高二数学选修1-1_第三章导数及其应用单元检测题[1]

高二数学选修 1-1 第三章导数及其应用单元检测题
一、选择题 1、设 f (x) 是可导函数,且 lim

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2, 则f ?( x0 ) ? ?x
C.0
/





A.
/

1 2

B.-1

D.-2 )

2、f (x)是 f(x)的导函数,f (x)的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是(

(A)

(B)

(C)

(D) ( D. y ? ln(1 ? x) ? x ( ) )

3、下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 A. y ? sin 2 x 4、已知 y ? B. y ? xe x C. y ? x 3 ? x

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是 3 ,或b ? 2 ,或b ? 2 A. b ? ?1 B. b ? ?1 C. ? 1 ? b ? 2 D. ? 1 ? b ? 2
3 2

5、 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 ( A. (??,? 3] ? [ 3,??) B. [? 3, 3] C. (??,? 3) ? ( 3,??) D. (? 3, 3) (



6、下列说法正确的是 A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C. 对于 f ( x) ? x 3 ? px2 ? 2 x ? 1,若 | p |? D.函数 f (x) 在区间 ( a, b) 上一定存在最值.
3 2 2 7、 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为



6 ,则 f (x) 无极值;





A. (3,?3)

B. (?4,11)

C. (3,?3) 或 (?4,11)

D.不存在

8、 定义在闭区间 [ a, b] 上的连续函数 y ? f (x) 有唯一的极值点 x ? x0 ,且 y极小值 ? f ( x0 ) ,则下 列说法正确的是 A.函数 f (x) 有最小值 f ( x0 ) B. 函数 f (x) 有最小值,但不一定是 f ( x0 ) ( )

1

C.函数 f (x) 的最大值也可能是 f ( x0 )

D. 函数 f (x) 不一定有最小值 ( )

9、 函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0, 3]上的最大值和最小值分别是 A. 5,15 B. 5, ? 4 C. 5, ? 15 D. 5, ? 16

10、函数 f ( x) ? cos3 x ? sin 2 x ? cos x 上最大值等于 A.





4 27

B.

8 27

C.

16 27

D.

32 27

二、选择题 11、设函数 f ( x) ? ln(2 ? 3x)5 ,则 f ′ ( ) =____________________ 12、函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 10 的单调递减区间为 13、函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,则 f (x) 的减区间是 14、点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是

1 3

三、解答题 15、 (12 分)已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 (0, ?2) 处的切线,l 2 为该曲线的另一条切线, 且 l1 ? l 2
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(Ⅰ)求直线 l 2 的方程; (Ⅱ)求由直线 l1

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l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积

16、 (13 分)设函数 f ( x) ?

ax ? 1 ; 其中 a ? R. x ?1

(Ⅰ)当 a ? 1时, 求函数满足 f ( x) ? 1 时的 x 的集合; (Ⅱ)求 a 的取值范围,使 f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数
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2

17、设函数 f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1) (Ⅰ)求导数 f? (x); (Ⅱ)若不等式 f(x1)+ f(x2)?0 成立,求 a 的取值范围

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18、已知 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值,求 a, b, c 的
3 2

值;并求 f (x) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

19、设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R
3

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

3

[参考答案]

1、B 2、D 3、B 4、D 5、B 6、C 7、B 8、A 9、C 10、D 11、 ? 5 12、 (0,1) 13、 ?

1 2e

14、

1 2

15、(I)解:? f ( x) ? x3 ? 3x,? f '( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1). 令 f '( x) ? 0, 得 x ? ?1, x ? 1. 若

x ? (??, ?1) ? (1, ??), 则 f '( x) ? 0 ,
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故 f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数 若

x ? (?1,1), 则 f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数

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(II) ? f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f (2) ? 2

?当x ? ?3 时,f ( x)在区间[-3,2]取到最小值为?18. ?当x ? ?1或2 时,f ( x)在区间[-3,2]取到最大值为2.
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16、解: (Ⅰ)当 a ? 1时, ( x) ? 1 ? x ? 1 ? 1 ,化为 ? 2 ? 0 ? x ? 1 ? 0, 即:x ? ?1 f x ?1 x ?1 故,满足(Ⅰ)条件的集合为 ?x x ? ?1? (Ⅱ) f ( x) ?
'
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a( x ? 1) ? (ax ? 1) a ?1 ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2
'

要使 f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数,必须 f ( x) ? 0 , 即

a ? ?1 ,但 a ? ?1 时, f (x) 为常函数,所以 a ? ?1
2

17、.解:(I) f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a. (II)因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 故得不等式
3 2 x13 ? x2 ? (1 ? a)(x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 0.

即( x1 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ] ? (1 ? a)[(x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? a( x1 ? x2 ) ? 0.
又由(I)知

2 ? ? x1 ? x 2 ? 3 (1 ? a), ? ? ?x x ? a . ? 1 2 3 ?

代入前面不等式,两边除以(1+a) ,并化简得

4

2a 2 ? 5a ? 2 ? 0. 1 (舍去) 2 因此,当a ? 2时, 不等式f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立. 解不等式得 a ? 2或a ?

? 18、.解: (1) f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 2, 由条件知
2

? f ?(?2) ? 12a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?
f ( x) ?
(2) x -3

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? , f ?( x) ? x 2 ? x ? 2, 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ?(x)

f (x)

4

1 6



3 2

10

1 6

1 3 f max ? 10 , f min ? . 6 x ? 1 时, 2 由上表知,在区间[-3,3]上,当 x ? 3 时,
19、解:(Ⅰ) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2 , x2 ? ∴当 x ? ? 2或x ?

2

2时f ?( x) ? 0,当 ? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,

∴ f (x) 的单调递增区间是 (??,? 2 )及( 2,??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) 当 x ? ? 2, f ( x)有极大值 ? 4 2 ;当 x ? 5

2, f ( x)有极小值 ? 4 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知 y ? f (x) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点, 即方程 f (x) ? ? 有三解( (Ⅲ) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x ? x ? 5) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5在(1,??) 上恒成立
2

令 g ( x) ? x ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数,
2

∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3

5


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