题型四 函数与导数

题型四 函数与导数【2012 命 题 方 向】
1、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

?3x ? a x . 当 a ? b ? 1 时, (1) 求满足 f ( x) ? 3 的 x 的取值范围;(2) x ?1 3 ?b

若 y ? f ? x ? 的定义域为 R,又是奇函数,求 y ? f ? x ? 的解析式,判断其在 R 上的单调性并加以证明.

3 2 2 2、 (本小题满分 12 分)若 x1、x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) 的两个极值点. (Ⅰ)若

1 x1 ? ? , x2 ? 1 ,求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 x1 ? x2 ? 2 3 ,求 b 的最大值. 3

1 3 ( 求函数 f ( x) x ? bx 2 ? 2 x ? a, x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点. 1) 3 2 的单调区间; (2)若当 x ?[1, ??) 时, f ( x) ? ? a 2 恒成立,求 a 的取值范围. 3
3、 本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x) ?

4、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? x ? )e ( a ? 0 ). (I)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单
2 ax

1 a

调区间; (II)若不等式 f ( x) ?

5 ? 0 对 x ?R 恒成立,求 a 的取值范围. a

ln x ln x (Ⅰ)求函数 g ( x) ? 的单调区间; (Ⅱ)若不 x x ln 2 ln 3 ln n 1 等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0,??) 上恒成立, 求实数 k 的取值范围; (Ⅲ) 求证: 4 ? 4 ? ? ? ? ? 4 ? 2e 2 3 n
5、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? kx, g ( x) ?

6、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln

1 ? ax 2 ? x(a ? 0). (1)若 f ( x) 是单调函数,求 a 的取值范 x

围; (2)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2.

7、 (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? c ln x ?

1 2 x ? bx (b, c ? R, c ? 0) ,且 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. (Ⅰ) 2

若 x ? 1 为 f ( x) 的极大值点,求 f ( x) 的单调区间(用 c 表示) (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恰有 1 解,求实数 c 的 ; 取值范围.

8、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若

+ 上恒成立② (3)证明:① ln( x ? 1) ? x ? 2在(2,?) f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

? i ?1 ?
i ?2

n

ln i

n( n ? 1) (n ? N , n>1) 4

题型五 解析几何【2012 命 题 方 向】
1、 (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中,点 A、B 的坐标分别为 (? 2, 0), B( 2, 0) ,点 C 在 x 轴上方。 (1) 若点 C 坐标为 ( 2,1) ,求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程; (2)过点 P(m,0)作倾角为 ? 的 直线 l 交(1)中曲线于 M、N 两点,若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径的圆上,求实数 m 的值。

3 4

2、 (本小题满分 12 分)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 B、D 两点, a 2 b2

且 BD 的中点为 M(1,3)(1)求双曲线 C 的离心率; 。 (2)若双曲线 C 的右焦点坐标为(3,0) ,则以双 曲线的焦点为焦点, 过直线 g : x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆, 要使所作椭圆的长轴最短, M 应在何处? 点 并求出此时的椭圆方程。

3 x2 y2 2 ,抛物线 C2 : x ? 2 py ( p ? 0) ? 2 ? 1 (0 ? b ? 2) 的离心率等于 2 4 b 的焦点在椭圆的顶点上. (1)求抛物线 C2 的方程。 (2)过 M (?1,0) 的直线 l 与抛物线 C2 交于 E 、 F 两
3、本题满分 13 分) ( 已知椭圆 C1 : 点,又过 E 、 F 作抛物线 C2 的切线 l1 、 l 2 ,当 l1 ? l2 时,求直线 l 的方程。

? 4、如图,焦距为 2 的椭圆 D 的两个顶点分别为 A 和 B ,且 AB 与 n ? ( 2, 1) 共线.(Ⅰ)求椭圆 D 的标
准方程;(Ⅱ)过点 M (0 ,m) 且斜率为 2 的直线 l 与椭圆 D 有两个不同的交点 P 和 Q ,若以 PQ 为直径 的圆经过原点 O,求实数 m 的值.

1 3 x2 y 2 5、 (本题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P(1, ) , F 为其右焦点 a b 2 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 A(4,0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点(点 M 在 A, N 两点之 间) ,若 △AMF 与 △MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程.

x2 y 2 1 6、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1 (1, 0) ,离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及左顶点 P 的坐标; (Ⅱ)设过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,若 ?PAB 的面 积为

36 ,求直线 AB 的方程. 13

1 x2 y 2 7、 (本题满分 14 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l 过点 A(4,0) , B(0, 2) , a b 2
且与椭圆 C 相切于点 P .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 A(4,0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不 同的两点 M 、 N ,使得 36 AP ? 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
2

x2 y 2 8、 (本小题共 14 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 点 M ? 0, 2 ? 是椭圆 a b
的一个顶点,△ F1 MF2 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA , MB 交 椭圆于 A , B 两点,设两直线的斜率分别为 k 1 , k 2 ,且 k1 ? k2 ? 8 ,证明:直线 AB 过定点( ?

1 . ,? 2) 2


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