江苏省响水中学高中数学 第二章《函数的奇偶性》课件 苏教版必修1_图文

第6课时 函数的奇 偶性 1.理解函数的奇偶性及其几何意义,会判断函数的奇偶 性. 2.了解奇、偶函数图象的对称性. 美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的 图标等都蕴含了对称的美,这种“对称 美”在数学中也有大量的反映. 问题1 观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样 的对称性?第一个图片可看作一个轴对称图 形,第二个图片可看作一个中心对称图形. 问题2 (1)奇函数、偶函数是如何定义的? (2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征? (1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都f(-x)=f(x) 有 ,那么f(x)就叫作偶函数. 奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么f(x)就叫作奇函数. (2)偶函数的图象关于 y轴 对称,奇函数的图象关于 原点 对称. 问题3 奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在x=0 处有定义,能得出什么结论? 函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的 定义可知,函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义 域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变 原点 对称). 量(即定义域关于 若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则必有 原点 . f(0)= 0 ,即函数图象必过 问题4 奇偶性与单调性有什么联系? (1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的 单调性. (2)偶函数在关于原点对称的区间上具有 的 相反 单调性. 1 下列图象是函数图象且具备奇偶性的是 ② . 【解析】先看图象是否是函数图象,再判断函数图象是否 关于原点或 y 轴对称,只有②中的图象符合. 2 下列函数是偶函数的是 ①y=x; ②y=2x2-3; ③y= ; ④y=x2,x∈[0,1]. 1 ② . 【解析】①中是奇函数;②中是偶函数;③④中的定义域不关于 原点对称,故为非奇非偶函数. 3 函数 y=-|x|是 偶 函数. 【解析】∵f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),∴函数 y=-|x| 为偶函数. 4 判断下列函数的奇偶性: (1)y=x4+ 2 ; 1 (2)f(x)=|x-2|-|x+2|. 【解析】(1)∵函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,设 y=f(x)=x4+ 2 ,又 f(-x)=(-x)4+ 1 1 (- ) 2 =x4+ 2 =f(x),∴函数为偶函数. 1 (2)设 y=f(x)=|x-2|-|x+2|, ∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x),∴函数为奇函数. 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x+ ; 1 (2)f(x)=2-|x|; (3)f(x)= 2 -1+ 1- 2 ; (4)f(x)= -1. 【解析】(1)∵函数 f(x)的定义域是{x|x≠0},关于 原点对称, 又∵f(-x)=-x+ =-(x+ )=-f(x). - 1 1 ∴f(x)为奇函数. (2)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)∵函数 f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对 称,且 f(x)=0, 又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原 点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. 利用奇偶性求值或求范围 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减 函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围 是 (-2,2) . 【解析】由题意知,函数 f(x)的大致图象如图 所示,易知 f(x)<0 的 x 的取值范围为-2<x<2. 利用奇偶性求解析式 已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求当 x<0 时,f(x)的解析式. 【解析】设 x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|. 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|. 故当 x<0 时,f(x)=x|x+2|. (1)判断下列函数的奇偶性. ①f(x)=x2,x∈[-1,2]; ②f(x)= -2· 2-; ③f(x)= 1+ 2 +x -1 1+ 2 +x+1 ; ④f(x)= 2 -1· 1- 2 . 2 + 1,x > 0, 2 (2)画出函数 f(x)= 1 的图象,通过图象判 2 - 2 -1,x < 0 1 断函数的奇偶性. 【解析】(1)①∵它的定义域不关于原点对称,∴函数 f(x)为非 奇非偶函数. ②∵x-2≥0 且 2-x≥0,∴x=2,即 f(x)的定义域 是{2},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数. ③函数的定义域是 R. ∵f(-x)+f(x)= = 1+ 2 -x -1 1+ 2 -x+1 2 2 1+ 2 -(x+1) +1+ 2 -(x -1) ( 1+ 2 -x+1)( 1+ 2 +x+1) + 1+ 2 +x -1 1+ 2 +x+1 = 1+ 2 - 2 -2x -1+1+ 2 - 2 +2x -1 ( 1+ 2 -x+1)( 1+ 2 +x+1) =0, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. 2 -1 ≥ 0, ④由 得 f(x)的定义域为{-1,1},关 2 1- ≥ 0, 于原点对称,此时 f(x)=0,∵f(-x)=f(x)=-f(-x)=0, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)画出函数 f(x)的图象(如图),由图象易知它 关于原点对称,因此函数 f(x)为奇函数. (1)若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又 f(3)=0

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