数学选修2-2第一章导数及其应用

数学选修 2-2 第一章导数及其应用
,? ?t ] 内相应的平均速度为( 1.一质点的运动方程是 s ? 5 ? 3t 2 ,则在一段时间 [11



A. 3(?t ) ? 6

B. ?3(?t ) ? 6

C. 3(?t ) ? 6

D. ?3(?t ) ? 6

2.下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是最大值 C.函数的最值一定是极值 3.抛物线 y ?

B.函数的极小值就是函数的最小值 D.闭区间上的连续函数一定存在最值

1 2 1) 处的切线方程( ) x 在点 Q(2, 4 A. ? x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
4.设 f ( x) ? A. ?2
1 ,则 f ?(0) 等于( ( x ? 1) 2

D. x ? y ? 1 ? 0

) D.2 )

B. ?1

C.1

5. f '( x0 ) =0 是可导函数 y=f(x)在点 x=x0 处有极值的 (

(D)非充分非必要条件 6.曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x,则点 P0 的坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) D.(-1,-4) 3 2 7.函数 y=2x -3x -12x+5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
3

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

2 ? 0 ≤ x ≤1 , 2 ?x , 8.已知 f ( x) ? ? 则 ? f ( x )dx ? ( 0 ? ?2 ? x, 1 ? x ≤ 2,



5 7 4 5 B. C. D. 6 6 3 3 9. 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,y ? f ?( x) 的图象如图所示, 则 y ? f ( x)
A. 的图象最有可能的是( )

1 ? ∞) 上单调递增,则( 10.设 y ? x3 ? ax ? c 在 (?∞, ) 3 A. a ? 0 且 c ? 0 B. a ? 0 且 c 是任意实数 C. a ? 0 且 c 是任意实数 D. a ? 0 且 c ? 0
1

11.从边长为 10cm ? 16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的 盒子,则盒子容积的最大值为( ) A. 12cm 3 B. 72cm3 C. 144cm3 D.160cm3 )

12.如图,由曲线 y ? x3 ? 2 x 与 y ? x 2 所围图形的面积为( A.

5 12

B.

37 12

C.

9 4

D.

8 3

13.若对于任意 x ,有 f ?( x) ? 4x3,f (1) ? ?1 ,则此函数解析式为 14.函数 y ? x 2 ? x 3 的单调增区间为 15.函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)有极大值
3 2



,单调减区间为__________________; ,极小值 ; ;

16.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f (? ) 等于
'

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是 3 1 2 3 18.设 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取值 2
17、已知 y ? 范围为 ; 19.计算下列定积分。 (1) ?02 (3 x
?
2

? sin x)dx

(2)

?

3

?4

| x ? 2 |dx

2

20.已知点 A 为曲线 y ? x3 ? 3x 上的点,过点 A 与曲线相切的直线平行于 x 轴,求点 A 的 坐标.

21.求由曲线 y ? x 2 -4 与直线 y=0,x=0,x=4 所围图形的面积.

3

22. 统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升) 关于行驶速度 x(千 米/小时)的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 已知甲、乙 128000 80

两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

23.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2
4 2

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间.

4

5.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间;

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围.

6.设函数 f ( x) ? tx ? 2t x ? t ?1( x ? R,t ? 0) .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ;

2) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0,

5

7.画出由 y ? x , y ?
2

1 2 x 及 x ? 1 三条曲线所围成的图形,并计算其面积. 4
3

9、 (重庆卷)曲线 y x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x _____。 10.

所围成的三角形的面积为

?

2

0

(3x2 ? k )dx ? 10, 则k ?



?

8

3

?1

xdx ? ___________.

三、解答题:

解:设 A( x0,y0 ) ,∵ y? ? 3x 2 ? 3 ,

∴ y?|x? x0 ? 3x02 ? 3 ? 0 ,
, 2) . ∴ x0 ? ?1 ,代入得 A(1 , ? 2) 或 A(?1

18.求定积分 ? x ( x ? 1)dx .
?1

1

解:原式 ? ? (? x 2 ? x)dx ? ? ( x 2 ? x)dx ? 1 .
?1 0

0

1

? 1),, (1 ? ∞) ;减区间为 ( ?11) , ,且过点 (0, 0) , 19.已知 y ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的增区间为 (?∞,

求 a,b,c 的值.

0) ,∴ c ? 0 . 解:∵ y ? x3 ? ax2 ? bx ? c 过点 (0, ? 1),, (1 ? ∞) ) 又 y? ? 3x2 ? 2ax ? b ,函数的增区间为 (?∞, ; ,( 减区间为 ( ?11)

? f ?(?1) ? 0, ∴? 解得 a ? 0,b ? ?3 . ? f ?(1) ? 0,

6

20.一房地产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 1000 元时,公寓会全部租出去,当 月租金每增加 50 元,就会多一套租不出去,而租出去的公寓每月需花费 100 元作为维修 费,求房租定为多少时可获得最大收入? 解:设 x 为没有租出去的公寓套数,则可获得的收入函数为
F ( x) ? (1000 ? 50 x)(50 ? x) ? 100(50 ? x) ? (900 ? 50 x)(50 ? x) , 0 ≤ x ≤ 50 ,

∴ F ?( x) ? 1600 ? 100 x , ∴当 x ? 16 时, F ( x) 取最大值,即把租金定为 1800 元时,收入最大.

1.下列导数运算正确的是(
1 ?? 1 ? A. ? x ? ? ? 1 ? 2 x? x ?



B. (log 2 x)? ?

1 x ln 2

C. (3x )? ? 3x log3 e

D. ( x2 cos x)? ? ?2sin x )

2.若 f ?( x0 ) ? 0 ,则 x 0 是 f ( x) 的(

A.极大值点 B.极小值点 C.极大或极小值点 D.可能的极值点

?? ? 7. ? 3 ?1 ? 2sin 2 ?d? 的值为( 0 2? ?
π



A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

二、填空题 2) ,写出符合条件的函数 y ? f ( x) 的解析式 13.已知函数 y ? f ( x) ,且 f ?( x) 的值域为 (0, .

1) 答案: y ? x2,x ? (0,

14. A,B 两地相距 25 千米,甲以速度 V1 (t ) ? 3t 千米/小时由 A 向 B 直线行驶,同时乙以 速度 V2 (t ) ? (t ? 5) 千米/小时从 B 向 A 直线行驶,则甲,乙两人从出发到相遇所用的时间 为 答案:2.5 小时.

7

π ? sin x, 0 ≤ x ≤ , ? ? 2 15.已知连续函数 f ( x) ? ? 则平面区域 π ?ax ? 2, ? x ≤ π, ? ? 2

0 ≤ y ≤ f ( x)? 的面积是 ?(x,y) | 0 ≤ x ≤ π,



答案:

π ?1 4

16.设曲线 y ? x 上有点 P ( x,y ) ,与曲线切于点 P 的切线为 m .若直线 n 过 P 且与 m 垂 直,则称 n 为曲线在 P 处的法线,设 n 交 x 轴于 Q ,又作 PR ? x 轴于 R ,则 RQ 的长 是 .

答案:

1 2

三、解答题

b ? ∞) 上都是减函数,确定函数 y ? ax3 ? bx2 ? 5 的 17.已知函数 y ? ax 与 y ? ? 在区间 (0, x 单调区间. b ? ∞) 上都是减函数,∴ a ? 0,b ? 0 . 解:∵函数 y ? ax 与 y ? ? 在 (0, x
由 y ? ax3 ? bx2 ? 5 ,得 y? ? 3ax2 ? 2bx , 令 y ? ? 0 ,即 3ax2 ? 2bx ? 0 ,∴?

2b ? x?0. 3a

? 2b ? 0 ? 上为减函数. 因此,函数在 ? ? , ? 3a ?

令 y ? ? 0 ,即 3ax2 ? 2bx ? 0 ,

∴x ? ?

2b 或x?0. 3a

2b ? ? ? ? , (0, ? ∞) 上为增函数. 因此,函数在 ? ?∞, 3a ? ?

8

18.已知 f ( x) ? a sin x ? b cos x , ? 2 f ( x)dx ? 4 ? 6 ,f ( x )dx ?
0 0

π

π

7?3 3 ,求 a,b 的值. 2

2 解: ? 2 f ( x)dx ? ? 2 (a sin x ? b cos x)dx ? (b sin x ? a cos x)| 0 ?b?a, 0 0

π

π

π

∴a ? b ? 4 .



?

π 6 0

π 1 3 6 f ( x)dx ? (b sin x ? a cos x)|0 ? b? a?a, 2 2

∴(2 ? 3)a ? b ? 7 ? 3 3 .



由①,②解得 a ? 3,b ? 1 .
? ∞) 上的导函数 f ?( x ) 是减函数, 0, ?∞ ) , 19. 函数 y ? f ( x) 在区间 (0, 且 f ?( x) ? 0 , 设 x0 ? ( y ? kx ? m 是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0,f ( x0 )) 处的切线方程,并设函数 g ( x) ? kx ? m . (1)用 x0,f ( x0 ),f ?( x0 ) 表示 m ; ? ∞) 时, g ( x) ≥ f ( x) . (2)证明:当 x ? (0,

解: (1) m ? f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 ) . (2)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ,则 h?( x) ? f ?( x0 ) ? f ?( x) , h?( x0 ) ? 0 , 因为 f ?( x) 递减,所以 h?( x) 递增.因此,当 x ? x0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, h?( x) ? 0 . 所以 x 0 是 h( x) 唯一的极值点,且是极小值点,可知 h( x) 的最小值为 0,因此 h( x) ≥ 0 ,即
g (x) ≥ f (x) .

, 2) 两点且 a ? 0 ;②与 0) 和 (1 20.设抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 满足如下两个条件:①通过 (0,

抛物线 y ? ? x2 ? 2x 围成的图形面积最小.试求此抛物线方程.

0) ,故 c ? 0 . 解:因为抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点 (0,
, 2) ,于是有 b ? 2 ? a . 又因为抛物线过点 (1

? y ? ax 2 ? (2 ? a) x, a ? 由? 解得 x1 ? 0,x2 ? . 2 a ?1 ? ? y ? ? x ? 2 x,

当 x ? 1 时, y ? ? x2 ? 2x 上对应的纵坐标为 1,
9

, 2) , 而 y ? ax2 ? (2 ? a) x 过点 (1

∴在区间 ? 0,

? ?

a ? 2 2 ? 内,曲线 y ? ax ? (2 ? a) x 在 y ? ? x ? 2x 上方. a ?1?

又 a ? 0 ,知两抛物线都是开口向下的,因此两抛物线所围成的图形面积为
a a a3 ? a ? 1 3 a 2 ? a ?1 S ? ? a ?1 [ax 2 ? (2 ? a) x ? (? x 2 ? 2 x)]dx ? ? x ? x ?|0 ? ? . 0 2 ? 6(a ? 1) 2 ? 3

由题设条件②得, S ? ? ?

(a ? 3)a 2 ? 0, 6(a ? 1)3

∴ a ? 0 或 a ? ?3,a ? 0 不合题意,∴ a ? ?3 ,

∴ b ? 2 ? (?3) ? 5 .故 y ? ?3x2 ? 5x .

21.已知函数 f ( x) ? 2ax ?

1 , x ? ? 0, 1? . x2

(1)若 f ( x) 在 x ? ? 0, 1? 上恒为增函数,求 a 的取值范围;
1? 上的最大值. (2)求 f ( x) 在区间 ? 0,

解: (1) f ?( x) ? 2a ?

2 . x3

∵ f ( x) 在 ? 0, 1? 上恒递增,且在 x ? 1 处连续,

1? 时, f ?( x) ≥ 0 成立,即 a ≥ ? ∴当 x ? ? 0,
∴ a ≥ ?1 .

1 1? 上恒成立. 在 ? 0, x3

(2)由(1)知 a ≥ ?1 时, f ( x) 递增,故 a ≥ ?1 时, [ f ( x)]max ? f (1) ? 2a ? 1 . 当 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? 2a ? 由0 ?
1
3

1 2 . ? 0 ,得 x ? 3 3 x ?a

?a

? 1, 1
3

∴当 0 ? x ?

1
3

?a

时, f ?( x) ? 0 ;

?a

? x ≤ 1 时, f ?( x) ? 0 .

10

3 ? 1 ? 即当 a ? ?1 时, [ f ( x)]max ? f ? 3 ? ? ?3 a 2 . ? a?

故对于 x ? ? 0, 1? , 当 a ≥ ?1 时, [ f ( x)]max ? 2a ? 1 ; 当 a ? ?1 时, [ f ( x)]max ? ?3 a2 .
3

22.设某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数: T (t ) ? at 3 ? bt 2 ? ct ? d (a ? 0) ,其中温度的 单位是 ℃ ,时间单位是小时, t ? 0 表示 12:00, t 取正值表示 12:00 以后.若测得该物体 在 8:00 的温度是 8℃ ,12:00 的温度为 60℃ ,13:00 的温度为 58℃ ,且已知该物体的温度 在 8:00 和 16:00 有相同的变化率. (1)写出该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式; (2)该物体在 10:00 到 14:00 这段时间中(包括 10:00 和 14:00) ,何时温度最高,并求 出最高温度; x2 1 f ( x )dx ,求该 (3)如果规定一个函数 f ( x) 在区间 [ x1,x2 ]( x1 ? x2 ) 上的平均值为 ? x2 ? x1 x1 物体在 8:00 到 16:00 这段时间内的平均温度. 解: (1)根据条件,得 T (0) ? 60 , T (?4) ? 8 , T (1) ? 58 , T ?(?4) ? T ?(4) ,
,c ? ?3 , 则 d ? 60,b ? 0,a ? 1

∴T (t ) ? t 3 ? 3t ? 60 .
? 1) (2) T ?(t ) ? 3t 2 ? 3 ? 3(t ? 1)(t ? 1) ,当 t ? (?2, (1 , 2) 时, T ?(t ) ? 0 ;

, 时, T ?(t ) ? 0 . 当 t ? (?11) ? 1),, (1 2) 上单调递增,在 ( ?11) ∴T (t ) 在区间 (?2, , 上单调递减,即 t ? ?1 是极大值点. ∵T (?1) ? 62,T (2) ? 62 ,

11:00 和 14:00 时, 该物体的温度最高, 最高温度为 62℃ . ∴在 10:00 到 14:00 这段时间中, (3)按规定,平均温度为
4 1 1 4 4 T (t )dt ? ? (t 3 ? 3t ? 60)dt ? 15t |0 ? 60 , ? ? 4 4 ? (?4) 8 ?40

即该物体在 8:00 到 16:00 这段时间的平均温度为 60℃ . 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 3 2 11.若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是_________ 12.若函数 y=x -
3

3 2 x -a 在[-1,1]上有最大值 3,则该函数在[-1,1]上的最小值是 2
11

13.函数 y=(1-sinx) 的导数是 14.设有长为 a,宽为 b 的矩形,其底边在半径为 R 的半圆的直径所在的直线上,另两个 顶点正好在半圆的圆周上,则此矩形的周长最大时,

2

a = b

高二选修 2-2 测试题(导数及其简单应用) 班级____________学号_____________姓名____________成绩______________ 一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题 5,共 50 分) 题号 选项 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.___________________________ 12._________________________ 13.__________________________ 14._________________________ 三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 15.(本题满分 12 分)设 f(x)=x +
3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 ,求函数 f(x)的单调区间及其极值; x

16. (本题满分 12 分)求证:若 x>0,则 ln(1+x)>

x ; 1? x

12

17. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=4x +ax +bx+5 在 x=-1 与 x= (1)写出函数的解析式; (2)求出函数的单调区间; (3)求 f(x)在[-1,2]上的最值。

3

2

3 处有极值。 2

18. (本题满分 14 分) 做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格 为 a 元,侧面的材料每单位面积价格为 b 元,问锅炉的底面直径与高的比为多少时,造价 最低?

19. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 是偶函数,它的图象过点 A(0,-1),且在 x=1 处的切线方程是 2x+y-2=0,求函数 f(x)的表达式。

4

3

2

20. (本题满分 14 分) 如图,由 y=0,x=8,y=x 围成的曲边三角形,在曲线弧 OB 上求一 2 点 M,使得过 M 所作的 y=x 的切线 PQ 与 OA,AB 围成的三角形 PQA 面积最大。

2

13

B Q M o

P

A

答案: 一、 CCBCC,CBBBA 二、11.a>2 or a<-1 12.-1/2 13.y=sin2x-2cosx 14. 4 三、15.增区间为(0,+ ? ),(- ? ,-1) ,减区间为(-1,0),(0,1) 极大值为 f(-1)=-4, 极小值为 f(1)=4 16.略 3 2 17.(1) a=-3,b=-18,f(x)=4x -3x -18x+5

3 3 ,+ ? ),减区间为(-1, ) 2 2 3 61 (3)[ f(x)]max= f(-1)=16 [f(x)]min= f( )=- 2 4
(2)增区间为(- ? ,-1),( 18.直径与高的比为 a:b 4 19. f(x)=-2x +3x-1 20 M(

16 256 , ) 3 9

14.已知函数 F ? x ? ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx (a ? 0) ,且 F ' ?? 1? ? 0 . 3

(1)若 F ?x ? 在 x ? 1 处取得极小值 ? 2 ,求函数 F ?x ? 的单调区间;
14

(2)令 f ?x ? ? F ' ?x ? ,若 f ' ?x ? ? 0 的解集为 A ,且满足 A ? ?0,1? ? ?0,??? ,求 值范围.

c 的取 a

15


相关文档

高考数学总复习系列 第一章导数及其应用 选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2
人教版A版高中数学选修2-2:第一章 导数及其应用 复习课件
高中数学 第一章《导数及其应用》素材(3) 新人教A版选修2-2
人教版A版高中数学选修2-2:第一章导数及其应用_小结_课件1(24)
高中数学 第一章导数及其应用综合训练B组 新人教A版选修2
【精编】数学选修22人教A讲义:第一章导数及其应用1.2第2课时
【精编】数学选修22人教A讲义:第一章导数及其应用1.3.2(二)
高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课教案 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用教案 新人教A版选修2-2
电脑版