高中数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 中元素各表示什么? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

3. 注意下列性质:

(3)德摩根定律: 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元 素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

10. 如何求复合函数的定义域? 义域是_____________。 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?

∴……) 15. 如何利用导数判断函数的单调性?

值是( ) A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

∴a 的最大值为 3) 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

17. 你熟悉周期函数的定义吗? 函数,T 是一个周期。 )

如: 18. 你掌握常用的图象变换了吗?

注意如下“翻折”变换:

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

的双曲线。

应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质!

(注意底数的限定! )

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么? 20. 你在基本运算上常出现错误吗?

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法) ,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性 法,导数法等。 ) 如求下列函数的最值:

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对 称轴吗?

(x,y)作图象。

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的 范围。

28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换) 平移公式:

图象?

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

“奇”“偶”指 k 取奇、偶数。 、

A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗? 理解公式之间的联系:

应用以上公式对三角函数式化简。 (化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三 角函数,能求值,尽可能求值。 ) 具体方法: (2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形? (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。 )

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

34. 不等式的性质有哪些?

答案:C 35. 利用均值不等式:

值?(一正、二定、三相等) 注意如下结论:

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 ) 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。 )

证明:

(按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

43. 等差数列的定义与性质

0 的二次函数) 项,即:

44. 等比数列的定义与性质

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如: (1)求差(商)法 解:

[练习]

(2)叠乘法 解: (3)等差型递推公式

[练习]

(4)等比型递推公式

[练习]

(5)倒数法

47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如: (1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 解:

[练习]

(2)错位相减法:

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

[练习]

48. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为: △若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归 还本息的借款种类) 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年) 后为第一次还款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利) ,那么每期应还 x 元,满足

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不

50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问 题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( ) A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析:可分成两类:

(2)中间两个分数相等 相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种,∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 51. 二项式定理

性质:

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

表示)

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

的和(并) 。

(5)互斥事件(互不相容事件)“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。 :

(6)对立事件(互逆事件) :

(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事 件。 53. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是: (1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品; (2)从中任取 5 件恰有 2 件次品; (3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件) ,∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”

(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)

分清(1)(2)是组合问题, 、 (3)是可重复排列问题, (4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时, 它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成 若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明 显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方 差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法: (2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成 此参赛队的概率为____________。 56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。

在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 (7)向量的加、减法如图:

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

的一组基底。 (9)向量的坐标表示

表示。

57. 平面向量的数量积

数量积的几何意义: (2)数量积的运算法则

[练习]

答案: 答案:2 答案: 58. 线段的定比分点

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化: 线面平行的判定:

线面平行的性质: 三垂线定理(及逆定理) :

线面垂直:

面面垂直:

60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90° (2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

(三垂线定理法:A∈α作或证 AB⊥β于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠ AOB 为所求。 ) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理) 。 [练习] (1)如图,OA 为α的斜线 OB 为其在α内射影,OC 为α内过 O 点任一直线。

(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角;

②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。

(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,求面 PAB 与面 PCD 所 成的锐二面角的大小。 (∵AB∥DC, 为面 PAB 与面 PCD 的公共点, PF∥AB, PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线……) P 作 则 61. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法, 或者用等积转化法) 。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中: 它们各包含哪些元素?

63. 球有哪些性质? (2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

(5) 球内接长方体的对角线是球的直径。 正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比 为 R:r=3:1。 积为( )

答案:A 64. 熟记下列公式了吗?

(2)直线方程:

65. 如何判断两直线平行、垂直?

66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理” 。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置? 68. 分清圆锥曲线的定义

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零? △≥0 的限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0 下进行。 )

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如:

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法” 。

答案: 73. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲线 C 上任意一点,设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。 (直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线, 求出目标函数的最值。

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