2015-2016学年辽宁省锦州市下学期高二期末考试市区统考试卷 数学(文)

2015~2016 学年度第二学期期末考试

高二数学(文)
注意事项: 1.本试卷备有答题卡,请在答题卡上作答。 2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 3. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本 试卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) (1)已知 i 是虚数单位,则复数 z ? (A)第一象限

2?i 在复平面内对应的点所在的象限为 4 ? 3i
(C)第三象限 (D)第四象限
2

(B)第二象限

(2)已知集合 M ? 1, (m ? 3m ? 1) ? (m ? 5m ? 6) i ,其中 i 是虚数单位, N ? ? 1, 3 ? ,
2

?

?

M ? N ? ? 1, 3 ? ,则实数 m 的值为
(A)4 (B)-1 (C)4 或-1 (D)1 或 6 (3)下列框图中,是流程图的是 (A) 整数指数幂 (B)

有理数指数幂 频率 概率

无理数指数幂

随机事件

(C) 买票

候车

检票

上车

定义
(D) 对数函数

图像与性质
(4)设函数 f ( x) ( x ? R) 为奇函数, f (1) ? (A)

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (3) ? 2
(C)1 (D)2

1 3

(B)

3 2

(5)类比下列平面内的结论,在空间中仍能成立的是 ①平行于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两条直线平行; ③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则必与另一条垂直; ④如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则必与另一条相交. (A)①②④ (B)①③ (C)②④ (D)①③④ (6)观察下式:1=12 ,2+3+4=32 , 3+4+5+6+7=52 ,4+5+6+7+8+9+10=72,?,则第 n 个式子是 (A)n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=n2 (B)n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=(2n-1)2
页 1第

(C)n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 (D)n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)2 (7)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)(其中a ? b) 的图象如图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是
y -1 1
O

x

y
1 O

y
1

y
1

y
1

x

O (B)

x

O

x

O

x

(A)

(C)
1 3

(8)“因对数函数 y ? log a x 是增函数(大前提),而 y ? log

(D)

x 是对数函数(小前提),所以 y ? log 1 x 是增
3

函数(结论).”上面推理错误的是 (A)大前提错导致结论错 (B)小前提错导致结论错 (C)推理形式错导致结论错 (D)大前提和小前提都错导致结论错 (9)变量 x , y 具有线性相关关系,当 x 取值为 16 ,14 ,12 ,8 时,通过观测得到 y 的值分别 为 11 ,9 ,8 ,5.若在实际问题中,预测当 y =10 时, x 的近似值为

?? (参考公式: b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a
(D)17

2 i

(A)14 (B)15 (C)16 (10)函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? log2 x 的零点所在的一个区间是 (A) ? , ?

?1 1? ?8 4?

(B) ?

?1 1? , ? ?4 2?

(C) ?

?1 ? ,1? ?2 ?

(D) (1,2)

(11)下列说法 ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变; ? ? 3 ? 5x ,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ②设有一个回归方程 y

? ?a ? ? bx ? 必过点 ( x, y ) ; ③线性回归方程 y
④在一个 2×2 列联表中,由计算得 ? =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是小 于 90%.
2

独立性检验临界值表

P( ? 2 ? k ) K
其中错误的个数是 (A)1 (B)2

0.05 3.841

0.010 6.635
(C)3

0.005 7.879
(D)4

0.001 10.828

(12)已知函数 f ( x) ? ln x ? tan ? (0 ? ? ? 则 ? 的取值范围为 (A) (

?
2

) 的导函数为 f ?( x ) ,若方程 f ?( x) ? f ( x) 的根 x0 小于 1,

? ?

, ) 4 2

(B) (0,

?
3

)

(C) (

? ?

, ) 6 4

(D) (0,

?
4

)

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分.)
页 2第

(13)如果质点 M 按规律 s ? 3 ? t 运动,则在一小段时间[2 , 2.1]中相应的平均速度是_____.
2

(14)用反证法证明命题“若 a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ( a , b 为实数)” ,其反设为________.
2 2

(15)如图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集” ,则应该放在________的下位.

(16)已知函数 f ( x) 的定义域为(0,+∞),且 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? 1 ,则 f ( x) =________. 三.解答题 ( 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) (17) (本小题满分 10 分) 已知 i 是虚数单位, z1 ? x ? yi ( x, y ? R) ,且 x ? y ? 1 , z2 ? (3 ? 4 i ) z1 ? (3 ? 4 i ) z1 .
2 2

1 x

(I) 求证: z2 ? R ; (II)求 z 2 的最大值和最小值. (18) (本小题满分 12 分) 某公司在甲, 乙两地销售同一种品牌的汽车, 利润(单位: 万元)分别为 L1 ? 5.06 x ? 0.15 x 和 L2 ? 2 x , 其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,求该公司能获得的最大利润为多少万元? (19)(本小题满分 12 分)
2

已知 a ? b ? 0 ,求证: (a ? b) ? a ? b ? ab ? (a ? b)
2

2

8a

2

8b

(20) (本小题满分 12 分) 第 24 届冬奥会将于 2022 年在我国北京和张家口举行, 为了搞好接待工作, 组委会招募了 16 名男志愿 者和 14 名女志愿者,调查发现,男,女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余人不喜爱运动. (I)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 女 10 6 16 14

总计 30 (II)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与喜爱运动有关? (III)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有 4 人会外语),抽取 2 名负责翻译工作,那么抽出的志愿 者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是多少? 附: ? ?
2

n(n11n22 ? n12 n21 ) n1? ? n2? ? n?1 ? n? 2
P(χ2≥k0) k0 0.40 0.708 0.25 1.323 0.10 2.706 0.010 6.635

独立检验临界值表:

(21) (本小题满分 12 分) 对于函数 f (x) ,若存在 x0 ? R ,使得 f (x0 )=x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点. 已知 f ( x) ? a x ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0) .
2

(I) 当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (II) 若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;
页 3第

(III)在(II)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A , B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A , B 两 点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

(22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(I)若曲线 y =f (x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (II)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2? ,均存在 x2 ? (0, 2? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值 范围.

2015~2016 学年度第二学期期末考试评分标准及参考答案

高二数学(文)
第Ⅰ卷
一、选择题:DBCBC

CAABC

BA

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)4.1 (14)a,b 不全为 0 (15)“基本关系” 2 1 (16) x+ . 3 3

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分)

(1)证明 ∵z1=x+yi,- z 1=x-yi(x,y∈R), ∴z1+- z 1=2x,z1-- z 1=2yi. ∴z2=(3+4i)z1+(3-4i)- z 1, =3(z1+- z 1)+4i(z1-- z 1). =6x+8yi2=(6x-8y)∈R. (2)解 ∵x2+y2=1, 设 u=6x-8y,代入 x2+y2=1 消去 y 得 64x2+(6x-u)2=64. ∴100x2-12ux+u2-64=0. ∵x∈R,∴Δ≥0. ∴144u2-4×100(u2-64)≥0. ∴u2-100≤0.
页 4第

...................................5 分

∴-10≤u≤10. ∴z2 的最大值是 10,最小值是-10.
(18) (本小题满分 12 分)

...................................10 分



设在甲地销售 m 辆车,在乙地销售(15-m)辆车,

则总利润 y=5.06m-0.15m2+2(15-m)=-0.15m2+3.06m+30, ...................................3 分 所以 y′=-0.3m+3.06. 令 y′=0,得 m=10.2. 当 0≤m<10.2 时,y′>0; 当 10.2<m≤15 时,y′<0. 故当 m=10.2 时,y 取得极大值,也就是最大值...................................10 分 又由于 m 为正整数, 且当 m=10 时,y=45.6; 当 m=11 时,y=45.51. 故该公司获得的最大利润为 45.6 万元....................................12 分
(19)(本小题满分 12 分) ?a-b?2 a+b ?a-b?2 已知 a>b>0,求证: < - ab< . 8a 2 8b [证明] 要证明原不等式成立, ?a-b?2 ?a-b?2 只需证 <a+b-2 ab< , 4a 4b ?a-b?2 ?a-b?2 即证 <( a- b)2< . 4a 4b 因为 a>b>0,所以 a-b>0, a- b>0. a-b a-b 所以只需证 < a- b< , 2 a 2 b 即证 即证 a+ b a+ b <2< , a b b a b a <1< ,即证 <1< . a b a b

...................................5 分

...................................3 分

...................................6 分

...................................10 分

b a 因为 a>b>0,所以 <1< 成立. a b 故原不等式成立. (20) (本小题满分 12 分) 解析 (1)
页 5第

...................................12 分

喜爱运动 男 女 总计 10 6 16

不喜爱运动 6 8 14

总计 16 14 30

...................................4 分
(2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得
2

K2=

30×?10×8-6×6? ≈1.1 575<2.706. ?10+6??6+8??10+6??6+8?

因此,在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.

...................................8 分
(3)喜欢运动的女志愿者有 6 人, 设喜欢运动的女志愿者分别为 A、B、C、D、E、F,其中 A、B、C、D 会外语,则从这 6 人中任取 2 人 有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种取法, 其中两人都不会外语的只有 EF 这 1 种取法. 1 14 故抽出的志愿者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是 P=1- = ................12 分 15 15 (21) (本小题满分 12 分) 解: (1)? a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3 ,

f ( x) ? x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3

? 函数 f ( x) 的不动点为-1 和 3;
2

..............4 分

(2)即 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根,转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 有两个不等实 根,需有判别式大于 0 恒成立 即

b2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 , ? a 的 取 值 范 围 为
..............8 分
b , a

0 ? a ? 1;
(3)设 A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 对称, 2a ? 1 又因为 A,B 在直线 y ? x 上, 1 ? k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ? 2 上. 2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a
页 6第

利用基本不等式可得当且仅当 a ? (22) (本小题满分 12 分)

1 2 时,b 的最小值为 . 2 2 2

..............12 分

2 解: (1)由题, f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? , x
? f ?(1) ? f ?(3) ,? a ? 2a ? 1 ? 2 ? 3a ? 2a ? 1 ?

2 , 3
???????????2 分

解得 a ?

2 . 3

ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 ( x ? 2)(ax ? 1) , ? x x 2? x <1>当 a ? 0 时, f ?( x) ? , x ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 2) ,单调递减区间为 (2, +?) .
(2)由题, f ?( x) ? <2>当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

1 ? 0 , x2 ? 2 , a ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 2) ,单调递减区间为 (2, +?) . 1 ? 0 , x2 ? 2 , a

<3>当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ①当

1 1 ? 2 ,即 a ? 时, f ?( x) …0 对 x ? 0 恒成立, a 2 ? ?) ,无减区间; ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, 2 a

②当

1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 2) 和 ( , ? ?) ,单调递减区间为 (2, ) ; a a
③当

1 1 ? 2 ,即 a ? 时, a 2

1 1 ? ?) ,单调递减区间为 ( , ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) 和 (2, 2) ;???????7 分 a a
2] , (3)由题, f ( x)max ? g ( x)max , x ? (0, 2] 恒成立. ? g ( x)max ? g (2) ? 0 ,? f ( x)max ? 0 对 x ? (0,

由(2)知, ①当 a ?

1 2] 上单调递增, 时, f ( x) 在 (0, 2

? f ( x)max ? f (2) ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 ,
? ln 2 ? 1 ? a ? 1 .

②当 a ?

1 1 1 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , 2) 上单调递减, 2 a a
? ?

1 a 1 1 1 ? f ( x)max ? f ( ) ? ? (2a ? 1) ? 2ln , 2 a 2 a a a



7第

? ?2 ?

1 1 , ? 2ln a ? ?2(1 ? ln a) ? 2a 2a

?a ? ?a ?

1 1 1 1 ,? ln a ? ln ? ln ? ?1 ,? f ( ) ? 0 ,即 f ( x)max ? 0 , 2 e a 2

1 符合题意. 2 ? ?) . 综上所述:实数 a 的取值范围为 (ln 2 ? 1,

????????????12 分



8第


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