 B.x﹣y﹣1=0,x﹣2y=0

D.a≥﹣1

﹣2x+4y=0 平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 的方程是(

C.x+y+1=0,2x+y=0 D.x﹣y+1=0,x+2y=0 7. 底面为矩形的四棱锥 P?ABCD 的顶点都在球 O 的表面上,且 O 在底面 ABCD 内,PO⊥平面 ABCD,当四 棱锥 P?ABCD 的体积的最大值为 18 时,球 O 的表面积为( A.36π C.60π B.48π D.72π ) )

8. 若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是( A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ? ? ? ? m, m / / n ,则 ? / / ? C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

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9. 已知 F1,F2 分别是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左右两个焦点,若在双曲线 C 上存在点 P 使 )

∠F1PF2=90°,且满足 2∠PF1F2=∠PF2F1,那么双曲线 C 的离心率为( A. +1 B.2 C.
2

D.

10.已知 M 、N 为抛物线 y ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2 ,

| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为(
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 )



11.如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体,下面结论:① BD // 平面 CB1 D1 ;② AC1 ? BD ;③ AC1 ? 平 面 CB1 D1 .其中正确结论的个数是(

A. )

B.

C.

D.

12.一个几何体的三视图是一个正方形,一个矩形,一个半圈,尺寸大小如图所示,则该几何体的表面积是(

A.π  

B.3π+4 C.π+4 D.2π+4

二、填空题
13.直线 2x+3y+6=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为      . 14.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2016 ,其前 n 项和为 S n ,若 于 .

S10 S8 ? ? 2 ,则 S 2016 的值等 10 8

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式,对等差数列性质也有较高要求,属于中等难度.

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15.设实数 x,y 满足 .  

,向量 =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).若 ∥ ,则实数 m 的最大值为    

16.已知 z,ω 为复数,i 为虚数单位,(1+3i)z 为纯虚数,ω=   17.已知 z 是复数,且|z|=1,则|z﹣3+4i|的最大值为      .   18. 0) P, Q 是单位圆上的两动点且满足 已知 A(1, , , 则

,且|ω|=5

,则复数 ω=      .

+

的最大值为      .

三、解答题
19. (1)求证: (2) ,若 . .

20.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成 一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域.

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21.已知 F1,F2 分别是椭圆 且|PF1|=4,PF1⊥PF2. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求点 P 的坐标.

=1(9>m>0)的左右焦点,P 是该椭圆上一定点,若点 P 在第一象限,

22.已知等差数列{an},等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,2a3﹣b3=1. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

23.设 a>0, (Ⅰ)求 a 的值;

是 R 上的偶函数.

(Ⅱ)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

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24.已知抛物线 C:x2=2py(p>0),抛物线上一点 Q(m, )到焦点的距离为 1. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程 (Ⅱ)设过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且 A 点的横坐标为 n(n∈N*) (ⅰ)记△AOB 的面积为 f(n),求 f(n)的表达式 (ⅱ)探究是否存在不同的点 A,使对应不同的△AOB 的面积相等?若存在,求点 A 点的坐标;若不存在, 请说明理由.

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和平区高中 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:因为 f(x+3)=f(x),函数 f(x)的周期是 3, 所以 f(2015)=f(3×672﹣1)=f(﹣1); 又因为函数 f(x)是定义 R 上的奇函数,当 0<x≤1 时,f(x)=2x, 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 即 f(2015)=﹣2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出 f(2015)=f( 3×672﹣1)=f(﹣1).   2. 【答案】D 【解析】解:设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . ,

故选:D. 【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的求解.   3. 【答案】B 【解析】解:P={x|x=3},M={x|x>1}; ∴P?M. 故选 B.   4. 【答案】A 【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题, 故答案为:A 5. 【答案】D 【解析】解:(1)当 a=0 时,方程是 2x﹣1=0,可知有一个正实根. (2)当 a≠0,当关于 x 的方程 ax2+2x﹣1=0 有实根,△≥0,解可得 a≥﹣1; ①当关于 x 的方程 ax2+2x﹣1=0 有一个正实根,有﹣ <0,解可得 a>0; p 为: 。

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②当关于 x 的方程 ax2+2x﹣1=0 有二个正实根,有 综上可得,a≥﹣1; 故选 D.

,解可得 a<0;,

【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题,属于中档题.在二次项系数不确定的情况下,注意一定要 分二次项系数分为 0 和不为 0 两种情况讨论.   6. 【答案】C 【解析】解:圆 x2+y2﹣2x+4y=0 化为:圆(x﹣1)2+(y+2)2=5,圆的圆心坐标(1,﹣2),半径为 将圆 x2+y2﹣2x+4y=0 平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 经过圆心与坐标原点.或者直线经过圆心,直线 的斜率为﹣1, ∴直线 l 的方程是:y+2=﹣(x﹣1),2x+y=0,即 x+y+1=0,2x+y=0. 故选:C. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线的截距式方程的求法,考查计算能力,是基础题.   7. 【答案】 【解析】选 A.设球 O 的半径为 R,矩形 ABCD 的长,宽分别为 a,b, 则有 a2+b2=4R2≥2ab,∴ab≤2R2, 又 V 四棱锥 P-ABCD=1S 矩形 ABCD·PO 3 2 3 1 = abR≤ R . 3 3 2 3 ∴ R =18,则 R=3, 3 ∴球 O 的表面积为 S=4πR2=36π,选 A. 8. 【答案】C 【解析】 试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以 A 不正确;两个平面平行,两 个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平 行,所以 D 不正确;根据面面垂直的判定定理知 C 正确.故选 C. 考点:空间直线、平面间的位置关系. 9. 【答案】A 【解析】解:如图,∵∠F1PF2=90°,且满足 2∠PF1F2=∠PF2F1, ,直线 l

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∴∠F1PF2=90°,∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°, 设|PF2|=x,则|PF1|= ∴2a= ,|F1F2|=2x, ,2c=2x, = .

∴双曲线 C 的离心率 e= 故选:A.

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线的性质的合理运用.   10.【答案】D 【解析】解析:本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法. 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) , 那 么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 , x1 ? x2 ? 8 , ∴ 线 段 MN 的 中 点 坐 标 为
2 (4, 2) .由 y12 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,而

y ?y y1 ? y2 ? 2 ,∴ 1 2 ? 1 ,∴ x1 ? x2 2

直线 MN 的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 ,选 D. 11.【答案】 D 【解析】

考 点:1.线线,线面,面面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平 行时, 需证明平面外的线与平面内的线平行, 则线面平行, 一般可构造平行四边形, 或是构造三角形的中位线,
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可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明 面面平行,要证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,需做辅助线,转化为线面垂直. 12.【答案】B 【解析】解:由三视图可知:原几何体为圆柱的一半,(沿中轴线切开) 由题意可知,圆柱的高为 2,底面圆的半径为 1, 故其表面积为 S=2× π×12+2×2+ ×2π×1×2=3π+4 故选:B 【点评】本题考查由几何体的三视图求面积,由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键,属基础 题.  

二、填空题
13.【答案】 3 . 【解析】解:把 x=0 代入 2x+3y+6=0 可得 y=﹣2,把 y=0 代入 2x+3y+6=0 可得 x=﹣3, ∴直线与坐标轴的交点为(0,﹣2)和(﹣3,0), 故三角形的面积 S= ×2×3=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式,属基础题.   14.【答案】 ? 2016

15.【答案】 6 . 【解析】解:∵ 若 ∥ , ∴2x﹣y+m=0, 即 y=2x+m, 作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 y=2x+m, 由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 C 时,y=2x+m 的截距最大,此时 z 最大. =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).

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由 解得

, ,代入 2x﹣y+m=0 得 m=6.

即 m 的最大值为 6. 故答案为:6

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 m 的几何意义结合数形结合,即可求出 m 的最大值.根据向量 平行的坐标公式是解决本题的关键.   16.【答案】 ±(7﹣i) . 【解析】解:设 z=a+bi(a,b∈R),∵(1+3i)z=(1+3i)(a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i 为纯虚数,∴ . 又 ω= = . 把 a=3b 代入化为 b2=25,解得 b=±5,∴a=±15. ∴ω=± 故答案为±(7﹣i). 【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出.   17.【答案】 6 . =±(7﹣i). = ,|ω|= ,∴

【解析】解:∵|z|=1,
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|z﹣3+4i|=|z﹣(3﹣4i)|≤|z|+|3﹣4i|=1+ ∴|z﹣3+4i|的最大值为 6, 故答案为:6.

=1+5=6,

【点评】本题考查复数求模,着重考查复数模的运算性质,属于基础题.   18.【答案】   . 【解析】解:设 ∴ + . = 故答案为: = ,则 =1× × = ≤ = , 的方向任意. .

,因此最大值为

【点评】本题考查了数量积运算性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵ ∴an+1=f(an)= 则 ∴{ , }是首项为 1,公差为 3 的等差数列; =3n﹣2, , , ,

(2)由(1)得, ∵{bn}的前 n 项和为

∴当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1, 而 b1=S1=1,也满足上式,则 bn=2n﹣1, ∴ = =(3n﹣2)2n﹣1,



=20+4?21+7?22+…+(3n﹣2)2n﹣1,①

则 2Tn=21+4?22+7?23+…+(3n﹣2)2n,② ①﹣②得:﹣Tn=1+3?21+3?22+3?23+…+3?2n﹣1﹣(3n﹣2)2n, ∴Tn=(3n﹣5)2n+5.

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  20.【答案】 【解析】解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 xcm, 在 Rt△EOF 中, ∴ ∴ 依题意函数的定义域为{x|0<x<10} , ,

【点评】本题是一个函数模型的应用,这种题目解题的关键是看清题意,根据实际问题选择合适的函数模型, 注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围.   21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知得:|PF2|=6﹣4=2, 在△PF1F2 中,由勾股定理得, 即 4c2=20 ,解得 c2=5 . , , , ∴m=9﹣5=4; (Ⅱ)设 P 点坐标为(x0,y0),由(Ⅰ)知, ∵ , ,



,解得



∴P(

).

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查了椭圆的简单性质,属中档题.   22.【答案】 【解析】解:(I)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q:∵a1=b1=1,a2=b2,2a3﹣b3=1.

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∴1+d=q,2(1+2d)﹣q2=1,解得 ∴an=1,bn=1; 或 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,bn=3n﹣1. (II)当 当 时,cn=anbn=1,Sn=n.





时,cn=anbn=(2n﹣1)3n﹣1,

∴Sn=1+3×3+5×32+…+(2n﹣1)3n﹣1, 3Sn=3+3×32+…+(2n﹣3)3n﹣1+(2n﹣1)3n, ∴﹣2Sn=1+2(3+32+…+3n﹣1)﹣(2n﹣1)3n= ∴Sn=(n﹣1)3n+1. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.   23.【答案】 【解析】解:(1)∵a>0, ∴f(﹣x)=f(x),即 ∴ 2x(a﹣ ∴(a﹣ ∴a﹣ +a?2x= )﹣ (a﹣ + , )=0, )=0,∵2x+ >0,a>0, + = 是 R 上的偶函数. , ﹣1﹣(2n﹣1)3n=(2﹣2n)3n﹣2,

)(2x+

=0,解得 a=1,或 a=﹣1(舍去),

∴a=1; (2)证明:由(1)可知 ∴ ∵x>0, ∴22x>1, ∴f'(x)>0,
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∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; 【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题.函数的单调性判断一般有两种方法,即定义法和求导判断导数 正负.   24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)依题意得|QF|=yQ+ = + =1,解得 p=1, ∴抛物线 C 的方程为 x2=2y; (Ⅱ)(ⅰ)∵直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点, ∴直线 l 的斜率存在, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为:y=kx+2, 联立方程组 ,化简得:x2﹣2kx﹣4=0,

此时△=(﹣2k)2﹣4×1×(﹣4)=4(k2+4)>0, 由韦达定理,得:x1+x2=2k,x1x2=﹣4, ∴S△AOB= = ×2 = =2 (*) ), |OM|?|x1﹣x2|

又∵A 点横坐标为 n,∴点 A 坐标为 A(n, 又直线过点 M(0,2),故 k= 将上式代入(*)式,可得: f(n)=2 =2 =2 =n+ (n∈N*); = ﹣ ,

(ⅱ)结论:当 A 点坐标为(1, )或(4,8)时,对应不同的△AOB 的面积相等. 理由如下:
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设存在不同的点 Am(m,

),An(n,

)(m≠n,m、n∈N*),

使对应不同的△AOB 的面积相等,则 f(m)=f(n),即 m+ =n+ , 化简得:m﹣n= ﹣ = 又∵m≠n,即 m﹣n≠0, ∴1= ,即 mn=4,解得 m=1,n=4 或 m=4,n=1, ,

此时 A 点坐标为(1, ),(4,8). 【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识,考查运算 求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想,注意解 题方法的积累,属于中档题.  

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