汕尾市2016届高三学生调研考试(理数参考答案)

汕尾市 2016 届高三学生调研考试 数学(理科)参考答案
一、选择题 1A 2B 3D 4B 5C 6A 7D 8D 9A 10A 11C 12A 二、填空题 13.2 14.2π 15.

n n ?1

16. a ? 2 2

三、 (1)因为 17. 解:

2a 3 ? ,由正弦定理得 b sin B

4 R sin A 3 ? , 2 R sin B sin B ……………………2 分
所以 sin A ?

3 , 2 ……………………3 分

由锐角△ABC 得 A ? (0, ) 2

?

? 所以 A= 3 ……………………5 分
1 3 3 (2)因为△ABC 的面积 S= bc sin A ? 2 2 ……………………6 分

? 由 A= 3 可得 bc=6, ……………………8 分
2 2 2 2 2 因为 a=3,由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? c ? 15 ………………10 分

所以(b+c)2=b2+c2+2bc=27 因为 b,c∈R*,所以 b ? c ? 27 ……………………12 分 18.解: (1)由全市高三学生身高 X 服从正态分布 N(160, ? ) ,已知 P(X<150)=0.2
2

∴ P(160 ? X ? 170) ? P(150 ? X ? 160) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.3 …………………………3 分 ∵P(X ? 180)=0.03. ∴ P(170 ? X ? 180) ? 0.5 ? 0.3 ? 0.03 ? 0.17 ……………………………………6 分

1

故从该市高三学生中随机抽取一位学生,该学生身高在区间 [170,180) 的概率为 0.17. (2)
P(150 ? X ? 170) ? P(150 ? X ? 160) ? P(160 ? X ? 170) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.6

…………

………………………………………………………………………………7 分 ∴ ? 服从二项分布 B(3,0.6)
3 ∴P( ? =0)= (1 ? 0.6) =0.064

2 P( ? =1)= 3? 0.6 ? (1 ? 0.6) =0.288 2 P( ? =2)= 3? 0.6 ? (1 ? 0.6) =0.432

3 P( ? =3)= 0.6 =0.216……………………………………………10 分

所以随机变量 ? 的分布列为

?

0

1

2 0.432

3 0.216

P 0.064 0.288 ……………………………………………11 分

E ? =3× 0.6=1.8(人)……………………………………………12 分 19.方法一、 (1)如图,取 PA 的中点 F,连结 BF、EF。 所以在正三角形 PAB 中, BF⊥PA………………………………2 分 ∵E 为 PD 的中点 ∴EF∥AD, EF ? AD 2
1 AD BC ∥ AD , BC= 又∵ 2
1
B P F A E D

C

∴EF∥BC 且 EF=BC……………………………………………4 分 ∴四边形 BCEF 为平行四边形 ∴CE∥BF……………………………………………5 分 所以 CE⊥PA……………………………………………6 分 (2)如图,取 AB 的中点 O,过点 O 作 OG⊥CD 交 DC 的延长线于点 G,AB 与 DC 交于点 F。

2

在正三角形 PAB 中,PO⊥AB, ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD 侧面 PAB∩底面 ABCD=AB PO ? 侧面 PAB

……………………………………………7 分
P E D

∴PO⊥底面 ABCD………………………………………8 分 由 DG ? 底面 ABCD ∴PO⊥CD 由 OG⊥CD PO ? 平面 POG OG ? 平面 POG PO∩OG=O
B

O

A

G F

C

∴CD⊥平面 POG……………………………………………9 分 又∵PG ? 平面 POG ∴PG⊥CD……………………………………………10 分 所以∠PGO 是二面角 P—CD—A 的平面角.
1 由 AB⊥AD, BC∥AD,且 AB=BC= AD =2,△PAB 为正三角形 2

计算可得 OG=
30 2

3 3 2 AC = ,PO= 3 4 2

所以 PG=

所以 COS∠PGO=

15 5 ……………………………………………12 分

15 所以二面角 P—CD—A 的余弦值为 5 .

方法二.取 AB 的中点 O, 在正三角形 PAB 中,PO⊥AB,………………1 分 ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD 侧面 PAB∩底面 ABCD=AB PO ? 侧面 PAB ∴PO⊥底面 ABCD…………………………2 分

P E D

O B

A

C F

3

建立以 O 为原点,过点 O 平行于 AD 所在的方向为 X 轴,OB 所在的方向为 Y 轴,OP 所在的方向为 Z 轴,如图所示的直角坐标系,
1 由 AB⊥AD, BC∥AD,且 AB=BC= AD =2,△PAB 为正三角形 2

可计算 P(0,0,

3 ),A(0,-1,0),C(2,1,0),D(4,-1,0) ………………………………4 分
?

(1)∴E(2,

? 1 3 ??? PA ? (0, ?1, ? 3) ………………………………5 分 2 , 2 ),

??? ? 3 3 CE ? (0, ? , ) , ∴ 2 2 ??? ? ??? ? 3 3 PA ? CE ? 0 ? ? ? 0 因为 , 2 2 ??? ? ??? ? 所以 PA⊥CE ,即 CE⊥PA………………………………7 分

(2) ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD 侧面 PAB∩底面 ABCD=AB PO ? 侧面 PAB ∴PO⊥底面 ABCD ??? ? ??? ? ∴ OP 是底面 ABCD 的法向量, OP=(0,0,3) ……………………………8 分
??? ? ??? ? 又∵ PC=(2,1, - 3), CD=(2, -2,0) ? 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,设二面角 P—CD—A 的大小为 ?

? ??? ? ?n ? PC ? 2 x ? y ? 3z ? 0 ? ? ? ? ??? n ? CD ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 0 ……………………………10 分 ? ?

令 x=1,得 y=1,z= 3
∴ n ? (1,1, 3)

?

??? ? ? 15 | OP ? n | ? ??? ? 所以 COS? ? ???? 5 ……………………………12 分 | OP | ?| n |
15 所以二面角 P—CD—A 的余弦值为 5 .

20.解:(1)因为抛物线 C 关于 y 轴对称,
4

故可设抛物线标为 y ? ax2 +c ,可得 y ' ? 2ax ………………………1 分 因为抛物线与直线 y ? x ? 1 相切,切点的横坐标为 2, 所以 2a ? 2 ? 1 解得 a ?

1 4 ………………………2 分

由抛物线与直线 y ? x ? 1 相切,切点的横坐标为 2,得切点坐标为(2,1) 代入抛物线方程可得 c ? 0 ,………………………3 分 因此,所求抛物线方程是 y ?
1 2 x . ………………………4 分 4

(2)由(1)可得抛物线标准方程为 x2 ? 4 y 的焦点坐标是(0,1)……………5 分 ∵抛物线开口向上,又直线 L 交抛物线

M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 )两点,且x1 ? x2,y1 ? y2 ,
故直线 L 存在斜率,设直线方程为 y ? kx ? 1(k ? 0) ,………………………6 分 ∵点 M 与点 P 关于 y 轴对称, ∴点 P 的坐标为 M (? x1 , y1 ) ,………………………7 分

? x2 ? 4 y 联立方程 ? , 消去 y,整理得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , y ? kx ? 1 ?
由韦达定理知 x1 ? x2 ? 4k , x1 ? x2 ? ?4 ,………………………8 分
2 2 ∴ x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x2 x1 ? 4 k ? 1

y1 ? y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ?1) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 2 ………………………9 分

所以 kPN ?

y2 ? y1 (kx2 ? 1) ? (kx1 ? 1) k ( x2 ? x1 ) 4k k 2 ? 1 ? ? ? ? k 2 ? 1 ……10 分 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 4k
x2 ? x1 y2 ? y1 , ), 即 (2 k 2 ? 1, 2k 2 ? 1) …………11 分 2 2

又点 P 与点 N 的中点坐标为 (

所以直线 PN 的方程为 y ? (2k 2 ? 1) ? k 2 ? 1( x ? 2 k 2 ? 1) 化简得 y ? k 2 ? 1x ? 1 故直线恒过点(0,-1). ………………………12 分

5

21. 解: (1) f '( x) ?

1 a 2 ? ax ? ? , ( x ? 0) ………………………………………2 分 x 2 2x

令 f '( x) ?

2 ? ax 2 ? 0 ,则 x ? , 2x a

2 2 当 x ? (0, ], f '( x) ? 0, 函数f ( x)在(0, ]上单调递增; ………………4 分 a a 2 2 , f '( x) ? 0, 函数f ( x)在( , +?)上单调递减; 当 x ? ( , + ?) ………………5 分 a a

(2)∵ a ? [1, 2)
2 ∴ ? (1, 2] a

由(1)可知 函数f ( x)在(0,1]上单调递增; ………………6 分 所以 x ? (0,1] 时,函数 f ( x)的最大值是f (1) ? ?
a ………………7 分 2 a ? m 成立,等价于 2

若对任意的 a ? [1, 2) ,都存在 x0 ? (0,1] 使得不等式 f ( x0 ) ? e a ?

a a 对任意的 a ? [1, 2) ,不等式 ? ? ea ? ? m 都成立,………………9 分 2 2

即对任意的 a ? [1, 2) ,不等式 ea ? a ? m 恒成立。 记 g (a) ? ea ? a, a ?[1, 2) 因为 g '(a) ? ea ?1 ? e ?1 ? 0 ………………10 分 所以当 a ?[1, 2)时,g (a)最小值为g (1) ? e ?1, 故 m的取值范围是m ? e ? 1 .………………12 分 22. 证明: (1) ∵AP 是圆 O 的切线 ∴∠PAB=∠ADB………………………1 分 ∴由∠PAB=∠BAC 得∠ADB=∠BAC 又∵∠ABD=∠EBA
6

∴△ABD∽△EBA ……………………………………………………3 分 ∴
AB BD ? EB BA

∴ AB 2 ? BD ? BE ……………………………………………………5 分 (2)由(1)可知∠BAD=∠BEA………………………………………………6 分 ∵∠BEA=∠CED,∠FED=∠CED ∴∠BAD=∠FED………………………………………………8 分 ∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180° ………………10 分 ∴点A、B、E、F四点共圆. 23. 解: (1)依题意 ? 2 =1 得 x2 ? y 2 =1 , 所以曲线 C1 的直角坐标系方程为 x2 ? y 2 =1 ;……①………………2 分
? ? x ? 2 ? 5 cos ? (? 是参数) 因为曲线 C2 参数方程为 ? , y ? 2 ? 5 sin ? ? ?

?( x ? 2) 2 ? 5cos 2 ? 得? ,所以 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 5 , 2 2 ? ( y ? 2) ? 5sin ?
故曲线 C2 的直角坐标系方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ;……②…… 5 分 (2)由②-①化简可得直线 AB 的方程为 x ? y ? 1 ,………………7 分 由(1)可知曲线 C1 为圆,圆心坐标为 O(0,0) , 设圆心到直线 AB 的距离为 d,则 d=

| 0 ? 0 ? 1| 12 ? 12

?

2 ,………………9 分 2

∴|AB|= 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ?

1 ? 2 ………………10 分 2

24. (1)证明: f(m)+f(n)=|m-2|+|n-2|…………………………………2 分 ≥|(m-2)-(n-2)| =|m-n|…………………………………5 分

7

(2)解:设 g(x)=f(2x)+f(-x) 所以 g(x)=2| x-1|+|x+2| 当 x≤-2 时,g(x)=-3x,此时 g(x)的最小值为 6;…………………… 7 分 当-2<x≤1 时,g(x)=-x+4, 此时 g(x)的最小值为 3;…………… 8 分 当 x>1 时,g(x)=3x, 此时 g(x)>3;…………… 9 分 故实数 a 的取值范围是 a≤3. …………… 10 分

8


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