「精品」高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系优化训练新人教B版必修2

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1.2.3 空间中的垂直关系

5 分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直

线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为( )

A.m ? α ,m∩n=B,l⊥n,l⊥m ?l⊥α

B.m ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n ?l⊥α

C.m ? α ,n ? α ,m∩n=B ?l⊥n,l⊥m,l⊥α

D.m ? α ,n ? α ,l⊥m,l⊥n ?l⊥α

解析:将文字语言转化为集合符号语言时,比较好的方法是边读题,注意各个要求,边画图,同时

用符号表示出来,它们同步进行,可以避免漏条件.另外由于这是一道选择题,也可以从选项入手排

除错误选项,确定正确答案.

答案:B

2.关于直线 m、n 与平面 α 、β ,有下列四个命题:

①m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n;②m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m⊥n;

③m⊥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m⊥n;④m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n.

其中真命题的序号是( )

A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

解析:①若 m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n 为假命题,可能出现直线相交的情况;④若 m∥α ,n⊥β

且 α ⊥β ,则 m∥n 为假命题,可能出现直线相交的情况.

在①④的条件下,m、n 的位置关系不确定.

答案:D

3.PA⊥正方形 ABCD 各边,连结 PB、PC、PD、AC,则互相垂直的平面有_____________对.

解析:由已知可得,PA、AB、AD、BC、CD 均是某个平面的垂线,平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAD⊥

平面 ABCD,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAD⊥平面 PDC,平面 PAC⊥平面 ABCD.

答案:6

10 分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面.下列叙述正确的是( )

A.m⊥α ,n ? β ,m⊥n ?α ⊥β

B.α ∥β ,m⊥α ,n∥β ?m⊥n

C.α ⊥β ,m⊥α ,n∥β ?m⊥n

D.α ⊥β ,α ∩β =m,n⊥m ?n⊥β

解析:此类题采用排除法解题,通过很好地找出反例,从而准确地判断出直线与直线、直线与平面、

平面与平面的位置关系.

答案:B

2.设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )

A.若 a∥b,a∥α ,则 b∥α

B.若 α ⊥β ,a∥α ,则 a⊥β

C.若 α ⊥β ,a⊥β ,则 a∥α

D.若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则 α ⊥β

解析:对于 A,直线 b 可能在平面 α 内;对于 B,直线 a 可能与平面 β 斜交;对于 C,直线 a 可能

在平面 α 内.因此,选 D.

答案:D

3.如图 1-2-3-1,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a,PB=PD=2a,则它的五

1

个面中,互相垂直的面是_____________.

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图 1-2-3-1

图 1-2-3-2

解析:由勾股定理逆定理得 PA⊥AD,PA⊥AB,∴PA⊥面 ABCD,PA⊥CD,PA⊥CB.由直线与平面垂直的判

定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论.

答案:平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面

PAD⊥平面 PCD.

4.如图 1-2-3-2,已知 a∥α ,a⊥β .求证:α ⊥β .

解析:已知条件中已经有一条直线 a 与平面 β 垂直,可以想到利用线面平行的性质定理,过 a 作辅

助平面去截平面 α ,从而在平面 α 内找一条与直线 a 平行的直线.

证明:过 a 作一平面 γ ,设 γ ∩α =a′,

∵a∥α ,则 a∥a′.

又∵a⊥β ,则 a′⊥β ,

又∵a′ ? α ,由面面垂直的判定定理知 α ⊥β .

5.如图 1-2-3-3,四棱锥 P—ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 是侧

棱 PD 的中点.

图 1-2-3-3 (1)求证:PB∥平面 EAC; (2)求证:AE⊥平面 PCD. 解析:(1)要证线面平行,只需在面 EAC 中找一直线与 PB 平行即可. (2)只需在 PCD 中找两条相交直线与 AE 垂直即可. 证明:(1)连结 BD,BD∩AC=O,连结 EO,则 EO 为△PDB 的中位线,则 PB∥EO.所以 PB∥平面 EAC.

(2)

平面PAD ? 平面ABCD ? 矩形ABCD ? CD ? AD??

?CD⊥平面

PAD ?CD⊥AE.

EP ? ED?

正?PAD

? ?

?AE⊥PD,则

AE⊥平面

PCD.

6.如图 1-2-3-4 所示,已知 ABCD 是矩形,AB=a,AD=b,PA⊥平面 ABCD.PA=2c,Q 是 PA 的中点.

图 1-2-3-4
2

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求:(1)点 Q 到 BD 的距离; (2)点 P 到平面 BQD 的矩离. 解:(1)在矩形 ABCD 中,作 AE⊥BD,E 为垂足,连结 QE. ∵QA⊥ 平 面 ABCD, 可 证 得 QE⊥BE,∴QE 的 长 为 点 Q 到 BD 的 距 离 . 在 矩 形 ABCD
中,AB=a,AD=b,∴AE= ab . a2 ? b2

∴在 Rt△QAE 中,QA= 1 PA=c. 2
∴QE= QA2 ? AE2 ? c2 ? a2b2 . a2 ? b2

∴Q 到 BD 的距离为 c 2 ? a 2b2 . a2 ? b2
(2)方法一:∵平面 BQD 经过线段 PA 的中点, ∴点 P 到平面 BQD 的距离等于点 A 到平面 BQD 的距离. 在△AQE 中,作 AH⊥QE,H 为垂足. ∵BD⊥AE,BD⊥QE, ∴BD⊥平面 AQE.∴BD⊥AH. ∴AH⊥平面 BQE,即 AH 为点 A 到平面 BQD 的距离.
在 Rt△AQE 中,AQ=c,AE= ab , a2 ? b2

∴AH=

abc

.

(a 2 ? b2 )c2 ? a 2b2

∴点 P 到平面 BDQ 的距离为

abc

.

(a 2 ? b2 )c2 ? a 2b2

方法二:本题也可用体积法求解.

设点 A 到平面 QBD 的距离为 h,

1 1 由 V =V , A—BQD Q—ABD S△BQD·h= S△ABD·AQ,

3

3

∴h= S?ABD ? AQ ? ? ?

abc

.

S ?BQD

(a 2 ? b2 )c2 ? a2b2

30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.给出以下四种说法:

3

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①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平

行;

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

其中正确的个数是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定易知③错,①②④正确,故选 B.

答案:B

2.已知直线 l 和平面 α 、β ,且 l α ,l β ,给出以下 3 个论断:①l⊥α ;②l∥β ;③α ⊥β .从中 任取两个作为条件,剩下的一个作为结论,那么( )

A.一共可以写出 6 个命题,其中有 2 个命题正确

B.一共可以写出 3 个命题,其中有 2 个命题正确

C.一共可以写出 6 个命题,这 6 个命题都正确

D.一共可以写出 3 个命题,这 3 个命题都正确

解析:(1)①② ?③;(2)②③ ?①;(3)①③ ?②,其中(1)(3)为真命题.

答案:B

3.如果直线 l、m 与平面 α 、β 、γ 满足:l=β ∩γ ,l∥α ,m ? α 和 m⊥γ ,那么必有( )

A.α ⊥γ 且 l⊥m

B.α ⊥γ 且 m∥β

C.m∥β 且 l⊥m

D.α ⊥γ 且 α ⊥β

解析:由已知有

m m

? ?

? ?

? ? ?

?

α

⊥γ

,又 l=β

∩γ

?

l ?? m??

? ? ?

? l⊥m.故

A

对.

答案:A

4.若△ABC 所在平面外一点 P,分别连结 PA、PB、PC,则这四个三角形中直角三角形的个数最多为

()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:设△ABC 为 Rt△,过一锐角顶点 A 作 PA⊥平面 ABC,则四个三角形都是直角三角形,∴应选

D.

答案:D

5.已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,给出下列四个命题:①若 m⊥α ,m⊥β ,

则 α ∥β ;②若 m ? α ,n ? β ,m∥n,则 α ∥β ;③若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α ;④若 m⊥α ,m ? β ,

则 α ⊥β ;其中正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:①③④都是教材上定理的变形,只有②是错误的,因为两个不重合的平面内只有一条直线互

相平行,是不能推出两平面平行的.

答案:C

6.已知平面 α 外不共线的三点 A、B、C 到 α 的距离都相等,则正确的结论是 ( )

A.平面 ABC 必不垂直于 α

B.平面 ABC 必平行于 α

C.平面 ABC 必与 α 相交

D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内

解析:当三点 A、B、C 不在平面 α 的同侧时,平面 ABC 与 α 相交,相交时也可能垂直于 α ,排除 A、

C.

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答案:D 7.如图 1-2-3-5,下列五个正方体图形中,l 是正方体的一条体对角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的 中点,能得出 l⊥面 MNP 的图形的序号是___________.(写出所有符合要求的图形的序号)
图 1-2-3-5 解析:∵正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直,∴可得①中直线 l 平行于平面 MNP 中的两条 相交直线,∴由①能得出 l⊥平面 MNP;但②③中平面 MNP 不与①中的平面 MNP 平行,这样由②③不 能得到 l⊥平面 MNP;④中易得 l⊥MP,而 MN 也与下底面对角线平行,所以④同样可得 l⊥平面 MNP; 问题⑤不易判断,这里略证一下:如图,E、F、G 是正方体棱的中点,则过 P、M、N 的截面就是六边形 PGMENF. ∵l⊥PF,l⊥FN,∴l⊥面 PFN,即 l⊥面 PGMENF,即 l⊥面 PMN.
答案:①④⑤ 8.设 x、y、z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z, 则 x∥y”为真命题的是_____________.(填所有正确条件的代号) ①x 为直线,y、z 为平面 ②x、y、z 为平面 ③x、y 为直线,z 为平面 ④x、y 为平面,z 为直线 ⑤x、 y、z 为直线 解析:同垂直于一直线的两面平行,同垂直于一面的两线平行,同垂直于一面的线面也平行.(不包含 的话) 答案:①③④ 9.在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,且 AB=BC,能否在侧棱 BB1 上找到一点 E,恰使截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C?若能,指出 E 点的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由. 解:作 EM⊥A1C 于 M, ∵截面 A1EC⊥面 AA1C1C, ∴EM⊥面 AA1C1C.取 AC 的中点 N, ∵AB=BC,∴BN⊥AC.而面 ABC⊥面 AA1C1C, ∴BN⊥面 AA1C1C. ∴BN∥EM.∴面 BEMN∩面 AA1C1C=MN. 又 BE∥面 AA1C1C,∴BE∥MN∥A1A. ∵AN=NC,∴A1M=MC.而 BEMN 为矩形,
∴BE=MN= 1 A1A,即 E 为 BB1 中点时,面 A1EC⊥面 AA1C1C. 2
10.如图 1-2-3-6,OA、OB、OC 分别是平面 α 内过 O 点的三条射线,P 是平面 α 外一点,若 ∠POA=∠POB=∠POC,求证:PO⊥α .
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图 1-2-3-6
证明:若∠POA=∠POB=∠POC≠ ? ,作 PH⊥α ,HD⊥OA 于 D,HE⊥OB 于 E,连结 PD、PE,则 PD⊥OA,PE⊥OB. 2
∵∠POA=∠POB,PO 公共, ∴Rt△POD≌Rt△POE. ∴PD=PE.∴HD=HE. ∴点 H 在∠AOB 的平分线上. 同理,点 H 也在∠AOC 的平分线上. ∴点 H 是∠AOB 的平分线与∠AOC 的平分线的交点,即点 O.
∵PO⊥平面 α ,∴PO⊥OA.这与∠POA≠ ? 矛盾,∴假设不成立. 2
∴∠POA=∠POB=∠POC= ? . 2
∴PO⊥α . 11.如图 1-2-3-7,PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点.
图 1-2-3-7 (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD. 证明:(1)如图,取 PD 的中点 E,连结 AE、EN,
则有 EN 1 CD 1 AB AM. 22
故 AMNE 是平行四边形.∴MN∥AE.
∵AE ? 平面 PAD,MN 平面 PAD,
∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB. 又 AD⊥AB,∴AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN.又 CD∥AB,
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∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD. 又∠PDA=45°,E 是 PD 的中点, ∴AE⊥PD,即 MN⊥PD. 又 MN⊥CD,∴MN⊥平面 PCD. 12.如图 1-2-3-8,在三棱锥 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,且△ABC 是等边三角形,在侧面三条对角线 AB1、BC1、CA1 中,AB1⊥BC1.求证:AB1⊥CA1.
图 1-2-3-8 证明:延长 B1C1 到 D,使 C1D=BC,连结 CD、A1D. ∵BC∥C1D,∴C1DCB 为平行四边形. ∴BC1∥CD. ∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥CD. 在△A1B1D 中,∵B1C1=A1C1=C1D, ∴∠B1A1D=90°,A1D⊥A1B1.
∵AA1⊥底面 A1B1C1,A1D ? 面 A1B1C1,
∴AA1⊥A1D. ∴A1D⊥面 A1B1BA. ∴A1D⊥AB1. ∵AB1⊥CD,∴AB1⊥平面 A1CD. ∴AB1⊥CA1.
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