「精品」高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系2自我小测新人教B版必修2

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1.2.3 空间中的垂直关系 2

自我小测 1.设平面 α ⊥平面 β ,且 α ∩β =l,直线 a? α ,直线 b? β ,且 a 不与 l 垂直,b 不与 l 垂直,

那么 a 与 b( )

A.可能垂直,不可能平行

B.可能平行,不可能垂直

C.可能垂直,也可能平行

D.不可能垂直,也不可能平行

2.给出以下四种说法:

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交

线平行;

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

其中正确的个数是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

3.如果直线 l,m 与平面 α ,β ,γ 满足 l=β ∩γ ,l∥α ,m? α ,m⊥γ ,那么必有( )

A.α ⊥γ 和 l⊥m B.α ∥γ 和 m∥β

C.m∥β 和 l⊥m D.α ∥β 和 α ⊥γ

4.设 l,m,n 为三条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,下列命题中正确的是( )

A.若 l⊥α ,m∥β ,α ⊥β ,则 l⊥m B.若 m? α ,n? α ,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α

C.若 l∥m,m∥n,l⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,n∥β ,α ∥β ,则 m∥n

5.下列说法正确的是( )

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;

②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;

③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;

④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.

A.①③ B.②③ C.②③④ D.④

6.如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折

起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列说法正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC
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B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

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7.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点 O,且一点 P 到这三个平面的距离分别为 3,4,5,则 OP 的长为________.
8.已知平面 α ,β 和直线 m,给出条件: ①m∥α ;②m⊥α ;③m? α ;④α ⊥β ;⑤α ∥β . (1)当满足条件________时,有 m∥β ; (2)当满足条件________时,有 m⊥β .(填所选条件的序号).
9.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β ; (2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; (3)设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直. 上面命题中,真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).
10.如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E、F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12, AD=5,BC= 4 2 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合于点 G, 得到多面体 CDEFG.
(1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积. 11.如图所示,在三棱锥 P?ABC 中,E,F 分别为 AC,BC 的中点.
(1)求证:EF∥平面 PAB; (2)若平面 PAC⊥平面 ABC,且 PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面 PEF⊥平面 PBC. 12.如图所示,在三棱锥 S?ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足 为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.
2

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA.

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参考答案 1.解析:若 a∥l,b∥l,则 a∥b,但 a 与 b 不可能垂直.
答案:B 2.解析:根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知③错,①②④正确,故选 B.
答案:B 3.解析:由 m⊥γ ,l? γ ,可得 m⊥l.由 m? α ,m⊥γ ,可得 α ⊥γ .
答案:A 4.解析:A 项中,l∥β 或 l? β ,m 与 l 可能异面、相交或平行,故 A 项错;B 项中,若 m∥n,则
无法得出 l⊥α ,故 B 项错;C 项中,由 l∥m 及 m∥n,可得 l∥n,又 l⊥α ,所以 n⊥α ,故 C 项正确;D 项中,m 与 n 可能异面或相交,故 D 项错.故选 C. 答案:C 5.解析:过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所 以①不对;若 α ⊥β ,a⊥α ,则 a? β 或 a∥β ,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线 时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对. 答案:D 6.解析:在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB, 所以∠ADB=∠ABD=45°. 因为 AD∥BC,所以∠DBC=45°. 又因为∠BCD=45°, 所以∠BDC=90°,即 BD⊥CD. 在题图②中,此关系仍成立. 因为平面 ABD⊥平面 BCD,所以 CD⊥平面 ABD. 因为 BA? 平面 ADB,所以 CD⊥AB. 因为 BA⊥AD,所以 BA⊥平面 ACD. 因为 BA? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ACD. 答案:D 7.解析:OP 可看作是以 3,4,5 为棱长的长方体的体对角线. 答案: 5 2 8.答案:③⑤ ②⑤ 9.解析:(1)由面面平行的判定定理可得,该命题正确. (2)由线面平行的判定定理可得,该命题正确. (3)如图(举反例),a? α ,α ∩β =l,a⊥l,但 α 与 β 不垂直.
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答案:(1)(2) 10.(1)证明:因为 DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形 CDEF 为矩形,
由 GD=5,DE=4,得
GE= GD2 ? DE2 =3. 由 GC= 4 2 ,CF=4,得 FG= GC2 ? CF 2 =4,所以 EF=5.
在△EFG 中,有 EF2=GE2+FG2, 所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF,CF⊥FG,所以 CF⊥平面 EFG. 所以 CF⊥EG,所以 EG⊥平面 CFG. 又 EG? 平面 DEG,所以平面 DEG⊥平面 CFG. (2)解:如图,在平面 EGF 中,过点 G 作 GH⊥EF 于点 H, 则 GH= EG GF = 12 .
EF 5 因为平面 CDEF⊥平面 EFG,所以 GH⊥平面 CDEF, 所以 V 多面体 = CDEFG 1 S 矩形 CDEF·GH=16.
3 11.证明:(1)因为 E,F 分别为 AC,BC 的中点,
所以 EF∥AB.
又 EF ? 平面 PAB,AB? 平面 PAB,
所以 EF∥平面 PAB. (2)因为 PA=PC,E 为 AC 的中点, 所以 PE⊥AC. 又因为平面 PAC⊥平面 ABC,PE? 平面 PAC. 所以 PE⊥平面 ABC,所以 BC⊥PE. 因为∠ABC=90°,所以 BC⊥AB. 又 EF∥AB,所以 BC⊥EF.
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又 PE∩EF=E,所以 BC⊥平面 PEF. 又 BC? 平面 PBC, 所以平面 PEF⊥平面 PBC. 12.证明:(1)因为 AS=AB,AF⊥SB, 垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.

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又因为 E 是 SA 的中点,所以 EF∥AB.
因为 EF ? 平面 ABC,AB? 平面 ABC,
所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC. 又 EF∩EG=E,所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC, 且交线为 SB, 又 AF? 平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC. 因为 BC? 平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF? 平面 SAB,AB? 平面 SAB, 所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA? 平面 SAB,所以 BC⊥SA.

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