洞口县2009年下学期高中期末调研考试答案

2009 年下学期高中期末调研考试高二数学参考答案
一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题序 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B B 8 9 C 10 D

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、 1 2 0 ? 12、99 13、2 14、 9 0 ? 15、理 2 3 ;文 a ? ? 1 或 a ? 2

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (12 分)解:命题 p : m ? 4
2 2

由方程 4 x ? 4( m ? 2) x ? 9 ? 0 无实根,得
2

? ? 16( m ? 2) ? 16 ? 9 ? 16( m ? 4 m ? 5) ? 0 ,解得, ? 1 ? m ? 5

所以,命题 q : ? 1 ? m ? 5 (5 分)
? 命题 p 为真,命题 q 为假, ? ?m ? 4 或?m ?
?m ? ?1
? 4 ? m ?5 ?

? p ? q 为真, p ? q 为假, ? p 为假,

,解得, m ? 5 ;? m 的取值范围是 [5, ? ? )

(12 分)

17、 (12 分)解: (1)由余弦定理得:a2+c2-b2=-ac,得 B=1200
2 ? 2 1 3 3 ? a ? c ? 2 ac ? 16 (2)由 ? 2 得 ac=3,∴SΔ = ac sin B ? 2 2 4 ? a ? c ? ac ? 13 ?

17、 (12 分)解: (1)由 ? a n ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差为 2,得 a n ? 2 n ? 1 数列 ? b n ? 为等比数列,且 b1 ? 1 ,公比为 (2)? c n ?
an bn
0 1 n ?1

2分 4分

1 2

,可得, b n ? b1 ( )
2

1

n ?1

? 2

1
n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1

? T n ? c1 ? c 2 ? ? ? ? ? c n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? (2 n ? 1) ? 2

① ② 7分
n

2 T n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? (2 n ? 1) ? 2
1 2
1 2

n

① ? ②,得: ? T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2
? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? 1 ?
1 2 3 n n

n ?1

? (2 n ? 1) ? 2
n

2 ( 2 ? 1) 2 ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2 ? 1
n

1

? T n ? 3 ? (2 n ? 3) ? 2

n

12 分
4800

19、 (文科) (13 分)解:设水池底面的长为 x 米,则宽为 3 x 又设水池总造价为 y 元. 根据题意,有
y ? 150 ? 4800 3 ? 120(2 ? 3 x ? 2 ? 1600 x

米,易知 x ? 0 ,

(3 分)
? 3) ? 2 4 0 0 0 0 ? 7 2 0 ( x ? 1600 x 1600 x , 即 x ? 40 时,等号成立. (11 )

(7 分)

? 240000 ? 720 ? 2

x?

1600 x

? 297600 . 当 x ?

分 ) 所以,将水池的底面设计成边长为 40 米的正方形时,总造价最低,最低总造价为 297600 元.(13 分) 20、 (文科)解:由 y 2 ? 4 x ,得 p ? 2 ,其准线方程为 x ? ? 1 ,焦点 F (1, 0 ) .(2 分) 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .(1)由抛物线的定义可知, | A F |? x1 ?
p 2

,从而 x1 ? 4 ? 1 ? 3 . (6 分)

代入 y 2 ? 4 x ,解得 y1 ? ? 2 3 .∴ 点 A 的坐标为 (3, 2 3 ) 或 (3, ? 2 3 ) . (2)直线 l 的方程为 y ? 0 ? tan 45 ? ?( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 . 与抛物线方程联立,得 ?
?y ? x ?1 ? y ? 4x
2



(9 分)

消 y,整理得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,其两根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 ? 6 . 由抛物线的定义可知, 所以,线段 AB 的长是 8.
| A B |? x1 ? x 2 ? p ? 6 ? 2 ? 8 .

……(13 分)

21. (文科) (1)由题意知 f (1) ? ? 3 ? c ,因此 b ? c ? ? 3 ? c ,从而 b ? ? 3 . 2 分
3 4 3 3 又 f ? ( x ) ? 4 a x ln x ? a x ? ? 4 b x ? x ( 4 a ln x ? a ? 4 b ) ,

1

x

由题意 f ? (1) ? 0 ,因此 a ? 4 b ? 0 ,得 a ? 1 2 .

4分

3 (2)由(1)知 f ? ( x ) ? 4 8 x l n x (x ? 0 ) ,令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? 1 .当 0 ? x ? 1 时,

f ? ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 为减函数;当 x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 为增函数.

因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ?? ) . 9 分 (3)由(2)知 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ? 3 ? c ,此极小值也是最小值,要使
2

f ( x) ? ?2c ( x ? 0)
2

恒 成 立 , 只 需 ?3 ? c ? ?2c
3 2

2

? , 即 2c ? c ? 3
2

0 从 而 ,

( 2 c ? 3)( c ? 1) ? 0 ,解得 c ?

或 c ? ? 1 .所以 c 的取值范围是 ( ? ? , ? 1] ? [ 3 , ? ? ) .13 分
2

理科参考答案:19、解: (1)由条件得
2

920 v v ? 3 v ? 1600

? 10 ,

整理得 v ? 8 9 v ? 1 6 0 0 ? 0 , 即 ( v ? 2 5)( v ? 6 4 ) ? 0 ,
2

解得 2 5 ? v ? 6 4 .(6 分) z P

(2)依题意, y ?

920 3 ? (v ? 1600 v )

?

920 3 ? 2 1600

?

920 83

,

当且仅当 v ? 所以 y max ?

1600 v

, 即 v ? 40 时 , 上式等号成立

,

(13 分)

x

C

F

E

920 83

D A

( 千辆 / 小时 ).

20、解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz (如图) ,

B

y

AD=1,PD=1,AB= 2 a ( a ? 0 ) ,则 E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0),
??? ? 1 1 1 1 , ) .得, E F ? (0 , , ) , 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? P B ? ( 2 a ,1, ? 1) , A B ? ( 2 a , 0, 0 ) .得 E F ? A B , 即 E F ? A B , 同理 E F ? P B ,

B(2a,1,0), P(0,0,1), F ( a ,

又 A B ? P B ? B ,所以,EF ? 平面 PAB. (6 分) (2)解:由 a ?
2 2
????

,得 E (

2 2

, 0, 0 ) , F (

2 1 1 , , ) , C ( 2 , 0, 0 ) . 2 2 2

有 A C ? ( 2 , ? 1, 0 ) , A E ? (

??? ?

??? ? 1 1 , ? 1, 0 ) , E F ? (0 , , ) . 2 2 2

2

设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x , y ,1) ,
1 1 1 ? ?1 ??? ? y? ?0 ? ( x , y ,1) ? (0, 2 , 2 ) ? 0 ?2 ?n ? EF ? 0 ? y ? ?1 2 ? ? ? ? 由 ? ???? ,解得 ? . ? ? ? ? ?x ? ? 2 ?n ? AE ? 0 ? ? ? ( x , y ,1) ? ( 2 , ? 1, 0 ) ? 0 ? 2 x? y ?0 ? ? 2 ? 2 ?

于是 n ? ( ? 2 , ? 1,1) , AC 与面 AEF 所成的角为 ? ,A C 与 n 的夹角为 ? A C , n ? . 设
3

????

????

???? ( 2 , ? 1, 0 ) ? ( ? 2 , ? 1,1) AC ? n ???? 3 ? ? 则 sin ? ? co s ? A C , n ? ? ???? . 6 2 ?1? 0 2 ?1?1 AC ? n
3 6

所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小的正弦值为

. (13 分)

21、解: (1)由|PM|-|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支, 实半轴长 a ?
2 ,又半焦距 c=2,故虚半轴长 b ?
x
2

c ?a
2

2

?

2 , 3分

所以 W 的方程为

?

y

2

? 1 ,( x ?

2 ) 分 .5

2

2

(2)设 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 当 AB⊥x 轴时, x1 ? x 2 , 从而 y1 ? ? y 2 , 从而 O A ? O B ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? y1 ? 2 . 7 分
2 2

??? ??? ? ?

当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,与 W 的方程联立,消去 y 得:
2 km 1? k
2

(1 ? k ) x ? 2 km x ? m ? 2 ? 0 故 x1 ? x 2 ?
2 2 2

,

x1 x 2 ?

m ?2
2 2

k ?1

,

9分

2 2 故 O A ? O B ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? (1 ? k ) x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m

??? ??? ? ?

?

(1 ? k )( m ? 2 )
2 2

k ?1
2

?

2k m 1? k
2

2

2

2

?m ?
2

2k ? 2
2

k ?1
2

? 2?

4 k ?1
2



11 分

又因为 x1 x 2 ? 0 ,所以 k ? 1 ? 0 ,从而 O A ? O B ? 2 . 综上,当 AB⊥ x 轴时, O A ? O B 取得最小值 2.
??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

13 分

4


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