四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

四川省成都市五校协作体 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条,那么它们的交线和这两条平行 线的位置关系是() A.都平行 B. 都相交 C. 一个相交,一个平行 D.都异面 2. (5 分)在 x、y 轴上的截距分别是﹣3、4 的直线方程是() A. + =1 B. + =1 C. ﹣ =1 D. + =1

3. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD1 与 BA1 所成的角为()

A.30°
2

B.45°
2

C.60°

D.90°

4. (5 分)圆(x+2) +y =5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为() 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =5 B.x +(y﹣2) =5 C.(x+2) +(y+2) =5 D. (x﹣2) 2 2 +y =5 5. (5 分)如图所示,甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确 的是()

①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱. A.④③② B.②①③ C.①②③

D.③②④

6. (5 分)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题中的真命 题是()

A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α C. 若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ

B. 若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β D.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β

7. (5 分)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,O 是 EF 的中点,现在 沿 DE,DF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 A,B,C 三点重合,重合后的点记为 G,则在四面体 D﹣EFG 中必有()

A.GF⊥△DEF 所在平面 C. DG⊥△EFG 所在平面

B. DO⊥△EFG 所在平面 D.GO⊥△EFG 所在平面

8. (5 分)设实数 x、y 满足不等式组

,若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值

是() A.14
2

B.16
2 2

C.17
2 2

D.19
2

9. (5 分)若圆 C1:x +y ﹣2tx+t ﹣4=0 与圆 C2:x +y +2x﹣4ty+4t ﹣8=0 相交,则 t 的取 值范围是() A.﹣ C. ﹣ <t<2 B. ﹣ D .﹣ <t<0 或 0<t<2

10. (5 分)已知 E 为不等式组
2 2

,表示区域内的一点,过点 E 的直线 l 与圆 M: (x

﹣1) +y =9 相交于 A,C 两点,过点 E 与 l 垂直的直线交圆 M 于 B、D 两点,当 AC 取最 小值时,四边形 ABCD 的面积为() A.4 B. 6 C.12 D.12

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)过点 P(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为.

12. (5 分)已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图是顶角为 120°的等腰 三角形,则该三棱锥的侧视图面积为.

13. (5 分)已知直线 x+y=a 与圆 x +y = 4 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB(其中 O 为坐标原 点) ,则实数 a 等于. 14. (5 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA⊥平 面 ABCD,且 PA= ,AB=4,BC=2,点 M 为 PC 中点,若 PD 上存在一点 N 使得 BM∥ 平面 ACN,PN 长度.

2

2

15. (5 分)如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水,固定容器底 面一边 BC 于桌面上,再将容器倾斜.随着倾斜度的不同,有下面五个命题: (1)有水的部分始终呈棱柱形; (2)没有水的部分始终呈棱柱形; (3)棱 A′D′始终与水面所在平面平行; (4)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; (5)当容器倾斜如图(3)所示时,BE?BF 是定值; 其中所有正确命题的序号是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

16. (12 分)已知直线 l1:2x+(m+1)y﹣2=0;直线 l2:mx+y﹣1=0. (Ⅰ)若 l1⊥l2 求实数 m 的值. (Ⅱ)若 l1∥l2,求实数 m 的值. 17. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD,AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

18. (12 分) 已知一圆 C 的圆心为 (2, ﹣1) , 且该圆被直线 l: x﹣y﹣1=0 截得的弦长为 2 (Ⅰ)求该圆的方程 (Ⅱ)求过点 P(4,3)的该圆的切线方程. 19. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=3,AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

20. (13 分)如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB= ,AD= ,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的动点. (Ⅰ)求三棱锥 E﹣PAD 的体积; (Ⅱ)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.

21. (14 分)已知圆 C 的圆心在 直线 y=﹣4x 上,且与直线 x+y﹣1=0 相切于点 P(3,﹣2) . (Ⅰ)求圆 C 方程; (Ⅱ)点 M(0,1)与点 N 关于直线 x﹣y=0 对称.是否存在过点 N 的直线 l,l 与圆 C 相 交于 E、F 两点,且使三角形 S△ OEF=2 (O 为坐标原点) ,若存在求出直线 l 的方程,若 不存在用计算过程说明理由.

四川省成都市五校协作体 2014-2015 学年高二上学期期 中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条,那么它们的交线和这两条平行 线的位置关系是() A.都平行 B. 都相交 C. 一个相交,一个平行 D.都异面 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键. 解答: 解:如图所示:已知:α∩β=m,a∥b,a?α,b?β.则 a∥b∥m. 证明:∵a∥b,∴a 与 b 可确定一个平面 γ. ∴b∥α, 由∵α∩β=m,b?β, ∴b∥m. ∴a∥b∥m. 故选 A.

点评: 熟练掌握线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键. 2. (5 分)在 x、y 轴上的截距分别是﹣3、4 的直线方程是() A. + =1 B. + =1 C. ﹣ =1 D. + =1

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的截距式方程. 直线与圆. 由直线的截距可得截距式方程. 解:∵直线在 x、y 轴上的截距分别是﹣3、4,

∴直线的截距式方程为: 故选:A 点评: 本题考查直线的截距式方程,属基础题. 3. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD1 与 BA1 所成的角为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由 A1B∥D1C,得异面直线 AD1,BA1 所成的角为∠AD1C. 解答: 解:∵A1B∥D1C, ∴异面直线 AD1,BA1 所成的角为∠AD1C, ∵△AD1C 为等边三角形, ∴∠AD1C=60°. 故选:C.

点评: 本题考查两异面直线所成角的求法, 是基础题, 解题时要注意空间思维能力的培养. 4. (5 分)圆(x+2) +y =5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为() 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =5 B.x +(y﹣2) =5 C.(x+2) +(y+2) =5 D. (x﹣2) 2 2 +y =5 考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 计算题. 分析: 求出已知圆的圆心和半径,求出圆心 A 关于原点对称的圆的圆心 B 的坐标,即可 得到对称的圆的标准方程. 2 2 解答: 解:圆(x+2) +y =5 的圆心 A(﹣2,0) ,半径等于 , 圆心 A 关于原点(0,0)对称的圆的圆心 B(2,0) , 故对称圆的方程为 (x﹣2) +y =5, 故选:D. 点评: 本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法,求出圆心 A 关于原点(0, 0)对称的圆的圆心 B 的坐标,是解题的关键,属于基础题. 5. (5 分)如图所示,甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确 的是()
2 2 2 2

①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱. A.④③② B.②①③ C.①②③

D.③②④

考点: 由三视图还原实物图. 专题: 图表型. 分析: 由俯视图结合其它两个视图可以看出,几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥. 解答: 解:根据三视图从不同角度知,甲、乙、丙对应的几何体分别是圆柱、三棱锥和圆 锥, 故选 A. 点评: 本题的考点是由三视图还原几何体, 需要仔细分析、 认真观察三视图进行充分想象, 然后综合三视图,从不同角度去还原,考查了观察能力和空间想象能力.

6. (5 分)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题中的真命 题是() A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β C. 若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ D.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β 考点: 平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关 系与距离. 分析: 可以通过空间想象的方法, 想象每个选项中的图形, 并通过图形判断是否能得到每 个选项中的结论,即可找出正确选项. 解答: 解:A.错误,由 β⊥α,得不出 β 内的直线垂直于 α; B. 正确, m∥α, 根据线面平行的性质定理知, α 内存在直线 n∥m, ∵m⊥β, ∴n⊥β, n?α, ∴α⊥β; C.错误,若两个平面同时和一个平面垂直,可以想象这两个平面可能平行,即不一定得到 β⊥γ; D.错误 ,可以想象两个平面 α、β 都和 γ 相交,交线平行,这两个平面不一定平行. 故选 B. 点评: 考查空间想象能力,以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念. 7. (5 分)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,O 是 EF 的中点,现在 沿 DE,DF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 A,B,C 三点重合,重合后的点记为 G,则在四面体 D﹣EFG 中必有()

A.GF⊥△DEF 所在平面 C. DG⊥△EFG 所在平面

B. DO⊥△EFG 所在平面 D.GO⊥△EFG 所在平面

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:∵CF 与 DF 不垂直,BF 与 DF 不垂直, ∴GF 与 DF 不垂直,GF 与 DF 不垂直, ∴GF 不能垂直于△ DEF 所在平面,故 A 错误; ∵DE=DF,O 是 EF 中点,GE=GF, ∴DO⊥EF,GO⊥EF, ∴DO 不能垂直于△ EFG 所在平面,故 B 错误; ∵DA⊥AE,DC⊥CF, ∴DG⊥GE,DG⊥GF,

∴DG⊥△EFG 所在平面,故 C 正确; ∵GO?△ EFG 所在平面, ∴GO 不可能垂直于△ EFG 所在平面,故 D 错误. 故选:C.

点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养.

8. (5 分)设实数 x、y 满足不等式组

,若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值

是() A.14

B.16

C.17

D.19

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件

的平面区域,然后分析平面区域里各个整点,然后将其代入 3x+4y 中,求出

3x+4y 的最小值.

解答: 解:依题意作出可行性区域

如图,目标函数 z=3x+4y 在点(4,1)

处取到最小值 z=16.

故选 B. 点评: 在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域 ?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 9. (5 分)若圆 C1:x +y ﹣2tx+t ﹣4=0 与圆 C2:x +y +2x﹣4ty+4t ﹣8=0 相交,则 t 的取 值范围是() A.﹣ C. B. ﹣ ﹣ <t<0 D. ﹣ 或 0<t<2
2 2 2 2 2 2

<t<2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据这两个圆相交,可得圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得 3﹣2< <3+2,即 0<5t +2t<24,由此求得 t 的取值范围. 解答: 解:圆 C1:x +y ﹣2tx+t ﹣4=0 即 (x﹣t) +y =4, 表示以 C1(t,0)为圆心、 半径等于 2 的圆; 2 2 2 2 2 圆 C2:x +y +2x﹣4ty+4t ﹣8=0 即 (x+1) +(y﹣2t) =9,表示以 C2(﹣1,2t)为圆心、 半径等于 3 的圆. 再根据这两个圆相交,可得圆心距大于半径之差而小于半径之和, 即 3﹣2< <3+2,即 0<5t +2t<24,
2 2 2 2 2 2 2





解得﹣

或 0<t<2,

故选:D. 点评: 本题主要考查圆的标准方程, 两圆的位置关系的判定方法, 两点间的距离公式的应 用,属于基础题.

10. (5 分)已知 E 为不等式组
2 2

,表示区域内的一点,过点 E 的直线 l 与圆 M: (x

﹣1) +y =9 相交于 A,C 两点,过点 E 与 l 垂直的直线交圆 M 于 B、D 两点,当 AC 取最 小值时,四边形 ABCD 的面积为() A.4 B. 6 C.12 D.12 考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域, 由圆的方程画出圆, 可知可行域内距离圆心最远的点为满 足条件的 E 点,求出 E 与 M 的距离,解直角三角形求得 AC 的长度,则四边形 ABCD 的面 积为 AC 长度与 BD 长度乘积的一半.

解答: 解:由约束条件

作可行域如图,

圆 M: (x﹣1) +y =9 的圆心为 M(1,0) ,半径为 3. E 为图中阴影三角形及其内部一动点, 由图可知,当 E 点位于直线 x+y=2 与 y 轴交点时,E 为可行域内距离圆心 M 最远的点. 此时当 AC 过 E 且与 ME 垂直时最短.与 AC 垂直的直线交圆得到直径 BD. |ME|= ,|AC|= . 故选:D. 点评: 本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,关键是确定使 AC 最短 时的 E 的位置,是中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)过点 P(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为 2x+y﹣1=0. 考点: 直线的一般式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. ,

2

2

分析: 设与直线 x﹣2y+3=0 垂直的直线的方程为 2x+y+c=0,把点 P(﹣1,3)的坐标代 入求出 c 值,即得所求的直线的方程. 解答: 解:设所求的直线方程为 2x+y+c=0,把点 P(﹣1,3)的坐标代入得﹣2+3+c=0, ∴c=﹣1, 故所求的直线的方程为 2x+y﹣1=0, 故答案为 2x+y﹣1=0. 点评: 本题考查利用待定系数法求直线的方程,与 ax+by+c=0 垂直的直线的方程为 bx ﹣ay+m=0 的形式. 12. (5 分)已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图是顶角为 120°的等腰 三角形,则该三棱锥的侧视图面积为 1.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 规律型. 分析: 根据三视图的原则,高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可. 解答: 解:根据三棱锥的俯视图是顶角为 120°的等腰三角形,且底边长为 2 , ∴三棱锥的底面三角形的高为 ×tan30°=1,即,侧视图的宽为 1, 由正视图的高为 2?侧视图的高为 2, ∴其面积 S=1. 故答案是:1. 点评: 本题考查简单几何体的三视图,属基础题. 13. (5 分)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB(其中 O 为坐标原 点) ,则实数 a 等于±2. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用 OA⊥OB,OA=OB,可得出三角形 AOB 为等腰直角三角形,由圆的标准方 程得到圆心坐标与半径 R,可得出 AB,求出 AB 的长,圆心到直线 y=x+a 的距离为 AB 的 一半,利用点到直线的距离公式列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到实数 a 的值. 解答: 解:∵OA⊥OB,OA=OB, ∴△AOB 为等腰直角三角形, 又圆心坐标为(0,0) ,半径 R=2, ∴AB= R=2 , ∴圆心到直线 y=x+a 的距离 d= AB= ∴|a|=2, = ,
2 2

∴a=±2. 故答案为:±2. 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:等腰直角三角形的判定与性质, 以及点到直线的距离公式,其中根据题意得出△ AOB 为等腰直角三角形是解本题的关键. 14. (5 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA⊥平 面 ABCD,且 PA= ,AB=4,BC=2,点 M 为 PC 中点,若 PD 上存在一点 N 使得 BM∥ 平面 ACN,PN 长度 2.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 连接 AC,BD,AC∩BD=O,取 MD 中点 E,连接 CN 与 PD 交于 N,取 PN 中点 F, 连接 MF,则 BM∥平面 ACN.证明 F,N 为 PD 的三等分点,即可得出结论. 解答: 解:如图所示,连接 AC,BD,AC∩BD=O,取 MD 中点 E,连接 CN 与 PD 交于 N,取 PN 中点 F,连接 MF,则 ∵BM∥OE,BM?平面 ACN,OE?平面 ACN, ∴BM∥平面 ACN. ∵M 为 PC 中点,F 为 PN 中点, ∴MF∥CN, ∵E 为 MD 中点, ∴N 为 DF 中点, ∵PA= ,BC=2,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, ∴PD=3, ∴PN=2, 故答案为:2.

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,考查学生的计算能力,确定 F,N 为 PD 的三等 分点是关键. 15. (5 分)如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水,固定容器底 面一边 BC 于桌面上,再将容器倾斜.随着倾斜度的不同,有下面五个命题: (1)有水的部分始终呈棱柱形; (2)没有水的部分始终呈棱柱形;

(3)棱 A′D′始终与水面所在平面平行; (4)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; (5)当容器倾斜如图(3)所示时,BE?BF 是定值; 其中所有正确命题的序号是①②⑤.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (1) (2)利用棱柱的定义判定即可, (3)明显 DE 相交, (4)看图比较水面的面 积的变化情况, (5)明显不变. 解答: 解:对于命题 1,由于 BC 固定,所以倾斜的过程中,始终有 AD∥EH∥FG∥BC, 且平面 AEFB∥平面 DHGC,故水的部分始终呈现棱柱状, (三棱柱、四棱柱、五棱柱)BC 为棱柱的一条侧棱, (1)正确,同理(2)也正确; 对于命题 3,棱 DE 与水面 EFGH 相交与点 E, (3)错误; 对于命题 4, 当水是四棱柱或者五棱柱时, 水面面积与上下底面面积相等, 当水是三棱柱时, 则水面的面积可能变大,也可能变小,故 4 错误 对于命题 5,当容器倾斜如图(3)所示时,有水部分构成直三棱柱,而水的体积 V 保持不 变, 高 BC 保持不变, 则底面三角形的面积 BE?BF 保持不变, BE?BF 是定值, (5) 正确的. 故答案为:①②⑤ 点评: 本题考查棱柱的结构特征,直线与平面平行的判断,棱柱的体积等知识,综合计算 能力,逻辑推理能力和空间想象力解本题即可. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知直线 l1:2x+(m+1)y﹣2=0;直线 l2:mx+y﹣1=0. (Ⅰ)若 l1⊥l2 求实数 m 的值. (Ⅱ)若 l1∥l2,求实数 m 的值. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (I)由两条直线垂直的条件,建立关于 m 的方程,解之可得实数 m 的值 (II)根据两条直线平行的条件,建立关于 m 的关系式,即可得到使 l1∥l2 的实数 m 的值. 解答: 解(1)由 2m+(m+1)×1=0?3m+1=0?m=﹣ …(4 分) (2)由已知?2﹣(m+1)m=0?m +m﹣2=0?m=﹣2 或 m=1…(6 分)
2

当 m=﹣2 时?

满足 …(8 分)

当 m=1 时?

不满足 …(10 分)

综上 m=﹣2 …(12 分) 点评: 本题给出含有参数的两条直线方程,在两条直线平行或垂直的情况下,求参数 m 之值.着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识,属于基础 题. 17. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD,AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 连结 BD, 得 EF∥BD, 又 BD∥B1D1, 所以 EF∥B1D1, 由此能证明直线 EF∥ 平面 CB1D1. (2)由已知得 A1C1⊥B1D1,CC1⊥平面 A1B1C1D1,从而 CC1⊥B1D1,由此能证明 B1D1⊥ 平面 CAA1C1,从而能证明平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. 解答: (1)证明:连结 BD,在△ ABD 中, E、F 分别为棱 AD、AB 的中点,故 EF∥BD, 又 BD∥B1D1,所以 EF∥B1D1,…(2 分) 又 B 1D1?平面 CB1D1,EF 不包含于平面 CB1D1, 所以直线 EF∥平面 CB1D1.…(6 分) (2)证明:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形, 则 A1C1⊥B1D1…(8 分) 又 CC1⊥平面 A1B1C1D1,B1D1?平面 A1B1C1D1, 则 CC1⊥B1D1,…(10 分) 又 A1C1∩CC1=C1,A1C1?平面 CAA1C1,CC1?平面 CAA1C1, 所以 B1D1⊥平面 CAA1C1,又 B1D1?平面 CB1D1, 所以平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.…(12 分) 点评: 本题考查直线与平面平行的证明, 考查平面与平面垂直的证明, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

18. (12 分) 已知一圆 C 的圆心为 (2, ﹣1) , 且该圆被直线 l: x﹣y﹣1=0 截得的弦长为 2 (Ⅰ)求该圆的方程 (Ⅱ)求过点 P(4,3)的该圆的切线方程. 考点: 圆的标准方程;圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)设圆 C 的方程是(x﹣2) +(y+1) =r (r>0) ,则弦长 P=2 由此能求出圆的方程. (Ⅱ)设切线方程为 y﹣3=k(x﹣4) ,由 ,得 k= ;当切线斜率不存在
2 2 2



的时候,切线方程为:x=4.由此能求出圆的切线方程. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)设圆 C 的方程是(x﹣2) +(y+1) =r (r>0) , 则弦长 P=2 ,

其中 d 为圆心到直线 x﹣y﹣1=0 的距离, ∴P=2
2

=2

,∴r =4,
2

2

∴圆的方程为(x﹣2) +(y+1) =4…(4 分) (Ⅱ)设切线方程为 y﹣3=k(x﹣4) 由

得 k= 所以切线方程为 3x﹣4y=0 …(10 分) 当切线斜率不存在的时候,切线方程为:x=4. 故圆的切线方程为 3x﹣4y=0 或 x=4.…(12 分) 点评: 本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆 的性质的合理运用. 19. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=3,AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;组合几何体的面积、体积问题. 专题: 证明题;转化思想. 分析: (1)根据 AE⊥平面 CDE 的性质可知 AE⊥CD,而 CD⊥AD,AD∩AE=A,根据 线面垂直的判定定理可知 CD⊥平面 ADE,而 AB∥CD, ,从而 AB⊥平面 ADE; (2) 在 Rt△ ADE 中, 求出 AE, AD, DE, 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, 根据 AB⊥平面 ADE, EF?平面 ADE,可知 EF⊥AB,而 AD∩AB=A,从而 EF⊥平面 ABCD,因 AD?EF=AE?DE, 可求出 EF,又正方形 ABCD 的面积 SABCD=36,则 = ,得到结论.

解答: (1)证明:∵AE⊥平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. ∵AB∥CD, ∴AB⊥平面 ADE. (2)解:在 Rt△ ADE 中,AE=3,AD=6, ∴ .

过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, ∵AB⊥平面 ADE,EF?平面 ADE, ∴EF⊥AB. ∵AD∩AB=A, ∴EF⊥平面 ABCD. ∵AD?EF=AE?DE, ∴ .

又正方形 ABCD 的面积 SABCD=36, ∴ 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 = . .

点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 20. (13 分)如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB= 的中点,点 E 是边 BC 上的动点. ,AD= ,点 F 是 PB

(Ⅰ)求三棱锥 E﹣PAD 的体积; (Ⅱ)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关 系,并说明理由; (Ⅲ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的 性质. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 由于 PA⊥平面 ABCD, 则 VE﹣PAD=VP﹣ADE, 运用棱锥的体积公式计算即得; (Ⅱ)运用线面平行的判定定理,即可得证; (Ⅲ)由线面垂直的性质和判定定理,即可得证. 解答: (Ⅰ)解:∵PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形, ∴VE﹣PAD=VP﹣ADE, = ;

(Ⅱ)EF 与平面 PAC 平行. 理由如下:当 E 为 BC 中点时,∵F 为 PB 的中点, ∴EF∥PC, ∵EF?平面 PAC,PC?平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC; (Ⅲ)证明:∵PA=AB,F 为 PB 的中点, ∴AF⊥PB, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又 BC⊥AB,BC⊥平面 PAB, 又 AF?平面 PAB ∴BC⊥AF. 又 PB∩BC=B,∴AF⊥平面 PBC, 因无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE?平面 PBC, ∴PE⊥AF.

点评: 本题考查直线与平面平行、垂直的判定和性质定理和运用,考查棱锥的体积公式, 考查运算能力,属于中档题. 21. (14 分)已知圆 C 的圆心在直线 y=﹣4x 上,且与直线 x+y﹣1=0 相切于点 P(3,﹣2) . (Ⅰ)求圆 C 方程; (Ⅱ)点 M(0,1)与点 N 关于直线 x﹣y=0 对称.是否存在过点 N 的直线 l,l 与圆 C 相 交于 E、F 两点,且使三角形 S△ OEF=2 (O 为坐标原点) ,若存在求出直线 l 的方程,若 不存在用计算过程说明理由. 考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)过切点 P(3,2)且与 x+y﹣1=0 垂直的直线为 y=x﹣5,与直线 y=﹣4x 联 立,解得圆心为(1,﹣4) ,由此能求出圆的方程. (Ⅱ)设 N(a,b) ,由点 M(0,1)与点 N 关于直线 x﹣y=0 对称,得 N(1,0) ,当斜率 不存在时,直线 l 方程为 x=1,满足题意;当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) , 由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数 k. 从而所求的直线方程为 x=1. 解答: 解: (Ⅰ)过切点 P(3,2)且与 x+y﹣1=0 垂直的直线为 y+2=x﹣3,即 y=x﹣5. (1 分) 与直线 y=﹣4x 联立,解得圆心为(1,﹣4) ,…(2 分) 所以半径 所以所求圆的方程为(x﹣1) +(y+4) =8.…(4 分) (Ⅱ)设 N(a,b) ,∵点 M(0,1)与点 N 关于直线 x﹣y=0 对称,
2 2



,∴N(1,0)…(5 分)

注意:若没证明,直接得出结果 N(1,0) ,不扣分. (1)当斜率不存在时,此时直线 l 方程为 x=1, 原点到直线的距离为 d=1,同时令 x=1, 代人圆方程得 y=﹣4 , 所以 ,所以 满足题意,

此时方程为 x=1.…(8 分) (2)当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0

圆心 C(1,﹣4)到直线 l 的距离 设 EF 的中点为 D,连接 CD,则必有 CD⊥EF, 在 Rt△ CDE 中,

,…(9 分)

所以

,…(10 分)

而原点到直线的距离为



所以
2

,…(12 分)

整理得 3k +1=0,不 存在这样的实数 k. 综上所述,所求的直线方程为 x=1.…(14 分) 点评: 本 题考查圆的方程的求法,考查满足条件的直线是否存在的判断与求法,解题时 要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用.


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