习题课狭义相对论_图文

狭义相对论基础习题课 狭义相对论内容小结 1.狭义相对论基本假设 2.洛伦兹变换
狭 义 相 对 论 的 洛 伦 兹 时 空 变 换 式
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相对性原理+光速不变原理 逆变换
x ? ? ut ? ? ?x ? 2 u ? 1? 2 ? c ? y ? y? ? ? ? z ? z? ? u ? t ? ? 2 x? ?t ? c ? u2 ? 1? 2 ? c ?

正变换

x ? ut ? ? x? ? 2 u ? 1? 2 ? c ? y? ? y ? ? ? z? ? z ? u ? t? 2 x ?t ? ? c ? u2 ? 1? 2 ? c ?

狭义相对论基础习题课 洛仑兹速度变换式 正变换 逆变换

vx ? u v? x ? u 1 ? 2 vx c
2 vy u v?y ? 1? 2 u c 1 ? 2 vx c

v? x ?u vx ? u 1 ? 2 v? x c 2 v? u y vy ? 1? 2 u c 1 ? 2 v? x c
v? z vz ? u 1 ? 2 v? x c u 1? 2 c
2

vz u v? 1? 2 z ? u c 1 ? 2 vx c
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2

狭义相对论基础习题课 3.狭义相对论时空观 相对论的长度收缩效应: L ? L0 相对论的时间膨胀效应:

1? u 2 / c2

t2 ? t1 ?

? ? t1? t2 1? u / c
2 2

相对论中同地的相对性: x2 ? x1 ?

? ? x1 ? ) ? u (t2 ? ? t1?) ( x2 1? u / c
2 2

u (t 2 ? t1 ) ? ( x2 ? x1 ) 2 c ? ? t1 ?? 相对论中同时的相对性: t 2 1? u 2 / c2
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狭义相对论基础习题课 4.相对论动力学

m ? m0 / 1 ? v / c ? ? ? 2 2 P ? mv ? m0 v / 1 ? v / c ? ? ? dv ? dm F ? dP / dt ? m ?v dt dt 2 2 E ? m c E0 ? m0 c
2 2

E K ? E ? E0 ?E ? ?m c
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2

2 E 2 ? E0 ? P 2c 2

狭义相对论基础习题课

极限情况:
(1)当v<<c时,上述各式(除E,E0)均能还原成 经典力学中的相应公式,经典力学只是相对论 动力学在低速下的近似。 (2)当v c时,

1? v / c ? 0
2 2

若 m0 ? 0 若 m0 ? 0

则m ? m0 / 1 ? v 2 / c 2 ? ? 则m ? m0 / 1 ? v 2 / c 2 ? 0 / 0

即:静止质量不为零的物体速度不可能大于光速。

即:只有静止质量为零的粒子才能以光速运动。
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对静止质量为零的粒子而言:

m0 ? 0 E0 ? 0 E ? EK ? Pc
光子即如此:

E ? h? m? ? E / c ? h? / c
2 2

P ? E / c ? h? / c ? h / ?
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狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

例、两个质点A和B,静止质量均为m0.质点A静止, 质点B的动能为6m0c2.设A、B两质点相撞并结合成为 一个复合质点.求复合质点的静止质量.

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

解:设复合质点静止质量为M0,运动时质量为M.由 能量守恒定律可得

Mc 2 ? m0 c 2 ? mc2
其中mc2为相撞前质点B的能量

mc ? m0 c ? 6m0 c ? 7m0 c
2 2 2

2

M ? 8m0
设质点B的动量为pB,复合质点的动量为p.由动量守 恒定律 :

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

p ? pB
利用动量与能量关系,对于质点B可得
2 2 2 4 2 4 pB c ? m0 c ? m 2 c 4 ? 49m0 c

对于复合质点可得

2 4 2 4 P 2c 2 ? M0 c ? M 2 c 4 ? 64m0 c

2 2 2 2 M0 ? 64m 0 ? 48m 0 ? 16m 0

M 0 ? 4m 0

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

1、 有下列几种说法: (1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的. (2) 在真空中,光的速度与光的频率、光源的运动状 态无关. (3)在任何惯性系中,光在真空中沿任何方向的传 播速率都相同. 若问其中哪些说法是正确的, 答案是 (A) 只有(1)、(2)是正确的. (B) 只有(1)、(3)是正确的. (C) 只有(2)、(3)是正确的. (D) 三种说法都是正确的.

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

2、 在狭义相对论中,下列说法中哪些是正确的? (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真 空中的光速. (2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察 者的相对运动状态而改变的. (3) 在一惯性系中发生于同一时刻,不同地点的两个 事件在其他一切惯性系中也是同时发生的. (4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动 的时钟时,会看到这时钟比与他相对静止的相同的时 钟走得慢些. (A) (1),(3),(4). (B) (1),(2),(4). (C) (1),(2),(3). (D) (2),(3),(4).

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

1、狭义相对论的两条基本原理中,相对性原理说的是 ___________________; 光速不变原理说的是 __________________________. 2、以速度v相对于地球作匀速直线运动的恒星所发射的 光子,其相对于地球的速度的大小为______. 3、?+介子是不稳定的粒子,在它自己的参照系中测得平 均寿命是2.6×10-8 s,如果它相对于实验室以0.8 c (c为真 空中光速)的速率运动,那么实验室坐标系中测得的?+介 子的寿命是________________s. 4、一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的 长度为 0.5 m.则此米尺以速度v = m· s-1接 近观察者.

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

1、 一体积为V0,质量为m0的立方体沿其一棱的方向相对 于观察者A以速度v运动.求:观察者A测得其密度是多少?
2、在O参考系中,有一个静止的正方形,其面积为 100 cm2.观测者O'以 0.8c的匀速度沿正方形的对角 线运动.求O'所测得的该图形的面积.

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

3. 以速度u在x轴方向运动的粒子在y轴方向 上发射一光子,求地面观察者测得的光子 的速度的大小和方向。 4. 一列火车长0.30km(火车上的观察者 观测得到),以100km/h的速度行驶。 地面上的观察者发现两个闪电同时击中了 火车的前部和后部两端。问火车上的观察 者观测得到的两个闪电击中火车的前部和 后部两端的时间间隔为多少?

狭义相对论动力学基础

第六章 狭义相对论基础

5.若一电子的总能量为5.0MeV,求该电子的静能、动 能、动量和速率。(电子静质量为 9.1?10?31 kg ,电 子电量为 1.602?10?19 C ) 6. 若给一电子为0. 5MeV的能量,并让该电子在垂 直于某均匀磁场的方向上运动,其运动轨迹是半径 为2.0cm的圆。求:该磁场的磁感应强度的大小。 7、在S系中x=0处有一静止光源,在t=0时辐射了 一个光脉冲P1,在t=?时辐射了第二个光脉冲P2 。S?系以u=v 相对S系运动, S?系的观测者于 t?=0,x?=0处接受到第一个脉冲。求此观测者 在x?=0处接受到第二个脉冲的时刻

狭义相对论基础习题课

1. 一体积为V0,质量为m0的立方体沿其一棱的方向相 对于观察者A以速度v运动。求:观察者A测得其密 度是多少? 解:设立方体的长、宽、高分别以x0,y0,z0表示, 观察者A测得立方体的长、宽、高分别为 :

x ? x0

v 1? 2 c

2

y ? y0

z ? z0
2

相应体积为:
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v V ? xyz ? V0 1 ? 2 c

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观察者A测得立方体的质量:

m?

m0 v 1? 2 c
2

故相应密度为:

v m0 / 1 ? 2 m0 c ? ? m /V ? ? 2 2 v v V0 (1 ? 2 ) V0 1 ? 2 c c
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2

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2. 在O参考系中,有一个静止的正方形,其面积为 100 cm2。观测者O'以 0.8c的匀速度沿正方形的 对角线运动。求O'所测得的该图形的面积。

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狭义相对论基础习题课 解:令O系中测得正方形边长为a,沿对角线取x轴正方向 (如图),则边长在坐标轴上投影的大小为

1 1 2a ax ? 2a a y ? 2 2 面积可表示为:S ? 2a y ? a x
1 a ?x ? a x 1 ? (v / c) =0.6× 2a 2
2

y

x a O a

在以速度v相对于O系沿x正方向运动的O'系中

1 a? 2a y ? ay ? 2 在O'系中测得的图形为菱形,其面积亦可表示为
2 cm ? ? ? S ? 2a y ? ax ? 0.6a ? 60

2

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狭义相对论基础习题课 3. 以速度u在x轴方向运动的粒子在y轴方向上发射一光 子,求地面观察者测得的光子的速度的大小和方向。 解:设地面为 S系,运动的粒子为 S′系。在 S′系中光 子速度的分量为: ? ? ?

vx ? 0 vy ? c vz ? 0
vz ? 0

在S系中光子速 度的分量为:

v? x ?u vx ? ?u 2 1 ? v? xu / c

2 2 ? vy 1 ? u / c 2 2 vy ? ? c 1? u / c 2 1 ? v? xu / c

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狭义相对论基础习题课 在S系中光子速度的大小为:

v ? v ?v ?v ?c
2 x 2 y 2 z

在S系中光子速度的方向与x轴的夹角为:

c ?u ? ? arctg ? arctg ? 90? vx u vy
2 2

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狭义相对论基础习题课 4. 一列火车长0.30km(火车上的观察者观测得到), 以100km/h的速度行驶。地面上的观察者发现两个 闪电同时击中了火车的前部和后部两端。问火车上 的观察者观测得到的两个闪电击中火车的前部和后 部两端的时间间隔为多少?

解一:设地面为 S 系,火车为 S ' 系。在 S 系中观察到 的闪电击中火车前后两端的时间间隔为:

1? u / c 2 ?14 ? ? ? ? ?t2 ? t1 ? ?( x2 ? x1 )u / c ? ?9.26?10 s
2 2
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t2 ? t1 ?

? ? t1 ?) ? ( x2 ? ? x1 ? )u / c 2 (t2

?0

狭义相对论基础习题课 解二:设地面为 S系,火车为S'系。在S系中观察 到的火车的长度和闪电击中火车前后两端 的时间间隔分别为:

u ? ? x1 ? ) 1 ? 2 , t2 ? t1 ? 0 x2 ? x1 ? ( x2 c
? ? t1 ?? ?t2 (t2 ? t1 ) ? ( x2 ? x1 )u / c 1? u 2 / c2
2

2

? ?9.26?10 s

?14

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狭义相对论基础习题课 5.若一电子的总能量为5.0MeV,求该电子的静能、动 能、动量和速率。(电子静质量为 9.1?10?31 kg ,电 子电量为 1.602?10?19 C ) 解:电子的静能为:E0 电子的动能为:Ek 电子的动量为:

? m0c2 ? 0.512MeV
? E ? E0 ? 4.488MeV

p ? (E ? E )
2

2 1/ 2 0

/ c ? 2.66?10 kg ? m/s
2 2 0 1/ 2

?21

E ?E ) 电子的速率为: v ? c( 2 E
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? 0.995c

狭义相对论基础习题课 6. 若给一电子为0. 5MeV的能量,并让该电子在垂直 于某均匀磁场的方向上运动,其运动轨迹是半径为 2.0cm的圆。求:该磁场的磁感应强度的大小。 解:由题意有

E ? E0 ? Ek E ?E ?p c
2 2 0 2 2 2

v vp evB ? m ? R R
联立解得
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E ? 2E0 Ek B? ? 0.146T eRc
2 k

狭义相对论的时空观

第六章

狭义相对论基础

7、在S系中x=0处有一静止光源,在t=0时辐射了一个光 ? 脉冲P1,在t=?时辐射了第二个光脉冲P2。S?系以u=vi 相 对S系运动, S?系的观测者于t?=0,x?=0处接受到第一个 脉冲。求此观测者在x?=0处接受到第二个脉冲的时刻

S

S?

? P2

? P1

狭义相对论的时空观

第六章

狭义相对论基础

解:光源在x=0,t=?辐射第二个脉冲时,在S?系 测出其位置及时刻:
x? ? t? ? x ? vt 1? v / c t ? vx / c 2 1? v / c
2 2 2 2

? ?

? v? 1? v / c
2 2

?
1? v / c
2 2

S

S?

?t ? ? x ? / c

? P2

? P1

狭义相对论的时空观

第六章

狭义相对论基础

而第二个脉冲从x?到0所需时间:即:
?t ? ? v? c 1? v2 / c2

所以,观测者在x?=0接受第二个脉冲的时刻
v 1 ? v / c 1/ 2 ? ? ? t ? ? ?t ? ? (1 ? ) ? ? ( ) c 1? v / c 1? v2 / c2

?


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