赏析一道课本习题的多种证法

赏析一道课本习题的多种证法
题目
已知 a, b, c, d 都是实数,且 a2 ? b2 ? 1, c2 ? d 2 ? 1, 求证: ac ? bd ? 1. (选自北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2 第 3 版第 12 页习题 1-2 第 4 题) 证法 1 根据柯西不等式,得

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , 即(ac ? bd )2 ? 1.

从而 ac ? bd ? 1.

证法 2 利用重要不等式 (a ? c)2 ? 0可得a2 ? c2 ? 2ac , 同理, b ? d ? 2bd , 所以 2ac ? 2bd ? a ? c ? b ? d ? 2 ,
2 2 2 2 2 2

即 ac ? bd ? 1.

①,
2 2 2 2

用同样的方法, 可得a ? c ? ?2ac与b ? d ? ?2bd ,所以

?2ac ? 2bd ? a 2 ? c 2 ? b2 ? d 2 ? 2 ,即 ac ? bd ? ?1. ②
由①②知 ?1 ? ac ? bd ? 1 ,从而 ac ? bd ? 1. 证法 3 注意到结论中含有绝对值,要去掉绝对值,可利用分析法来证明. 欲证 ac ? bd ? 1. 只需证 ac ? bd ?
2

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 )
2 2 2 2

即证 (ac ? bd ) ? (a ? b )(c ? d ) 即证 a c ? b d ? 2abcd ? a c ? b d ? a d ? b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 即证 2abcd ? a d ? b c ,即证 (ad ? bc) ? 0
2 2 2 2

上式显然成立,所以 ac ? bd ? 1. 证法 4 注意到已知条件与三角恒等式 cos ? ? sin ? ? 1 的关系, 可以采用三角换元的数学
2 2

思想来证明。 不妨设 a ? cos ? , b ? sin ? , c ? cos ? , d ? sin ? ,则

ac ? bd ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? 1
由余弦函数的有界性知, cos(? ? ? ) ? 1 ,即 ac ? bd ? 1. 证法 5 注意到已知条件与向量模的关系,可以构造单位向量,利用向量的运算性质来证明。

不妨设 m ? (a, b), n ? (c, d ), 则 m ? 1, n ? 1, 由向量的运算性质知, m ? n ? m n ,即 ac ? bd ? 1. 证法 6 注意到已知条件与复数模的关系,可以构造复数,利用复数的模的运算性质来证明. 不妨设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di, 则 z1 ? 1, z2 ? 1 。 由绝对值不等式定理,可知: z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 即 0 ? (a ? c) ? (b ? d )i ? 2 ,从而 0 ?

(a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ? 2 ,

即 0 ? (a ? c)2 ? (b ? d )2 ? 4 ,化简,得 ?1 ? ac ? bd ? 1 ,即 ac ? bd ? 1. 证法 7 注意到已知条件与单位圆的关系,可以构造单位圆,利用单位圆上两点的弦长与直 径的关系来证明。 y 由题设可知,不妨设 P(a, b), Q(c, d ) 两点 均在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上, 如右图所示, 由单位圆上两点的弦长与直径的关系知: O P Q x

0 ? PQ ? 2 ,即 0 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ? 2
化简,得 ?1 ? ac ? bd ? 1 ,即 ac ? bd ? 1. 证法 8 根据已知条件与所证结论,可以把结论变形为

ac ? bd a 2 ? b2

? 1,这个式子很容易想到点

到直线的距离公式。这时同样可以构造单位圆,不妨设 P(a, b), Q(c, d ) 两点均在单位圆

x2 ? y 2 ? 1上,并设过原点的一条直线为 l : ax ? by ?y0 ,如图所示:
点 Q 到直线 l 的距离 d ? 1 (当且仅当垂足为 O 取等号) 则d ? P(a,b )
l : ax ? by ? 0
?

d O

? Q (c,d)
x

ac ? bd a 2 ? b2

? 1,即 ac ? bd ? 1.

证法 9 高中数学教材上有这样一个例题结论:若圆的方程是 x ? y ? r ,则过圆上一点
2 2 2

A( x0 , y0 ) 的切线方程是 x0 x ? y0 y ? r 2 。利用这个结论,也可以证明以上不等式,如下:
∵ a ? b ? 1, c ? d ? 1
2 2 2 2

∴ A(a, b), B(c, d ) 为圆 x ? y ? 1上的点, 则点 A 的切线方程
2 2

为 ax ? by ? 1, 即 ax ? by ? 1 ? 0 。

∵圆 x 2 ? y 2 ? 1及圆心 O (0, 0) 在直线 ax ? by ? 1 ? 0 的同一侧,把圆心坐标 O (0, 0) 代入

ax ? by ? 1 中,有 a ? 0 ? b ? 0 ? 1 ? 0
∴圆心 O (0, 0) 及点 B (c, d ) 在 ax ? by ? 1 ? 0 表示的平面区域内, ∴ ac ? bd ? 1 ? 0 ,即 ac ? bd ? 1. (点 B 与切点 A 重合时取等号) 若把 A 点的坐标换成 (?a, ?b) ,同理可证 ac ? bd ? ?1。

∴ ac ? bd ? 1.
数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径众多,但最终却能殊 途同归, 即使一次性解题合理正确, 也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法, 不能解完题就此罢手,应该进一步反思,探求一题多解,开拓思路,勾通知识,掌握规律, 权衡解法优劣,培养学生发散思维能力;探求一题多变,做到举一反三,在更高层次更富有 创造性地去学习,摸索总结,使自己的解题能力能更上一层楼。


相关文档

一道课本习题的多种证法
一道课本练习题的多种证法
多种证法解决一道课本例题
一道课本习题多种证法及拓展推广
一道课本习题的改编与赏析
由一道课本习题演变出来的中考题赏析
对一道课本习题的欣赏、拓展与评价
由一道课本习题演变出来的中考题赏析(2012.1)
一道课本习题的八种证法
从课本一道习题的多种解法谈轨迹方程的求法
电脑版