江西省宜春市2012届高三模拟考试数学(理)试题[1]

宜春市 2012 届高三模拟考试 数学(理科)试卷
命题人:

且与另一条渐近线交于点 B ,若 FB ? 2 FA ,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2

??? ?

??? ?





D. 5

(注意:请将答案填在答题卡上) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.在复平面内,复数

? 1 x?2 ? 9.设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? | x ? 2 | ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? af ( x) ? b ? 0 有 3 个 ?1 x?2 ?
不同实数解 x1 、 x2 、 x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法中错误的是( A. x12 ? x22 ? x32 ? 14 B. 1 ? a ? b ? 0 C. a ? 4b ? 0
2

1 ? 2i 对应的点位于 i







A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

D. x1 ? x3 ? 4

2.设全集 U ? R , A ? {x | 2x ( x?2) ? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)} , 则右图中阴影部分表示的集合为 A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1} ) ( )

) 10 . 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 f ( x ) , 当 x ? ( 1,? ? ) , f ( x)? f ' ( x? 时
a ? f (2) , b ?
A. c ? a ? b

x f ' (x ) 成 立 , 恒
( )

1 f (3) , c ? ( 2 ? 1) f ( 2) ,则 a, b, c 的大小关系为 2
B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? b ? a

1 3.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : ? 1 ,则 ? p 是 q 的( x
A.充分不必要条件 C.充要条件 4.如果数列 a1 , B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把正确答案填在题中横线上) 11.已知二项式 ( x ? ) 展开式的前三项的系数成等差数列,则 a =
8

1 a



D

N

C M

a a2 a3 , ,…, n ,…是首项为1 , a1 a2 an ?1
) C. ?32 D. ?64 ( )

12.如右图,在直角梯形 ABCD 中, AB //DC , AD ? AB ,

公比为 ? 2 的等比数列,则 a5 等于( A. 32 B. 64

AD ? DC ? 2 , AB ? 3 ,点 M 是梯形 ABCD 内(包括边界)的 ???? ???? ? 一个动点,点 N 是 CD 边的中点,则 AM ? AN 的最大值是____.
13.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的 体积是 ) 14.已知 2 ?

A
第 12 题 2 4 2

B

5.若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为 A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8

3 4 主视图 左视图 2 4 2 俯视图 第 13 题

cm3 .

6.右图是 2012 年在某大学自主招生考试的面试中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( A. 84, 4.84 7.设 A. ? B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85, 4 )

2 2 3 3 4 4 ,…, ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 3 3 8 8 15 15

,且 sin A ? sin C ? sin B , cos A ? cos C ? cos B ,则 B ? A 等于(

?
3

B.

? 3

C. ?

?
6

D.

? ? 或? 3 3

a a 6 ? ? 6 , a, t 均为正实数,类比以上等式,可推测 a , t 的值, t t

则 a ?t ? . 15.选做题(请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计分)

8.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 A 点, a 2 b2
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(1) (极坐标与参数方程)在直角坐标系 xO y 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? ? 2 ? r cos ? ? ? y ? ? 2 ? r sin ? ?

(? 为参
19. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? log 3

数, r ? 0) .以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ? sin(? ?

3x . 1? x

?
4

(1)证明函数 f ( x ) 的图像关于点 ( ,1) 对称;

) ?1 .当圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 4 时,圆的半径

1 2

r?



(2)若 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f (

1 n

2 n

n ?1 )( n ? N ?, n ? 2) ,求 Sn ; n

(2) (不等式)对于任意实数 x ,不等式 | 2 x ? m | ? | x ? 1|? a 恒成立时,若实数 a 的最大值为 3, 则实数 m 的值为 .

1, n ?1 ? ? (3)在(2)的条件下,若 an ? ? (n ? N? ) , Tn 为数列 {an } 的前 n 项 1 ,n ? 2 ? (S ? 1)(S ? 1) n ?1 ? n
和,若 Tn ? mSn?2 对一切 n ? N? 都成立,试求实数 m 的取值范围.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 16. (本小题 12 分)已知 m ? (cos x ? 3sin x,1), n ? (2cos x, ? y), 满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 已知 ?ABC 三个内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , f ( ) ?3 , a ? 2 , ?ABC 若 且 求 面积的最大值.

??

?

?? ?

A 2

20. (本小题 13 分)已知离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 6 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 经过点 P( 3,1) . a b 3

(2)过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 M 、 N 两点,若 OM ? ON ? 1 17. (本小题 12 分)为丰富高三学生的课余生活,提升班级的凝聚力,某校高三年级 6 个班(含甲、 乙)举行唱歌比赛.比赛通过随机抽签方式决定出场顺序. 求: (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率; (2)比赛中甲、乙两班之间的班级数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 21. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? b, g ( x) ? a ln x . (1)若 f ( x ) 在 x ? [ ? ( O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程.

???? ???? ?

4 6 3tan ?MON

AD DE ? 18.本小题 12 分) ( 如图, 已知 AB ? 平面 ACD , //AB , ACD 为等边三角形, ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. B E
(1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.

3 1 ,1) 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 2
2

(2)若对任意 x ? [1, e] ,都有 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 F ( x) ? ?

A C D

? f ( x), x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ( x) 上是 ? g ( x), x ? 1

F
第 18 题

否存在两点 P 、 Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由。
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2012 届高三数学模拟考试(理)

宜春市 2012 届高三模拟考试数学(理科)答案及评分标准
一、选择题 1.D 2.B 二、填空题 11. 2 或 14 三、解答题 3.A 4.A 5.B 6.C 7.A 8.C 13. 212 ?
3

随机变量 X 的分布列为:

X
9.C 10.A

0
1 3

1
4 15

2
1 5

3
2 15

4
1 15

P
12. 6 14. 41 15. (1) 1 ; (2) 4 或 ? 8

16.解: (1) m ? n ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? y ? 3sin 2x ? cos 2x ?1 ? y

?? ?

? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? y ? 0, 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,………………………3 分 6 6
令 2x ?

?

?

?

6
A 2

? [2k? ?

?

, 2k? ? ] ,得 x ? [k? ? , k? ? ], (k ? Z ) 即为 f ( x) 的单调递增区 2 2 3 6

?

?

?

间. ………………6 分 (2) f ( ) ? 2sin( A ?

?A?

?

? ? ? ? 7? ? ? ) ? 1 ? 3,? sin( A ? ) ? 1, 又 A ? ? ( , ),? A ? ? , 6 6 6 6 6 6 2
………………………………8 分
2 2 2 2 2

3

.

在 ?ABC 中由余弦定理有, a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc 可知 bc ? 4 (当且仅当 b ? c 时取等号),? S?ABC ? 即 ?ABC 面积的最大值为 3.

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? ? 3, 2 2 2

4 1 2 1 4 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? , 15 5 15 15 3 4 即随机变量 X 的数学期望为 . …………………………12 分 3 18. (1)证明:取 CE 的中点 G ,连 FG 、 BG . 1 ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF //DE 且 GF ? DE 2 ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD . ∴ AB //DE ,∴ GF //AB 1 又 AB ? DE ,∴ GF ? AB 2 GFAB 为平行四边形,因此 AF //BG ∴四边形 ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE . ∴ AF // 平面 BCE …………………………………4 分 (2)证明:∵ ? ACD 是等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF
因此 EX ? 0 ? ? 1? 又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE ∵ BG //AF ,∴ BG ? 平面 CDE ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE ………………………………………………………8 分 CDE 内,过 F 作 FH ? CE 于 H ,连 BH (3)解:在平面 ∵平面 BCE ? 平面 CDE ,∴ FH ? 平面 BCE ∴ ?FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角 ………………………………10 分

1 3

………………………………12 分
2 4 A2 ? A4 1 ? . 6 A6 15

17.解: (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件 A ,则 P ? A? ? 所以 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为 (2)随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4 .

1 ………………………………4 分 15

sin 0 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,则 FH ? CF ? 45 ?
2 2 3 A4 ? A 2 ? A 3 1 ? , 6 A6 5

2 a 2

P( X ? 0) ?

A22 ? A55 1 ? , A66 3
3 4 2 2 6 6 2 2

P( X ? 1) ?

4 ? A22 ? A44 4 ? , A66 15
4 4 2 2

P( X ? 2 ) ?

BF ?

AB 2 ? AF 2 ? a 2 ? ( 3a )2 ? 2a ,

P( X ? 3) ?

A ?A ?A 2 ? A 15

P( X ? 4) ?

A ?A 1 ? ……………………10 分 6 A6 15

Rt ?FHB 中, sin ?FBH ?

FH 2 ? BF 4

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∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 (用空间向量法解答对应给分) 19. (1) 证明:因为函数 f ( x ) ? log 3

2 ………………………………………12 分 4

所以 m 的取值范围是 ( , ?? )

1 2

………………12 分

3x 的定义域为 (0,1) , 设 M ( x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 是函数 1? x

20.解: (1)依题意得:

3 1 c 2 a 2 ? b2 2 ? 2 ? 1 ,且 e 2 ? 2 ? ? a2 b a a2 3

y ? f ( x) 图像上的两点, 其中 x1 , x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 ? 1,

解得: a 2 ? 6, b2 ? 2

故椭圆方程为 则有 y1 ? y2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 3 因此函数图像关于点 ( ,1) 对称

x2 y2 ? ?1 6 2

……………………………………………………4 分

9 x1 x2 3 x1 3 x2 ? log 3 ? log 3 ?2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

(2)椭圆的左焦点为 F1 ? 2 , 0) ,则直线 l 的方程可设为 y ? k ( x ? 2) ( 代入椭圆方程得: (3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 设 M ( x1 , y1 ), N ?x 2 , y 2 ? , 则x1 ? x 2 ? ?

1 ……………………………………4 分 2 (2)由(1)知当 x1 ? x2 ? 1时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 1 2 n? 1 n ?1 2 1 S n ? f( ) ? f ( ? ? f ( ) ) S n ? f( ) ?? ? f ( ) ? f ( ) ② ① n n n n n n ①+②得 Sn ? n ? 1 ………………………………………………………………8 分

12k 2 3k 2 ? 1
???? ? ????

x1 ? x 2 ?

12k 2 ? 6 …………6 分 3k 2 ? 1
4 6, 3

1 1 1 (3)当 n ? 2 时, an ? ? ? n( n ? 1) n n ? 1 当 n ? 1 时, a1 ? 1 , T1 ? 1
当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ∴ Tn ?

由 OM ? ON ? 即 S ?OMN ?

???? ???? ?

4 6 3tan ?MON

得: | OM | ? | ON | sin ?MON ?

1 2

1 3

1 3

1 4

1 1 3 1 3n ? 1 ? )= ? ? ? n n?1 2 n ? 1 2( n ? 1)

2 6 ……………………………………………………………………9 分 3
2

3n ? 1 2( n ? 1)

又 | MN |? 1 ? k | x1 ? x2 |?

( n ? N? ) 则 S ?OMN

| 2k | 2 6 (1 ? k 2 ) ,原点 O 到 l 的距离 d ? , 2 3k ? 1 1? k 2

3n ? 1 ? m( n ? 1) 恒成立 又 Tn ? mSn? 2 对一切 n ? N ? 都成立,即 2( n ? 1)
∴ 2m ?

1 ? | MN | d ? 2

6 (1 ? k 2 ) | 2k | 2 ? ? 6 2 2 3 3k ? 1 1? k
3 ( x ? 2) ………………………………13 分 3

3n ? 1 3n ? 1 1 ? 3n ' 恒成立,又设 f ( n) ? 2 , f ( n) ? ? 0, 所以 f (n) 在 n ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ( n ? 1)3
2

解得 k ? ?

3 3

? l 的方程是 y ? ?

n ? N ? 上递减,所以 f (n) 在 n ? 1 处取得最大值 1
∴ 2 m ? 1 ,即 m ?

(用其他方法解答参照给分)

1 2

21.解: (1)由 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? b ,得 f ?( x) ? ?3x2 ? 2x ? ? x(3x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:
2012 届高三数学模拟考试(理) 第 4 页 共 5 页

2 . 3

x
f ?( x) f ( x)

?

1 2

1 (? ,0) 2
?

0 0
极小值

2 (0, ) 3

2 3
0
极大值

2 ( ,1) 3
?
?

1 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h?(t ) ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h?(t ) ? 0 ,即 h (t ) 在 (1, ??) 上为增函数,
? h(t ) 的值域为 (h(1), ??) ,即 (0, ??) ,

?
?

1 f (? ) 2

?

? 当 a ? 0 时,方程 (*) 总有解. ? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ( x) 上总存在两点 P, Q ,使得

1 3 2 4 1 2 ∵ f (? ) ? ? b , f ( ) ? ? b , ? f (? ) ? f ( ) , 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,? b ? 0 .………………………………………………4 分 2 8 8
(2)由 g ? x ? ? ?x 2 ? (a ? 2)x ,得 ( x ? ln x)a ? x 2 ? 2 x .
? x ? [1, e],? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,

?POQ 是 以 O ( O 为 坐 标 原 点 ) 为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形 , 且 此 三 角 形 斜 边 中 点 在 y 轴

上.………………14 分

?a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒成立,即 a ? ( )min . x ? ln x x ? ln x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2ln x) x2 ? 2 x 令 t ( x) ? , ,( x ?[1, e]) ,求导得, t ?( x) ? ( x ? ln x) 2 x ? ln x
当 x ??1, e? 时, x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? 2ln x ? 0 ,从而 t ?( x) ? 0 ,

? t ( x ) 在 ?1,e? 上为增函数,?tmin ( x) ? t (1) ? ?1 ,? a ? ?1 .………………………………8 分

?? x3 ? x 2 , x ? 1 (3)由条件, F ( x) ? ? , ?a ln x, x ? 1

假设曲线 y ? F ( x) 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P(t , F (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1 .

? ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形, ??? ???? ? ?OP ? OQ ? 0 ,??t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ? (*) ,……………………………………10 分
是否存在 P, Q 等价于方程 (*) 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解. ①若 0 ? t ? 1 时,方程 (*) 为 ?t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 , 此方程无解; ………………………………………………………………………11 分 ②若 t ? 1 时, (*) 方程为 ?t 2 ? a ln t ? (t 3 ? t 2 ) ? 0 ,即

1 ? (t ? 1)ln t , a

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